UD — N
où. U désigne un polynôme entier de degré n — 1 ayant pour x:=a)^, x^, .... x^ des valeurs égales à celles de la fonction cherchées, polynôme — qui, d'après la formule de Lagrange, se représente par l'expression
^=9(^)fc
OU
(1) f{x) = {x — a:,) (x — ir^)- ■ ■ ■ (* — ^J-
L'annulation de la différence
pour n valeurs différentes de la variable
constitue la condition nécessaire et suffisante pour la divisibilité de cette différence par
f^(x) = {x — Xj) (x — x^). . . . {x — œj,
d'où il suit l'égalité suivante:
(2) UD~N=o{x)W,
W étant une fonction entière.
Cette équation sera satisfaite par un nombre infini de systèmes des fonctions B, A', W et chacun de ces systèmes donne une fraction
D ' qui pour
se réduit à
Si l'on restreint le chois des fonctions iVet D, comme le fait Cauchy. par la condition que le degré de D ne soit pas supérieur à 1, et celui de N ne surpasse pas n — X — 1, nous remarquons que dans ce cas le degré de iV" sera plus petit que celui de ^^' et de ^^', 9(3:) étant, d'après (1), du degré n. L'équation (2), étant divisée par 9(3;) D, donne: u w N
^Ix) D D ç (3:) '
où, d'après ce qu'on a remarqué à l'égard du degré de iV, le degré du second membre sera plus petit que celui de ^^ et de — -^.
Donc, la fraction
JF D
donnera l'expression approchée de
aux termes près d'ordre de
et de-
La première de ces approximations n'est possible, comme on le sait, que dans le cas où la fraction
est une des réduites de l'expression
qu'on obtient en la développant en fraction continue. La seconde exige que
dans la série des réduites successives la fraction -^ soit suivie par ime fraction dont le dénominateur est de degré plus grand que "k, par ce que l'approximation fournie par une réduite quelconque se détermine par l'unité divisée par le produit des dénominateurs de cette réduite et de la suivante. On voit d'après cela que la fraction
où, d'après la condition, le degré de D n'est pas supérieur à \ sera la dernière des réduites de l'expression
ayant un dénominateur dont le degré ne surpasse pas X. Représentant par
la fraction continue, obtenue par le développement de l'expression
et par
^ Il Iè
W Çi' Q,' '
la série des réduites successives, où
|Po=0, P,= l, P^^îa, i^i = î'i^rSi-^Pi-^y
et supposant que
est la dernière dans la série
Fo Pi ^2
Qo' Qi' Q2'
ayant un dénominateur Q de degré non supérieur à X, nous aurons, d'après ce qui précède,
C'est ainsi qu'où trouve le dénominateur D de la fraction cherchée
et la fonctiou, W qui, D étant connu, détermine, à l'aide de l'équation (2), le numérateur N de la même fraction.
§ 3. Il est facile de même de montrer que le numérateur N peut être déterminé immédiatemeut par le développement en fraction continue de
Eu effet, d'après nos notatious , la fraction coutinue provenant du développement de cette expression est
îii îsj ?3.* ■ ■ ■ étant les quotients obtenus dans les divisions successives de 9 (x) par U, de V par le premier reste, du premier reste par le second etc. Or, eu désignant par
2ïj , M^ } -^3 ■ ■ • •
les restes dans ces divisions, nous remarquons qu'ils seront liés entre eus et aux fonctions (p (a:), V, q^, q^, g^, . . . . par les équations
<p (a!) ^ ÎJ^i M- iîj ,
iSc
Mettant dans la première de ces équations la valeur de U tirée de k seconde, nous aurons
9(a;) = (a,jj-4-H,)s, et remplaçant d'après (3)
nous trouvons
Or, d'après (3), on a
nous pouvons donc écrire la seconde des équations (5) ainsi;
Les égalités
où l'on remplace, d'après (3), Q, et Pj par
Q,— QA et P, — P,q, et, d'après (5), Pj par
donnent
9(i) = {B.-i-«jî,) e,-t-P, (ft— ô.î,),
F= (a,-i-P,5,) P,H--B, (P, - P,},), ce qui se réduit à
<p{a;)=S,a-i-aa(33,
Remplaçant ici, d'après (3) et (5), les fonctions
ft, P., -B, par
Qi — QA, P, — P,lt, -B4-i--B,34
et réduisant, on obtient
B=BJ\-i-B,P,.
En procédant ainsi nous trouverons en général
77 — L'éliminatiou de 2?;^, entre ces équations donne
!7 «, - 9 {X) P, = B, («, P,^, - (2,^, P,). et comme, en vertu des propriétés des réduites, on a
on réduira l'égalité précédente à celle qui suit: il) VQ. — ^{x)P. = {—yfB,.
En y posant i^i^^^t remarquant que, d'après (4),
on trouve
UD — (s^{x) W^{—lfB^,
ce qui donne, étant comparé avec (2),
