N=(-\TB

On voit de là qu'un des restes

pris avec le signe -+- ou — sera égal au numérateur N de la fraction cherchée

Comme le signe avec lequel M est égal à N se détermine par le signe de ( — l)** il sera -i- ou — selon que ji. est pair ou impair.

§ 4. Dans la série des restes

qu'on obtient dans les divisions successives de <p(a;) par XI de î/parle premier reste, du premier reste par le second etc., il est facile d'indiquer le reste R qui, d'après (8), donne la valeur du numérateur IV de la fraction cherchée

Remarquons pour cela que, d'après nos notations (§ 3), le reste B correspond au quotient q auquel correspond à son tour dans la fraction continue

dont le dénominateur fournit, d'après (4), la valeur du dénominateur D de la fraction cherchée. Ou voit d'après cela que B est le reste dans la dernière division nécessaire pour obtenir la réduite

et par conséquent, d'après (é), la valeur de B.

D'ailleurs, il est aisé de montrer que dans la série

le reste E est le premier dont le degré est inférieur à w — X.

En effet, comme le degré de M^ est plus grand que celui de Iif^^^ et le degré de Q^^^^ plus grand que celui de Ç^, le degré du produit

est supérieur au degré de

En vertu de cela, d'après l'équation (6), le produit B^ Qt^i sera de degré égal à celui de tp {x) ou rc", donc le degré de B^ sera égal à celui du quotient

En posant i = ;i, et remarquant que, d'après le § 2, Om^-i est la première fonction dans la série

dont le degré est supérieur à X, nous concluons que R est le premier dans la série des restes

dont le degré est moindre que le degré de ^, c'est à dire moindre que w —X.

Ou voit d'après cela que pour déterminer le numérateur et le déuominateur de la fraction cherchée

il faut prolonger les diyisions successives de 9(0:) par Z7, de i/par le premier reste, du premier reste par le second etc. jusqu'à ce qu'on arrive à un reste de degré inférieur hn — X. Le dernier reste avec le signe -i- ou — sera le numérateur 2V; quant au dénominateur D=Ç , on l'obtiendra à l'aide des quotients 2i, ïaf - ■ ■ %i 1'^^ donnent ces divisions, au moyen des formules (3); le signe avec lequel le dernier reste est égal au numérateur N sera -1- ou — , selon que [)., le nombre de toutes les divisions, sera pair ou impair.

§ 5. Passons maintenant au cas où la fonction ti représente la racine de l'équation

Pour que la fonction u ayant les valeurs

pour

satisfasse à l'équation

u^-^Lu — M = 0,

ii faut et i\ suffit que pour les mêmes valeurs de x on ait

U étant (§ 2) une fonction entière de degré n — 1 et ayant les mêmes valeurs que îi pour x^x^, x^,. . . . x^. Cela se réduit à l'égalité

où

et W une fonction entière inconnue. Tout système de fonctions LetM pour lequel cette égalité peut être satisfaite par une fonction entière W conduit à une équation

u^-t~Lu~M=0

h. laquelle satisfait une fonction u prenant les valeurs Wp «g, . . . . m„ pour x = Xjf x^,. . . . a;„, et le nombre de ces équations est infini. Ayant en vue

— soies équations les plus simples, qous allons chercher ceUe dans laquelle le degré de L ne surpasse pas une limite donnée X, ilf étant en même temps du degré le pins petit possible.

L'équatioD (9) se réduit aisément à la forme

qiii fait voir que la différence

représente la valeur de

aux termes près d'ordre de la fraction M

et, par couséquent, pour que M soit, conformément à ce qui précède, de degré le plus petit possible, il faut que la différeuce

représente le plus près possible la valeur de

Or, la détermination des polynômes L et W sous cette condition est justement l'objet de cette application spéciale des fractions continues dont il s'agissait dans la lettre mentionnée ci-dessus. En appliquant au cas actuel la formule y établie pour la détermination du polynôme Z, nous trouvons que le polynôme L se détermine par la série suivante

où et

>i„ s.,.-.-, ft, «,,■■■.

ont ]e même sens que dans les paragraphes précédents.

Cette série arrêtée au dernier des termes dont le degré ne surpasse pas X, donnera le polynôme cherché L. Supposant que ce terme soit

et désignant pour abréger une expression de la forme

par

nous aurons d'après ce qui précède

Quant à la fouction W, la formule de la lettre mentionnée qui détermine le polynôme F, donnera d'après nos notations, pour l'expression de W la formule suivante:

TF = — Eî'-HOo A — », -Pi-t- -^(— !)"»[( ^n-

Pour déterminer le polynôme M mettons dans l'équation (10) les expressions trouvées des polynômes L et W, ainsi que le développement de la fonction

en série procédant suivant les valeurs qui donne

On en tire, en multipliant par q)(ic) et réduisant, l'expressiou suivante du polynôme M:

Or, remarquant que d'après (7)

nous trouvons que l'espression du polynôme M se réduit à celle-ci: Jlf=-

C'est ainsi qu'où détermine les polynômes L et M conduisant aux équations les plus simples de la forme

m^-m-Zk — ilf=0

auxquelles peut satisfaire une fonction u qui prend les valeurs

(Qédi'é à l'Ecole Impériale technique.) (XÏÎADUÏT PA:R g, X. SOUSLOr.)

napajiJi&jio-zpaMMax^ .

TpyHH BToparo ctisRa pycciîuxt ecreciBOHCii&iTaTejiefl Bt Mockb'É, npoHCXOKHEinaro

c-t 2û-ro no 30-e aErycia 1869 rojia. 1870 r. ÛTR-kii, TexHûnoria u IIpasTMecKofl

MexaHHKE. Cip. 9^30.

Sur les parallélogrammes.

(Dédie à l'Ecole Impériale technique).

§ 1. Jusqu'à présent on n'emploie en pratique que trois parallélogrammes différents: les deux parallélogrammes de Watt, réduit et complet, et le parallélogramme connu sous le nom du mécanisme d'Evans. Mais il est possilDle de composer beaucoup de mécanismes semblables qui fournissent le mouvement plus ou moins approchant du mouvement rectiligne. Dans les séances de l'Académie Impériale des sciences de St.-Péterabourg (18 cet. 1861, 8 oct. 1868) et de la Société mathématique de Moscou (18 nov. 1867) nous avons parlé de la construction des parallélogrammes qui par leur précision surpassent tous ceux qu'on emploie aujourd'hui. Maintenant nous montrerons, comment on peut construire différents parallélogrammes qui produisent le mouvement rectiligne avec l'approximation aussi grande que l'on voudra. Nous allons voir qu'avec le même nombre d'organes que celui du parallélogramme complet de Watt il est possible de construire un parallélogramme qui fournit le mouvement rectiligne exact jusqu'au 13-e degré, tandis que les parallélogrammes de Watt et le mécanisme d'Evans ne produisent ce mouvement qu'avec l'exactitude qui ne va que jusqu'au 5-e degré; quant aux parallélogrammes, proposés par nous, leur degré d'exactitude balance entre 6 et 8. Un tel parallélogramme, comme on va voir, présente d'ailleurs cet avantage que, tout en conservant dans son jeu la précision encore suffisante pour la pratique, il peut remplacer par ses organes la bielle et la manivelle pour exécuter la transformation du mouvement rectiligne alternatif en mouvement rotatoire continu. En parlant de différents parallélogrammes nous ne considérerons que les mouvements infiniment petits, pour lesquels le degi-é de précision des parallélogrammes peut être défini avec une facilité particulière; pour passer des mouvements infiniment petits aux mouvements finis il faudra faire quelques changements

dans les dimensions des organes. Ces cliaugemeots seront eu géiiéral peu sensibles, si les limites pour le mouvement du parallélogramme sont assez rapprochées; alors on peut évaluer ces changements à l'aide de séries par la méthode que nous avons exposée dans le mémoire: Théorie des mécanismes connus sons le nom de parallélogrammes*). Mais pour le dernier des cas mentionnés, quand le parallélogramme remplace par ses organes la bielle et la manivelle, ou aura besoin d'un procédé tout à fait particulier parce que dans ce cas qui s'écarte trop de celui des mouvements infiniment petits l'emploi de séries n'est pas efficace. Nous examinerons ce cas particulièrement et nous donnerons toutes les formules qui s'y rapportent,

§ 2. Les mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes peuvent être considérés généralement comme des systèmes de droites qui se meuvent dans un plan et qui sont liées entre elles à l'aide des charnières; ces dernières empêchent aux points d'intersection des droites de glisser sur celles-ci, mais elles permettent aux angles faits par ces droites de varier. D'ailleurs quelques unes des charnières sont invariablement liées à certains points du plan de manière que les droites correspondantes ue peuvent que pivoter sur ces points fixes. En désignant par m le nombre des droites dont le parallélogramme est composé, par n le nombre des joints liant deux droites entre elles et par v celui des pivots fixes, on aperçoit que la position sur le plan de chacune des m droites du système considéré est défini par trois grandeurs (par exemple, on peut prendre pour ces grandeurs les deux coordonnées d'un bout de la droite avec son inclinaison sur l'axe des abscisses). De l'autre côté chacune des « charnières, unissant les deux droites, et chacun des v pivots fixés au plan fournissent deux équations entre les grandeurs qui définissent la position du système considéré {savoir: l'accouplement de deux droites par une charnière suppose l'égalité des coordonnées de deux points appartenants à ces deux droites; le pivotement d'une droite sur un point fixe du plan suppose que les coordounécs de ce point sont connues). On voit ainsi que la position de tous les points du système se définira par 3m grandeurs, liées entre elles par 2 (n-i-v) équations et par conséquent le nombre des variables indépendantes s'exprimera par la différence 3m — 2 (» -t- v).

Mais ce nombre doit être égal à l'unité pour que les points du système considéré ne puissent se mouvoir que sur les trajectoires déterminées, comme cela doit avoir lieu pour les parallélogrammes; donc

*)T. I, pag. 111 — 143.

De l'autre côté on aperçoit: 1) que le système considéré ne doit pas se mouvoir librement dans un plan et 2) que toutes les droites qui appartiennent au système doivent être liées entre elles.

Le premier point suppose nécessairement l'existence des pivots fixes; par conséquent, v > 0.

Le second point suppose que n, le nombre des charnières, est plus grand que m — 2, parce que m — 2 joints ne suffisent pas évidemment pour lier une à une toutes les droites dn système. Mais de l'équation (1), pour w >■ m — 2, on trouve

,nn-3

On voit ainsi que v, le nomlire des charnières, doit satisfaire aux inégalités suivantes: (2) v>Q,v<'^.

§ 3. En prenant dans l'équation 3m — 2 (n-i-v) = l les nombres)» et n-i~v pour des inconnus et en la résolvant, on trouve pour m et n~*-v les valeurs suivantes:

wj = l,«-i-y^l; m=S, 7î-t-v:=:à; w = 5, «--i-w=7, ht. i.

En considérant les premières valeurs de m et de m-^-v:

ou aperçoit que d'après (2) pour m = 1 il faut avoir

ce qui suppose que v=^l. Donc eu ce cas le parallélogramme dégénère en une droite pivotant sur uu de ses points, — Ainsi on trouve le mouvement circulaire qui ne peut remplacer le mouvement rectiligue qu'avec l'approsimatiou du second degré. En passant aux valeurs suivantes de m et de n -f- V, on a

D'après (2) pour m=^Z on trouve

cela suppose que v a uue des valeurs suivantes:

Mais d'après l'équafiou:

à ces valeurs de v correspondent les valeurs suivantes de w: n — 3, M =2.

Donc pour m = 3 on aura

v= 1, w = 3, ■ ou t;= 2, n= 2.

Dans le premier cas le système considéré consiste en une droite qui pivote autour d'un de ses points et qui est articulée avec deux autres droites à l'aide de trois joints ou, ce qui revient au même, le système n'est qu'un triangle qui tourne autour d'un point fixe, situé sur un de ses cOtés. Ainsi tous les points ne peuvent se mouvoir que sur les cercles et par conséquent ne peuvent fournir le mouvement rectiligne qu'avec l'approximation du 2-e degré.

le système considéré consiste en deux droites qui pivotent sur deux points fixes et qui sont articulées avec la troisième par deux joints. C'est le plus simple système des parallélogrammes qui peuvent produire le mouvement rectiligne avecl'exactitude plus grande que celle du 2-e degré; savoir: le parallélogramme réduit de Watt, le mécanisme d^ Evans et le parallélogramme que nous avons proposé l'année passée. Les deux premiers parallélogrammes fournissent le mouvement rectiligne exact jusqu'au 5-e degré; le dernier jusqu'au 6-e degré.

Dans le troisième groupe des valeurs pour m et w -i- v on a

et d'après (2) pour w ^ 5 on trouve

D'où il est clair que v, le nombre des pivots fixes, ne peut avoir que les valeurs suivantes:

Mais d'après l'équation

ou trouve qu'à ces valeurs de v correspondeat les valeurs suivantes de la quantité n :

Les premières valeurs de v et de n

correspoudent au cas, lorsque les 5 droites sont liées par 6 charnières et tournent autour d'un point fixe, situé sur l'une d'elles. Ainsi ces droites représentent un système invariable et tons leurs points ne peuvent décrire que des cercles.

Pour

on trouve des parallélogrammes qui consistent en deux droites, qui pivotent sur des points fixes et sont articulées avec les trois autres droites à Paide de 5 joints; ainsi sont construits le parallélogramme de Watt et le parallélogramme que nous avons proposé sous le nom du parallélogramme modifié de Watt *). Le premier de ces parallélogrammes fournit le mouvement rectiligne exact jusqu'au 5-e degré, le second — jusqu'au 7-e degré.

En conservant la même combinaison des pièces comme celle du parallélogramme de "Watt, mais en leur donnant une autre direction on trouve le parallélogramme que nous avons mentionné à la fin de notre mémoire portant le titre «Sur un mécanisme» **). Si l'on donne aux organes du dit parallélogramme des dimensions convenables, il fournira le mouve- ' ment rectiligne exact jusqu'au 6-e degré. Si l'on combine les organes de la même manière comme dans le parallélogramme modifié de Watt, mais en changeant leur direction, on trouve le parallélogramme représenté sur la fig. 1. Ce parallélogramme, comme il n'est pas difficile de ie montrer, peut produire le mouvement rectiligne exact jusqu'au 6-e degré; pour cela les dimensions de ses organes doivent être évaluées de la manière suivante.

Si l'on prend pour unité des. longueurs celle de la droite BG pivotant

*) T. I, pag. 533 — 538.

**)T. Il, pag. 31—57.

Fig. 1.

sur le point G et si l'ou pose GF = f, BF = h (la loagueur de ces droites est arbitraire), on trouve pour toutes les autres parties du parallélogramme et pour le poiût-4, situé sur la droite AF et exécutant le mouvement désiré, les fonnules suivantes: