t^), ']>,{fB],...., ^^^^ifË

déterminés successivement l'un au moyeu de l'autre, ont, comme il est facile de voir, dans le cas.

M ^ x'- -+- ax -i- b, les valeurs suivantes;

Le nombre [jl, qui exprime combien des facteurs

entrent dans l'expression de la fonction 9 Wli) peut avoir toutes les grandeurs de zéro à l'infini.

La supposition

b = 0 s'obtient dans le cas

et dans ce cas nos formules donnent

où

cp [y' M) ^x — y'x'' -+- ax.

La supposition

a lieu quand

et dans ce cas la fonction 9 {'P'M) qui entre dans l'expression de l'intégrale

au moyen de la formule

K log [y [fË] . 'f {a fli) . 9»= [a? fu)]

a la forme suivante

^{tB) = {x-fR)[x^-^-o(x^^)[i^^,x-^-^)

,[3;--3(35-i-l)(^^^-|)] fB-i-fm], Dans le cas

on a la même valeur do jt et, par conséquent, la même forme de la fonction

Bans tous ces cas p reste une quantité constaute et a les valeurs suivantes:

1) — 2K'pour &=0, 2) — 6ff, pour 5 =: — {-, et

3) __z, pour -==:-H=^^.

Mais l'application du procédé qui a été donué par nous pour l'intégration de la différentielle

sous forme finie, n'est pas bornée à ces résultats particuliers et à d'autres semblables; ce procédé de l'iiitégration mérite toute l'attention d'autant plus qu'il donne la condition nécessaire pour que t'iutégrale

\-^=dx

puisse être exprimée sous forme finie. Eu effet, poîir qu'il soit possible d'exprimer l'intégrale

ii^x^-i-ax-t-b

SOUS forme finie, il est nécessaire qu'au moins l'une des équations

puisse être satisfaite par une quantité X qui est rationnelle en -3. En appliquant cette condition aux cas mentionnés de l'intégrale

nous trouvons que la quantité a les valeurs suivantes:

Pour les deux premières valeurs de -3, l'équation

A^ = ^- — -H 1, en se réduisant à

a évidemment une solution rationnelle en -3. Pour la dernière valeur de ^, l'équation

se ramené a

qui ne peut être satisfaite par une valeur ratiOBnelie eu ^ ^ — T^ "lë^ - Mais dans ce cas l'équation

3(5JX'+6 5(Z'-H-2X)=1

se réduit à l'équation

et cette équation, comme il n'est pas difficile de s'en assurer, est satisfaite par

ce qui s'exprime rationnel lemeut en ^ =

Dans le cas où !a quantité

est rationnelle, pour qu'il soit possible d'obtenir l'intégrale

r^ — î — .^dx

i i/x'^+ax-t-b

SOUS forme finie il est nécessaire, d'après ce qui précède, qu'au moins une dos équations

ait une racine rationnelle.

D'après cela on reconnait facilement l'impossibilité d'obtenir sous forme finie plusieurs intégrales de la formule

f , ' dx.

SÏÏR ÏÏH MIGAHISMK

(TRADUIT PAR X. W. MESXSGHBRSKy.)

(Lu le 8 (20) octobre 1868.)

06^ oduOM'h MCCCaUU3M?&.

(SaniicKE HMnepaTopcKoS ABafleum HayK-6, t. XIV, 1868 r., CTp. 38—460

Sur un mécanisme.

Daus le mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes'^), nous avons montré, de quelle manière par les approximations successives ou peut trouver avec un degré désiré d'exactitude les dimensions les plus avantageuses des éléments du parallélogramme de Watt ainsi que d'autres mécanismes du même genre, qui réalisent le mouvement peu différent du mouvement rectiligne.

Nous avous réduit cette question par le développement en séries, à la détermination des fonctions entières, qui s'approchent le plus de zéro, et nous avons traité dans un mémoire spécial sous le titre: Sur les questions de minima gui se rattachent à la représentation approximative des fonctions**) la détermination des fonctions entières et fractionnaires, remplissant cette condition.

Cela suffit pour trouver les solutions approximatives ; mais pour la résolution exacte il faut appliquer la même analyse aux fonctions irrationnelles, qui se présentent dans ce cas.

L'application aux fonctions irrationnelles du théorème général que nous avons démontré dans le second des mémoires cités à l'égard des expressions, qui se rapprochent le plus de zéro, est intéressante sous plusieurs rapports, et comme un des résultats dételle application nous allons montrer la construction d'un mécanisme remarquable tant par sa simplicité que par la précision, avec laquelle il réalise le mouvement rectiligne.

Ce mécanisme est composé des mêmes éléments articulés de la même façon que le parallélogramme réduit de Watt; il ue diffère de celui-ci que par les directions des leviers, qui tournent autour des axes fixes: ils sont dirigés du même côté et se croisent.

On prend les leviers de la même longueur et le point, qui exécute le mouvement désiré, se trouve au milieu de la bielle, c'est-à-dire, de l'élément relié aux extrémités des leviers par les charnières.

**) T. I, p. 2TÔ—'ô78.

En appliquant le théorème mentioaué phis haut à la fonetioUj qui détermine le mouvement de ce point, nous trouvons, que son mouvemeut s'approehe le plus possible du mouvement rectiligne dans l'étendue plus ou moins considérahle sous les conditions suivantes:

1) La distance des axes de rotation des leviei's doit être égale au tiers de la longitetir de tous les trois éléments du mécam-isme, c'est-à-dire, de deux leviers et de la bielle.

2) La Imigwetir de la Udle doit dépasser le quart de celle des leviers. A mesure que diminue l'étendue, où l'on désire réaliser le mouvement

approché du mouvement rectiligne, la longueur de la liielle doit de plus en plus s'approcher dn quart de celle des leviers et en même temps avec une plus grande précision on obtient le mouvement rectiligne. La longueur de la bielle est déterminée par l'équation;

' — f^^^rif '

où l'on désigne par a la longueur de la bielle et par l celle de la corde de l'arc, qu'on cherche de rendre s'écartant le moins possible d'une ligne droite. (On prend pour l'unité la longueur des leviers).

Il est facile de se convaincre que cet arc sera compris tout entier entre deux parallèles dont la distance aux axes de rotation des leviers est égale respectivement à

■)/-i(l-(.)(2-^«), |/|(l-a)(2-H-o)-Hjaj=J|5.

Soit en effet GAÂ^G^ (fig. 1) le mécanisme considéré, où AG= 1,

Â^C^-^\ sont deux leviers, qui tournent autour des axes Cet C^, AA^= la bielle, dont le point milieu M exécute le mouvement désiré.

D'après ce que nous avons dit, la dîstanco CC^ des axes de rotation des leviers ÂC et A-^C-^ doit être égale à

En élevant du milieu de CG^ la perpendiculaire OH et prolongeant les droites (7C, et AA^ jusqu'à leur rencontre au poiut F, et considérant le triangle MXV, le rectangle MXOT et les triangles ACV et Afi^V, noua obtiendrons pour la détermination des distances du point ilf aux droites GV et Off les équations suivantes:

MX=MV?.mOVM; MY= OX = OV— MV cos OVM; ■ AG^=iMV—AMf-t-{0r-î-0G)^—2 (MV—AM) (OV-t-OG) cos OVM; ^iC,^=(Jf F-h4M)^h-(0F— 00/— 2 {MV-t-A,M) (OV—OG,) cos OFilf.

En posant

. OVM a

sm —j— = 8

et observant que, d'après ce qui a été dit plus haut, AG=\, 40, = 1,