FF F
dans l'expression du polynôme cherché y, nous obtenons pour celui-ci la formule que voici:
oii le facteur F doit satisfaire aux conditions que nous venons d'énoncer. Nous allons donc nous occuper, dans le numéro suivant, de la manière de déterminer F„ sous ces conditions.
g 8. D'après notre notation, est le dernier dénominateiir de la suite
dont le degré est inférieur à m; par conséquent le dénominateur
sera ou du degré m, ou d'un degré supérieur à m. Dans le premier cas, comme il sera aisé de le faire voir, il n'y aura qu'une valeur de F propre à satisfaire aux conditions qui limitent le choix de cette quantité, c'est-àdire qu'il faudra que F soit égal à o ■ dans le second cas, ou il n'y aura pas du tout de valeur de F qui satisfasse à ces conditions, ou bien F s'exprimera au moyen d'une fonction à plusieurs coefficients arbitraires.
En effet, d'après les conditions qui déterminent la fonction F , le degré du produit F Q ne pourra pas surpasser m — 1 , et celui du quotient -^ — !^ ne surpassera pas — m — 1, où le dénominateur Q ^^ est de la puissance m. Ainsi quand le numérateur sera entier et différent de zéro, le degré du quotient
sera nécessairement supérieur à — m — 1 . Donc, dans ce cas, on est forcé
d'admettre que
ou bien
ii [I.
Ensuite, d'après ce qui a été dit précédemment, le degré de la fonction w est inférieur à celui de
doue, en donnant à F la valeur o nous rendons la puissance du produit K Q,.
inférieure à celle de
—Q^ • Qp. — ^,1-1-1 1
et par conséqueut inférieure à celle de x^\ car, dans le cas que nous examinous, le déûomiuateur Q ^ est du degré m.
D'où il résulte que si Q„^^, est du degré m, on peut toujours faire
et qu'aucune autre valeur de ce facteur F ne satisfera aux conditions étal)liea dans le numéro précédent.
Dès lors, dans ce cas, le polynôme cherché jf ne peut avoir qu'une seule valeur, et elle sera déterminée par la formule que nous venons d'écrire, c'eat-à-dire par
y = <'hQi'^%Q^-*- — -+- %-^i Qt^^i -+- F^, Q,,^
pourvu que nous y f
maintenant au cas où le dénominateur Q ^^ est d'une puissauce supérieure à m. Conformément aux conditions qui déterminent le facteur F , le produit F Q^ doit être d'uu degré qui ne soit pas supérieur à m — 1 , et le degré du quotient -7^—^ ne doit pas surpasser — »ï — 1 , ou bien, ce qui est la même chose, le facteur F ne doit pas avoir un degré supérieur à celui de ^-^ — , et le degré de la différence F^^ — a^ ne doit pas surpasser celui de ^^. Or cette propriété est évidemment exprimée par les deux équations suivantes:
(9) F^^— «^ = Cir"' -t- Cx"^"^ H- ,
où V désigne la puissance de la fonction ^ — , v, celle de la fonction -^ et les
sont des coefficients indéterminés.
L'élimination de F à l'aide de ces deux équations nous donne
équation qui ne peut être satisfaite par aucune valeur des coefficients C^, Cj,. . . ., G', G",. . . -, si le degré de la fonction m surpasse v et Vj.
D'où il est aisé de voir que si la puissance de u est supérieure à v et v^, il est impossible de satisfaire aux conditions qui déterminent F dans l'expression du polynôme cherché, et par conséquent, dans ce cas, notre problème n'a pas de solution. Dans le cas contraire, quand la puissance de u n'est pas supérieure au moins à l'un des nombres v et Vj, la valeur du facteur F sera facile à trouver, et, comme il est aisé de le voir, elle sera déterminée, ou par la seule équation (8) ou par la seule équation (9), selon que v sera ou ne sera pas < Vj .
En effet, mettons l'expression de F , donnée par l'équation (8), dans la formule (9), nous aurons
Cjai''-i-(7j:c''~'-»- .... — b) =^ g' x'^ -t- G" x''-~^ -t- ....
Si le nombre v est inférieur au nombre v, , le degré de la première partie de cette équation ne surpassera pas celui de la seconde, car si v < v, la puissance de la fonction a> ne peut être supérieure à Vj , puisque dans ce cas, contrairement à l'hypothèse, cette puissance serait supérieure aux deux nombres v et v^ . Donc, par un choix convenable des coefficients G', C", . . . . , CD pourra toujours satisfaire, dans ce cas, à l'équation
quels que soient les coefficients G^, G^,. ... du premier membre de cette équation.
De même si v n'est pas < v,, l'équation (9) nous donne
et, en y laissant tous les coefficients arbitraires, nous obtenons une valeur de F qui satisfait à l'équation (8) si l'on donne des valeurs convenables aux coefficients G,, G^,. . . .
Ainsi, il est bien établi que toutes les fois que le degré de la fonction (u n'est pas supérieur au moins à l'un des deux nombres v et v^ (degrés des fonctions '^ — et -^^M, la valeur du facteur F , satisfaisant aux conditions du numéro précédent, peut être trouvée. De plus, la valeur de F sera déterminée par l'équation
ou par l'équation
selon que l'on aura v < v^ ou bien v > Vj. Quant aux coefficieuts
ils restent arbitraires.
§ 9. Pour domier un exemple, cherchons à déterminer le polynôme y = Ag-*- Aj^x -i- A^x^ -t- .... -^-A^^x^~' sous la condition de rendre maximum ou minimum la valeur de la somme
étendue aux valeurs
Nous commeacerous par supposer que le choix des coefficients
du polynôme cherché ^ n'est limité par aucune condition particulière, et puis nous traiterons le cas oii la valeur d'un de ces coefficients
est donnée.
La première hypothèse, avec les valeurs réelles de x^, x^, x^,. . . . et l'invariabilité de signe de la fonction 0 (x), nous donnera la formule déjà connue de l'interpolation parabolique d'après la méthode des moindres carrés dans les cas ordinaires; la seconde, avec les mêmes conditions pour les quantités x^, x^, x^, . . . . et la fonction 0 (x), nous conduira aussi à une foi'mule d'interpolation parabolique d'après la méthode des moindres catrés, mais dans les cas particuliers où l'un des coefficients de l'expression y est assujetti à la condition d'avoir une valeur donnée.
Si dans les formules du n" 2 nous faisons
nous trouverons
TU- d.F(ÉC, y, y', il",....) „
-iv — j,,, — \}-,
dF(x,y,y',y",....) dy"
Avec de telles valeurs des fooctions
et daDS l'hypothèse que le choix dos coefficients du polynôme n'est limité par aucune condition spéciale, nous aurons à remplir d'après le n" 3 la condition suivante :
Vexpressiûn
doit être réductiUe à une fonction entière, avec une approximation poussée jusqu'au terme x""* inclusivement.
Désignant par
+iH '\>,i^), , %-A^\ '^^.i^), 4'^-H.(^)'
les dénominateurs des réduites qu'on obtient en développant la fonction
en une fraction continue
et supposant que dans la suite des fonctions
'\,^(x\ ^..(a;), , %^,{xl %(x), %^,{x),
la dernière fonction d'un degré inférieur à m soit
nous trouverons que le polynôme
qui satisfait à cette condition, sera donné par la formule
où les facteurs
seront déterminés par la formule
et le facteur F , d'après le u'* 8, n'aura qu'une valeur déterminée
si la fonction <jj , (a:) est du degré m. Dans le cas coutraire, si notre prolilème admet une solution, c'est-à-dire si la somme
peut devenir un maximum ou un minimum, le facteur F contiendra plusieurs coefficients indéterminés et sera donné par l'une des formules
F =i.i -*- C' x^^ -H C" x'^~^ -*-...., où V et V, désignent les degrés des fonctions
Comme précédemment, on appliquera la première de ces deux formules si V < Vj, et la seconde dans le cas de v^Uj. Quant au critérium qui permet de recouuaitre que notre problème a une solution ou n'en a pas, nous avons déjà vu (§ 8) que le facteur F qui satisfait aux conditions de notre problème n'existe que dans le cas où le degré de la fonction w ne surpasse au moins l'un des nombres v, Vj.
Quand les quantités
ont des valeurs réelles, et que la fonction
ne change pas de signe, la fraction continue, qu'on obtient en développant l'expression
comme i! est connu, sera de la forme
où A-i, B^, A^, B^,. . . . sont des quantités eoustantes *). Dans ce cas les fonctions
ont pour valeurs
(ji^A^x-i-B^^ g^ = A.^x-i-B^,...., q^ = A^x-t-B^,. . .
et les dénominateurs
des fractions réduites de l'expressioû
seront de degrés
Comme dans ce cas le dernier dénominateur d'un degré inférieur à m, est '^^(x), et celui qui le suit immédiatement, c'est-à-dire '^„^^^(x), est du degré m, d'après ce qui a été éfatli, le polynôme cherché î/ sera donné par la formule
y = Uj i(>j (x) -+- Q^^^{x)-t- . . . .-+- ",,„, ^,„i {^) -+- "^ ^l^m (x).
Mettons à la place de g^ sa valeur q^ = A^x -h B^ dans la formule du u" 7 qui sert à calculer les facteurs
nous aurons
Si nous désignons par U la fonction entière qu'on obtient en divisant le produit
par f(x), nous aurons, par notre notation
*) Toyez Je Memoue mtitule Heclierclies sur les fractions contimies (T, I, pag. 203^ 230). Du reste cela résulte ■iussi de ce que <e^, œ^, x^,. .. . étant réels, e(^) coneervant toujours ]c mÈme sigue, notre problème a toujours une solatîon, quel que soit m, car cela suppose d'après le n" 8 qae dans la série ^tii (x), i^j (a-), . , il y aura toujoura un dénominateur du degré m, et qae par conséquent i] s'y trouvera des dénominateurs de toua lea degrés, ce qui n'est possible que quand la fraction continue dont il s'agit a la forme que nous venons d'indiquer.
et
d'où nous tirons
♦„W/l..)8(i).p'w |;i*„|i|l/MOMf'(»il
Ainsi l'expression trouvée ci-dessus pour le facteur «^ se réduit à la suivante :
.„ = (- 1)°- E M„.-K JB„) 2^""" -i!" ""'■
Cette formule peut s'écrire ainsi:
Le terme pkcé sous le signe Li est du degré zéro; doue, en faisant x = oo, nous aurons sa partie entière, et nous trouverons ainsi:
En calculant d'après cette formule les valeurs des facteurs
et en les mettant dans l'cxprcssiou du polynôme y, nous obtiendrons la formule que voici:
^ = ^, 2 fi^i) ^ i^i) 4-1 (^f ) ■ 4'i (^) - ^. 2 ^^"^'^ ^ ("^^^ "^^ ^^'^ ■^,{x)-^....
C'est ainsi que l'on détermine le polynôme da degré m — 1 qui rend maximum ou minimum la somme
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étendue aux valeurs réelles de x et dont le facteur 0 {%) ne change pas de signe.
Cette formule sert pour l'interpolation parabolique, d'après la méthode des moindres carrés, quand il n'existe aucune condition particulière relative à ses coefficients.
§ 10, Passons maintenant au cas oïl dans le polynôme cherché
1/ ^ A^-i- A^x -t- A.^x^ -1- . . . . H- ,4,,j^ fl;"'^'
le coefficient de x\ où l est un des nombres 0, 1, 2,. . . ., w — 1, est supposé donné.
La condition que le coefficient do œ', dans le polynôme y, doit être égal à un nombre donné peut être exprimée par l'égalité
pourvu toutefois qu'on n'étende cette somme qu'à la seule valeur de la variable ic, a; = 0, et que la fonction
se réduise à un seul terme !/' = ^. Dans ce cas, d'après la notation du n" 5, nous aurons
et toutes les dérivées partielles de
prises par rapport à y, y, y", y"\ .... seront zéro, excepté la seule dérivée par rapport à y', qui sera égale à 1.
Supposant, comme ci-devant, que la somme qu'on se propose de rendre un maximum ou un minimum est
^\[y-mfo{x)
et qu'elle s'étend aux valeurs de la variable x, telles que
nous aurons, en conseryant la notation du n** 5,
(x — aîj) (x — x^) (x — x^). . . . = -pg (x).
Avec' ces valeurs des fonctions
Jf„, jVo, Po, , <ù^{x), <p^{x)
et ayant eu vue la remarque que uous vouons de faire sur les dérivées partielles de la fonction
prises par rapport k i/, y",. . . ., y',. . . ., le polynôme cherché sera déterminé, d'après le n" 5, par la condition suivante:
(i;-/(x))6(^)<Po'(^) , , j f^
doit se réduire à une fonction entière avec ime approximation poussée jtisg^n' au terme 3!~"* inclusivement.
Comme cette expression, après la différentiation et la multiplication indiquées, se réduit à la différence
pour déterminer le polynôme y nous devons, conformément à ce qui a été dit au n" 7, développer en fraction continue l'expression
Kn nous bornant à examiner le cas où toutes les valeurs de
sont réelles, et où la fonction
ne change pas de signe, nous aurons, d'après ce qui a été dit dans le numéro précédent,
= ïo-
où Âj, Bj, A^, 5g,. . . ., sont des constantes. Ce développement de la fonction
nous donnera la suite de dénominateurs des réduites
')>ii'^), '\>A^), ■ • • • tn-A^)' l'mC^). 'K->-ii^)> ■ ■ ■ • qui seront de degré
Comme le dernier dénominateur de degré inférieur à m est t|^^(a:), et comme celui qui le suit immédiatement, ^'m-n t^); ^^^ ^^ degré m, le polynôme cherché
d'après le n'^ 8, s'exprimera par
î/ = 0| "|ij (3;) -i- &>a 4*8 (^) ~*~ ■ ■ ■ ■ "•" '^m— 1 '^m—i (^) "^ '^m "^m (^)-
Mais comme dans le cas que nous examinons
q^ =^Aj^x-t- B^, q^ =^ A^x -\- B^, . . . ., Q,=^^M, <3. = 'l'a(^X ,
et
y^/(^)e(^)WW 1.2..,.;.).,
nous aurons, d'après le u° 7 , pour déterminer les facteurs
«^, Mj, .... «,„,, "„, la formule que voici:
//WOWWW
ce qui peut être écrit ainsi :
-(-ir'i.2....a,j;(^„.-HB„)(fafi j;*»i£)).
Mais, d'après ce qui a été étabii clans le numéro précédent, l'expression
se réduit à
et la fonction 'i^^ (x), développée par la série de Maclaurin, nous donne
-*- i.2...'.g^.) +»'"" l») -^ -i.a....(i'i)ilH-J) t.'"" (0) + .... ; par conséquent
E!sg = iTi:T:4ii^)^'.'"'W-".....-.(.:i)c-..)^^''°)-^ ■ • • •
et la différence se réduit à la série
