Hi p-+-Pi

sinA\;^

A l'aide de cette expression de l'angle w = DAE il est facile à faire voir, que l'équation (10) représente une simple propriété géométrique de l'arc DE, à savoir:

ciAu moment où le point de contact des deux dents est sur la ligne des centres, le point extrême E de l'arc DE (fig. 5) se trouve sur la circonférence, qui passe par le point Z> de contact primitif et par les extrémités P et Pj des deux arcs DP ti DP^ des circonférences primitives, qui correspondent à l'angle de rotation- de la roue Cependant la durée de la prise des arcs DE et BF».

Pour le démontrer traçons la circonférence, passant par les points D, P et P-^, et la corde DE; soit E^ le point de leur intersection; cherchons la longueur DE^.

D'après nos notations

ADG=N; DAE=<ù, DGP^.l, OD = M, G,D=B^,

et l'angle -DCjP, est celui dont a tourné la roue C^ pendant toute la durée de la prise des arcs DE et DF, de sorte que

MeDOns par le point D la droite J)G perpendiculaire à GG^ et DT perpendiculaire à AD; ces droites étant tangentes aux arcs DP, DP^ et DE respectivement font avec les cordes de ces arcs les angles

PDQ = \ DGF, P^DG = ^ DG,P„ EDT=\dAE,

ou d'après les notations adoptées

PDO = ~; P,DG = ^; EDT=^.

Quant à l'angle QDT, ses côtés étant perpendiculaires à ceux de l'angle ADG, on a 6DT--=ADG et par suite GDT= N. On en déduit:

FDP, = PDG -H P^DG = y H- ^ ^,

P,DE, ^ GDT— GDP^ ~ EDT= N— ^l — -^,

PDE, = GDT-i~ PDG — EDT= iV -t- ^ ~ -^ .

D'autre part ayant

DGF ^ l, DC\ Pi=^l DG^^E, DG, = R,,

on trouve les longueurs des cordes DP et DP,:

Connaissant les longueurs de ces cordes ainsi que les angles qu'elles forment avec la corde DEy , on trouve facilement la longueur de cette dernière à l'aide de l'équation;

DP. sin (Pj />i,\) — />P, sin (l'DE^) -^ DE, sin {FDP,) = 0,

qui a lieu pour trois cordes quelconques passant par un même point de !a circonférence.

En y portant les valeurs trouvées des longueurs de DP et DP^ et des angles P^DE^, PBE^, PDPj, on obtient pour la détermination de la longueur de P-Ej l'équation suivante:

(12) 2flsi4sm(A'-^-f)-2B,sin^sm(j\r-,4-|-)+BJî;,sm(|*5|)=o.

Pour en déduire la longueur de DE^ avec une approximation du deuxième ordre, développons les deux premiers termes jusqu'au troisième ordre et le facteur de DE^ jusqu'au deuxième: nous aurons: