AM=A^M
OC =00, ^~-'- =^, nous trouvons des équations ci-dessus:
I) MX =
^" + s«Ui
cl'
(1 -+- 2ay 8 (2 -!-«)<.
--SÏ
[ Sa
2) arr
En déterminant d'après la formule (1) les valeurs des diiférences
Itt' — |-{1 -O) (2-l-(!)
iKI"-A (1-0) (2H-a)-îa|=J|,
on trouve, qu'elles se représenteut respectivemeut sous la forme:
par suite le produit
[jfX'-| (1-a) (2 + 0)] [ifX>-| (1-a) (2-^a)-^^^;] est égal à.
Puisque le carré
ïlll!
<»-iy,, (te-i)(i-i-a<il\
pour toutes les valeurs réelles de S est positif et le facteur
pour S^ < j2^^ — p est négatif, le produit
[jlfX»-|(l-»)(2^-a)] [Jg^ - I- ( 1 - ») (2 -H 1.) - ,'*;- 'g j
reste négatif lorsque S^ varie depuis 0 jusqu'à Z^, ; d'où il résulte que les facteurs
iia» — 1(1—0) (2-1- n),
JIfX>-4 (1-0) (2-4-0)- J^l^
doivent être de signes contraires; par conséquent la valeur de UX'
doit être comprise entre les quantités :
On voit de là que la distance du point Jlf à la droite CC, depuis S^ = 0 jusqu'à S^ = .^^.^ sera comprise entre les limites
par suite le point Mue sortira pas de l'espace limité par les droites parallèles à CCi , dont les distances à CC^ sont égales à
D'ailleurs d'après la forme du mécanisme considéré le mouvement du point ilfest le même de part et d'autre de la droite OH; c'est pourquoi l'arc de la courbe décrite par ce point, lorsque S" croît depuis 0 jusqu'à -. '*"". , sera disposé de la même manière de part et d'autre de la droite OH et la corde soutendaut cet arc est égale à la double distance de ses extrémités à OH.
Cette distance d'après la formule (2), où l'on pose
peut être représentée sous la forme
r 4 (2 -1- rt)^ '
par suite
d'où, élevant au carré, ou obtient
?3 - (^ — 2a) (1 -*- 2a) (Jn — 1)
Ainsi nous nous assurons que pour la valeur de l, satisfaisant à cette équation, l'arc soutendu par la corde l, dont le milieu se trouve sur la droite OH, est réellement compris tout entier entre deux droites parallèles indiquées plus haut.
Toutes les fois lorsque la quantité a diffère peu de y, la distance de ces parallèles est petite et par conséquent l'arc que nous considérons s'écarte peu d'uue ligue droite.
Mais à mesure que a s'éloigne de -j-, la distance des paraltèles augmente et la courbure de l'arc devient de plus en plus grande.
Pour une valeur de a plus grande que 0,546 *) (ce qui correspond à l > 1,222) ces écarts sont si considérables que l'arc se courbe à ses extrémités vers la droite OH, en vertu do quoi les points de cet arc les plus éloignés de la droite OH ne se trouvent plus à ses extrémités, mais à certaine distance d'elles.
Pour faire voir avec quel degré de précision le mécanisme traité réalise le mouvement approché du mouvement rectiligne dans l'étendue assez considérable, nous appliquons les formules obtenues au cas
ce qui a lieu dans le parallélogramnie de Watt, dont le fonctionnement a été examiné parP rony, qui l'atrouvé bien satisfaisant. (Annales desmines. Tome XIÎ).
En résolvant l'équation
- (5— SaXl-^aaXJn — 1)
oii l'on fait ; = 0,64, on trouve
Substituons cette valeur de a dans les expressions, qui déterminent les distances des parallèles aux axes de rotation des leviers:
*) C'est une racine de l'équation (a'i — 6a -t- 2) {3a — 5) (2a -i- 1) — y (4fls — 1) = 0, n obtient, en égalant à zéro la dérivée de MY^ par rapport à ff et posant S* .= -- — ^^ .
on trouve alors que ces distances sout égales respectivement à 0,83428,
Doue la distance des parallèles est égale à
D'après les calculs de Prony !e parallélogramme de "Watt dans la machine à vapeur, où le bras du balancier était de 2,515'" de longueur, donnait les déviations, qui atteignaient 0,002'° ou 0,00079, si l'on prend pour l'unité la longueur du bras du balancier.
Tandis que lorsqu'on se sert du mécanisme que nous avons examiné les écarts ne surpasseront pas, comme nous venons de trouver, 0,00029, ce qui fait moins que la moitié du nombre 0,00079.
Notons en dernier lieu que la construction connue, qui sert à passer du parallélogramme réduit de "Watt au parallélogramme complet, s'applique sans aucun changement au mécanisme que nous avons considéré ; de cette manière on obtient le parallélogramme complet de Watt ayant un tigeguide, qui est dirigé en sens contraire et coupe le balancier.
Le parallélogramme de cette espèce est représenté sur la figure 2, où le point Tli" décrira la courbe, qui, comme on voit de ce qui précède, s'écar-
tera moins de la droite verticale, que celle qu'on obtient dans le cas de la disposition ordinaire du tige-guide A,, G„ .
Mais quand la forme du parallélogramme de "Watt est modifiée de la manière indiquée, la courbe décrite par le point M, comme on voit de la figure, fait avec le balancier .i (7 un angle trop aigu, ce qui inconvénient très important.
SUR LES FONCTIONS ANALOGUES G II L L ï! S DE LÏÏ61ÏHDÏ13
(TXAWUXï PAK A. V. VASSïO.ïEï',)
no9oSHU<x-'& d:>uHniiii^M'i> o/lc-dcauapa
(SanHCKH HMnepaTOpCKoft Ananutnm HayKï,, t. XVI, 1870 r., cip. 131—140.)
Sur les fonctions analogues à celles de Legendre.
La propriété remarquable des fonctions de Legendre
qui conduit facilement au développement en série de la forme A„Xo-i-A,X^~i-A,X^-^ ,
se déduit, comme on sait, d'une manière très simple de l'expression de
l'intégrale
Ssid^-sa Vl — 2tx-t-P
En effet on a, d'après la définition de ces fonctions,
, ^ =Xo-HXs-HZ,S^-i-.. . .
donc l'intégrale
jVl—2sx
- dx
est égale à l'intégrale
(XoH-ZiSH-ZaS^-t- ){Xf,-t-Xj-t-X^t'-i- )dx,
*) Legendre, Eiercicea de calcul intégrai, T. Il, p. 250.
la quelle se ramène, ai l'on ouvre les parenthèses, à la somme suivante du nombre iafici des termes:
Mais en déterminant la valeur de cette intégrale sous forme finie, nous trouvons qu'elle s'exprime par la formule
qui se développe en série procédant suivant les puissances du produit st; par conséquent, dans le développement de cette intégrale il n'existe pas des termes de la forme
oii n est inégal à m.
En comparant entre elles ces deux expressions de la même intégrale
\V ï — 2sx-t-s^ Vl — 2tx-*-t^
dx,
nous remarquons que leur identité suppose l'égalité
pour toutes les valeurs de n et de m inégales entre elles. De la même manière l'iotégrale plus générale
J d^lMi-»)» ""''
où
^ -i- y 1 — 2sx -+- s*y^ U - s -K y 1 — 2sa; -j- s^t
Vl — isx-vn'^ '
H-y 1 — 2te-»-(»y'u-(^yi-2fa3-(-('f .
Vi—atcc-t-p '
se ramenant à l'intégrale
qui se développe en série procédant suivant les puissances du produit st, montre que les fonctions entières de la variable x
qui s'obtiennent par le développement des expressions
(1 + s -I- VT^ 2sx-i-s''f (l—s-i-Vl — 2ax~f s^T Vl —2sx-t-s^ '
(i-t-t-i-VT^^tx-i-pf {i—t-,-Vi — 2tX'i-tiT
Vl —2lx-i-t^
en séries
ToH-TiS-i-T.s^-i- ,
vérifient l'équation
pour toutes les valeurs de n et de m inégales entre elles.
Quant à la réduction de l'iutégrale (1) à la forme (2), elle s'effectue facilement si l'on fait disparaître de la façon usitée les radicaux conteHus dans les fonctions F(s,x), F{t,x).
En effet, eu posant
(4) y 1 — 2sx -I- s^ = y 2s ï/, nous trouvons que
(5) x = l:±f^f et
En faisant le dernier radical égal à l'expression et en posant
m Ht-". 4r = P.
nous obtenous
et
(7) y l — 2tx-i-t' = Y '2t (;j-i-u) = y -it^
En portant la valeur de y dans les expressions (4), (5) du radical
yl — 2sx-t-s^ et de la variable x, nous avons
2s \ 2ti / ■
Cette dernière égalité, d'après (6), peut être écrite plus succinctement ainsi:
D'après ces valeurs de la variable x et des radicaux
Vl-—2sx-h'S\ y 1 — 2tx -+- i^ nous trouvons que
[(B — g — Mt)2 — 4 (a — 1) M^JI*
(e - a „a 2 y-^^n «f (0 - :; - M^ -t- 2 /^^II «f
4F wîl'
>.-t-ll-l
2 ^ a>'-^l^-i (0 a-^MÎ)
Mais en remarquaut que d'après (6)
nous pouvons écrire les dernières expressions de F{s, x), F(t, x) plus succinctement ainsi:
r2ya-i-l«-H& — a — «2*1 r2ya— 1 u-i-p — a— Mî I
[ayp-^
En multipliant ces quantités
F (s, 3;), F {t, x), dx
et en divisant leur produit par les quantités
(l-^-xf, (l—xf,
nous trouvons après la réduction des facteurs communs du numérateur et du dénominateur que la différentielle
a'osprimo ainsi:
),H[. , .r^ fu'^-^2VJ^^U'^&~'^^' ( »^-+-2yFrT«-t-g-a Y du
Mais, en décomposant le numérateur et le dénominateur des fractions
„2 ,- 2 ■/ p + 1 M -)- & — a M^-t-2y|i— iK-l-fi — g Ï^J^TTvVÏTïr^M^' — uî — 2>'c! — 1h-& — o
en facteurs linéaires, nous remarquons que la première, après ia réduction par
se ramène à ____
M-^V'|i-,-i y'a-i-l M yii-Hl -t- -/a-Hl '
et la seconde, après la réduction par
u -H V J-^^ -H Va— 1, se ramène à
eu vertu de quoi l'espression de la différentielle se ramène à la suivante qui est la plus simple:
Pour trouver les limites de la quantité u, correspondant aux limites de l'intégrale
f F(3,ai].F(l,x) ,
nous remarquons que d'après (I), (4) et (6) la quantité u s'exprime par x ainsi:
t(=:y ^ — X — Va — a;;
d'où, en prenant a; = — 1 eta; = -i-l, nous trouvons que la valeur de w correspondant h x= — 1 , est
u = yp-t-1 — Va-t-1,
et celle qui correspond à a; = -+- 1 est
u = yp— 1 ~ Va— 1.
D'après cela, l'intégrale
F(s,^c).F(t,ic)
s'exprime ainsi:
(ïa;
/■yfi — 1 — yœ-- 1
-y'cc^i
Cette intégrale, comme il n'est pas difficile de remarquer, se simplifie
considérablement par l'introduction de la variable v = — .—-^ — ■ .
En faisant cette substitution et en remarijuant qu'aux valeurs
u = y^-t-1 — Va^-l, M = yp— 1 — Va — 1 correspondent
nous trouvons que cette intégrale se ramène à la forme suivante
(9) J s'-^'M ' {Wi){^f%
où
— quantité qui d'après (8) s'exprime au moyen de s et de ^ par la formule
^-^i i-^s (1 -t- () VYs — (1 -»- s) /2Ï ■
En réduisant la dernière fraction par
y 2s — y "27, nous trouvons
i + VTt
Ou voit ainsi que l'intégrale (9), à laquelle se réduit l'intégrale (1), est une fonction du produit s^. Pour obtenir cette intégrale sous une forme plus simple, nous posons
i-Vlts
1~V sts'
ce qui donne
do
2VTidi
^V sldz
(l ■4--V'"^2) (l —-/Tis) ~ 1 — S(^^'
Vutz' ï— » Vst{]. — i}
En portant ces valeurs dans l'expression de l'intégrale (9) et en remarquant que d'après (10) aux valeurs de v
' ' ~y&-Hi— -/a-l-l*
correspondent
nous trouvons que l'intégrale considérée se ramène à l'intégrale suivante:
2X-i-H-n(t stg)l^
ce qu'il fallait montrer.
