PB
Du triangle rectangle GD'^ on a
mais, comme
O^^CB — ^B et
OD = AIf,
l'expresËioii précédente donnera:
GI)'' = {AI)' — ^I)f-i^^B'\ Eu apercevant que du triangle rectangle ACD' on a: GB'^ = AI)'^ — AC^, on conçoit de cette équation que
AD" — AC = (AD' — ?D'f -*- pD'^ , d'où, en ouvrant les parenthèses et en réduisant, on aura ^ i{7 = — 2^1»' ■ pZ) H- pU^ H- pD". Dans cette équation AT)' est une quantité finie, mais les quantités AC, (BD, pD' sont infiniment petites et l'ordre d'infiniment petit [BD'est plus haut que celui d'infiniment petit ^D, parce que la droite CD est tangente à l'arc DD'; donc l'équation précédente suppose que ^B est infiniment petit du second ordre par rapport à AG. Mais, par hypothèse, ^D' est infiniment petit de l'ordre A par rapport à ^D, parce que l'arc JDD', décrit par le point D, représente la droite CD avec la précision qui va jusqu'au degré X. Par conséquent, le segment ^J)' par rapport au segment ^C sera infiniment petit de l'ordre 2X, donc de l'équation trouvée
^» = wPB'
on conclut que Art, déviation du point A de la droite LC, sera par rapport à ^C infiniment petit de l'ordre 2X-i-l. ^.^ ^
§ 6. Eu se hasant sur ce qu'on vient de démontrer, on peut très facilement augmenter la précision des parallélogrammes en y ajoutant le système des deux droites dont on a parlé auparavant. Ainsi, du parallélogramme réduit de Watt qui produit le mouvement rectiligne exact jusqu'au 5-e degré on passe à celui qui est représenté sur la fig. 4; ce dernier, si les conditions posées en § 5 sont remplies, fournira le mouvement rectiligne avec la précision qui va jusqu'au ll-e degré. Ce parallélogramme consiste en trois droites BC, B'G', B"G" qui pivotent sur les points fixes G, G', G", et en deux droites articulées avec celles-ci à l'aide des trois joints B, B', B"; le bout A de la droite AB exécute le mouvement voulu. Exactement de la même manière on passe du mécanisme d'Evans, produisant le mouvement rectiligne exact
jusqu'au 5-e degré, au parallélogramme qui est représenté sur la fig. 5 et qui peut fournir le mouvement rectiligue exact aussi jusqu'au 11-e degré. Ce parallélogramme présente les mêmes organes que le précédent; la différence ne se manifeste que dans la position des points fixes C', G", sur lesquels pivotent les droites B'C', B"G" et dans la position du joint D unis- - saut les droites AD et B'B". On a vu au § 3 qu'avec les mêmes pièces que ceux du parallélogramme réduit de Watt et du mécanisme d'Evans on peut composer le parallélogramme dont la . précision ira jusqu'au 6-e degré. Si l'on ajoute à ce parallélogramme les deux droites satisfaisant aux conditions qu'on a exposées dans le paragraphe précédent, on aura le' parallélogramme qui fournira le mouvement rectiligae exact jusqu'au 13-e degré. Le parallélogramme ainsi coustruit est représenté sur la fig. 6 , Il consiste aussi en cinq droites dont les trois BG, B'G", B"G" pivotent sur les points fixes G, G', G", et les "'deux autres B'B", AD sont liées avec les premières à l'aide des trois charnières B, B\ B''. Le mouvement en question est fourni par le bout libre de la droite AD. Ce parallélogramme ne diffère du premier de ceux qu'on a décrits que par la position des points fixes G', G", sur lesquels pivotent les droites B'G\ B"G".
Le parallélogramme mentionné produit le mouvement rectiligne avec la précision qui va jusqu'au 1 3-e degré; donc d'après § 5, si l'on le combine avec deux autres droites, on peut construire un parallélogramme fonctionnant avec la précision qui ira jusqu'au 27-e degré; en y ajoutant encore deux droites on augmente le degré de la précision jusqu'à 55 etc. Mais, comme nous regardons la précision qui va jusqu'au 13-e degré comme tout à fait suffisante pour la pratique, nous nous arrêterons au dernier des parallélogrammes mentionnés et nous n'examinerons pas les parallélogrammes plus compliqués.
§ 7. Comme le degré de précision, avec laquelle ce parallélogramme fouruit le mouvement rectiligne est poussé si loin, le segment de la droite produit par le mécanisme considéré, avec la précision suffisante pour la pratique, peut avoir la longueur assez considérable relativement aux dimensions
Fig. 7.
Fig. 8.
des orgaues du paraHélogramme. Si l'on garde la longueur des droites AB, BO, mais si l'on augmente la longueur de la trajectoire du point A en haut et en bas du point G (fig. 7), on parviendra à ce que la droite BG exécute un demi-tour au côte droit de la droite LM qui passe par le point G et qui est perpendiculaire à la droite G'G". Si, d'ailleurs, on modifie les positions des points C, G" en les disposant symétriquement des deux côtés de la droite LM (fig. 8), toutes les positions du parallélogramme seront symétriques par rapport à la même jf droite LM. Donc à une oscillation du point A
entre les limites extrêmes dont on a parlé tout à l'heure correspondront également et le demi-tour du segmeut BG au côté droit de la ligne LM, et le demi-tour du segment BG au côté gauche de LM. Par conséquent, les points G', g", pivots des droites B'G', B"C", étaat ainsi disposés, à la révolution complète de la droite 5C autour du point G correspondra l'oscillation du point A d'uue limite extrême à l'autre et le retour de ce point à sa première position. Le degré de précision que possèdent les parallélogrammes de l'espèce considérée est poussé si loin qu'il devient possible de faire suffisamment approchée de la ligne droite toute la trajectoire décrite par le point A pendant la révolution complète du segment 5C autour du point G. Ou atteint ce but, comme le montrent les calculs, si l'on donne aux organes du parallélogramme les dimensions évaluées comme il suit:
«On prend pour uuité des longueurs celle des droites B'G', B"C" qui pivotent sur les points G', G"; alors la longueur a de la droite B'B" liée avec celles-ci et la distance b entre les points G', G" s'exprimeront ainsi:
où (T est le sinus-versus de l'augle de l'inclmaisou de la droite B'B" sur la droite O'C" dans la position extrême du parallélogramme; les segments CB, AB, BD et AD sont définis par l'équation:
(5) BC^AB = BB==^ = \ l,
où l est égal à la longueur du pas du point A, qu'on peut trouver à l'aide de la formule
en posant (7)
Le point D, où la droite B'B" est articulée avec la droite AD, doit être pris au milieu du segment B'B"\ il faut choisir la position du point C, sur lequel pivote la droite BO de manière, que dans la position moyenne du parallélogramme, quand les droites B'B" et O'G" deviennent parallèles, le point D coïncide avec le point Ga.
§ 8. Il n'est pas difiieile de montrer que pour le parallélogramme ainsi construit les déviations du point A de la droite LM pendant la révolution complète du segment BC autour du point 0 ne surpasseront pas la limite suivante :
OÙ M est la valeur maximum qu'atteignent les fractions
2(Ji — 2Xo -I- — — 2Xs — «ï
(1 ^ 1 S)M(. - «)* ('-^ri^ - .) (2 - .)'
entre s ^ 0 et s = c.
Nous commencerons la démonstration par la recherche des formules
qui définissent la position du point D (fig. 9) pour les iuclinaisous diverses de la droite B'B" sur la droite C'Cf'. On prend la droite (fC" F'g- 9-
pour l'axe des abscisses, la droite LM pour celui des ordonnées et le point 0, intersection de ces droites, pour l'origine des coordonnées; alors, comme, d'après ce qu'on a dit, les points C', 0" sont disposés symétriquement par rapport à la droite LM, on aura :
C'0=G"0 et par conséquent G'O = C'a = ~ O'C" = I 6.
En prolongeant la droite B'B" jusqu'à sou intersection avec l'axe des abscisses au point F, ou aperçoit que les coordonnées du point J) à l'aide des longueurs des segments DF, OV et de l'angle B'VG"= a. s'expriment ainsi:
x = OV—DVco%a,
De l'autre côté on voit que
B'r=DV-+'DB'; B"r^DV—BB"; 0'V=^OV—OC'; G"V=OV-t-Oa"; d'où d'après les équations:
J)B' = DB"=^ B"B' ^ J; 0G'='4r\ OG"=l,
on déduit:
G'r=or-
l; c"r=ov-i
mais, comme oa a pris pour uuité des longueurs celle des droites B'G', B"0", les triaugles CB'V, C'fi" F donnent
1 =(Br^- |-)V(0F- 1)'- 2(i)F-.- 1) (or-^) ces a, 1=(bF~|-)'-h(oFh-|)'-2(bF-|)(oFh-|)cos».
En résolvaut ces équations par rapport aux quantités BV, OV et en posant pour abréger
1 CCS « ==^ s,
on trouve
or !(-- -)/(....;.,,.,
En introduisant ces valeurs pour BV et OV dans les expressions déjà obtenues pour les coordonuées x et y du point D et en remarquant que l'équation
1 — cos a ;= s donne
on trouve
z = 1 — s, sin a = y» (2 — s),
Ainsi s'expriment les coordonnées du point D à l'aide de sinus-versus de l'angle qui mesure l'inclinaison de la droite B'B" sur la droite G'G".
§ 9. En abordant la détermination des déviations du poiut A de la droite LM, menons du point A la droite An perpendiculairement à la droite LM: la longueur de cette perpendiculaire représente la déviation du point A de la droite LM. Pour déterminer cette longueur abaissons du point D la perpendiculaire DD' sur l'axe des abscisses et du point Cérigons la perpendiculaire CP h l'axe des ordonnées; les segments CS, BB' seront les coordonnées du point B; donc, d'après les expressions pour x et y qu'on a déduites dans le § 8, on aura
-(k-Hl-s)l
En annulant dans la dernière de ces expressions la quantité s— l~cos a et en remarquant que cela a lieu, lorsque les droites B'B", G'Cf' deviennent parallèles et le point J) d'après le § 7 coïncide avec le point (7, ou trouve pour la détermination du segment 00 la formule suivante:
oo=|(x-Hi)i/,j^=fy2)ï:
D'ailleurs, en unissant le point C avec D par la droite CD et le point A avec Cpar la droite AO^ on conçoit que d'après l'égalité des segments (§7):
