PARMI CSLLSS QUI CONTÏENJSKNT UNE RACINE; CUBIQUE

(ÏRADUXT PAK A. V. VASSXLïEï".)

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(MaTeMaiH^ecKifi CôopaiiKi,. T. IT. 1867 r., cTp, 71-7a)

Sur rintégratlon des différentielles les plus

simples parmi celles qui contiennent une

racine cubique.

Dans le mémoire: Sur l'intégration des différentielles qtti contiennent tme racine culique *) il a été montré par quelles fojictions le plus simples s'exprime l'intégrale \-~ dx sous forme finie lorsque cela est possible; on y a supposé que le radical VU n'a pas de diviseur rationnel et que le terme algébrique de l'expression de l'intégrale j ~ dx a été chassé.

Le calcul de ces fonctions qui conduisent à la détermination de l'intéid, comme il est facile de voir, au développement du

radical YR en fraction continue; c'est ce qui a conduit Âbel dans son mémoire connu sur ce sujet à l'expression de l'intégrale \'7=- dx par les fonctions de la forme A log ^'^'^ ,

En appliquant ce procédé aux exemples, Abel trouve quelques cas particuliers de l'intégrabilité de la différentielle

= dx,

sous forme finie.

On peut, d'après le mémoire cité plus haut, procéder de la même manière par rapport aux différentielles qui contiennent une racine cubique. Ainsi, en appliquant notre méthode à la différentielle

,— " dx.

") Tome I, pag 563—608.

nous trouvons que, outre le cas où la fonction x^-i-ax-i-b a un facteur multiple, cette différentielle s'intègre sous forme finie dans les suppositions suivantes

Dans tous ces cas l'expression de l'intégrale

f, =* dx

est donnée par la formule générale

iïlog [tp(v'^).<p"(a>":B).9"Ka^fî^)],

où K est un facteur constant, a une des racines imaginaires de l'équation a? — 1 ^ 0; la fonction 9 [Y M) se ramenant au produit

dont les facteurs