DE-DE
donc le point E^ coïncide avec le point JE, qui est par conséquent sur la circonférence considérée, ce qu'il fallait démontrer.
§ 9. Répétant relativement à l'arc DF, profil du flanc de la dent de la roue (7^, tout ce qui vient d'être dit relativement à l'arc DE, profil de la face de la dent de la roue C, on arrive aux formules, qui se déduisent des formules précédentes en remplaçant des lettres relatives à la roue 0 par celles relatives à la roue C, et réciproquement.
Quant à la quantité l, qui représente l'angle de la rotation de la roue G pendant la prise des arcs DE et DF, il faut la remplacer par
parce que la roue C\ en même temps tourne de l'angle ^ l dans le sens opposé.
Au lieu de l'angle w = DAE, qui mesure l'inclinaison réciproque des
rayons AD et AE passant par les extrémités de l'arc DE, nous aurons
o, = DBF
avec le signe — à cause de la position inverse des fayoïis BB et BF, passant par les extrémités de l'arc DF.
L'équation (1 1) deviendra par ces changements
(13) a —ë^ëi ^^i A.^^Mi ^ia N.l^;
l'équation (10) reste la même, quand on passe de l'arc DF à l'arc DF; ces deux équations nous conduisent au même résultat relativement à l'arc DF, que nous avons obtenu dans le paragraphe précédent relativement à l'arc DE, c'est à dire, l'extrémité F est située sur la circonférence passant par les points D, P et P^.
On arrive ainsi à la conclusion suivante, concernant l'engrenage couconsidéré:
'(Au moment, où le point de contact des dents est sur la ligne des centres, les cinq points suivants sont sur une même circonférence: les extrémités des profils de la face de l'une et de la partie vive du flanc de l'autre des deux dents qui sont en contact sur la ligne des centres, les points des circonférences primitives qui viennent à la ligne des centres à la fin de la prise de ces dents, et le point de contact des circonférences primitives».
Cette propriété n'est exacte que jusqu'à la troisième puissance de l, puisque en déterminant les positions des différents points nous avons négligé dans nos formules les puissances de l supérieures à la seconde. Mais cette approximation est suffisante dans la pratique en vertu de la petitesse de fa quantité l, qui représente l'angle de la rotation de la roue pendant la prise d'un couple des dents de l'un ou de l'autre côté de la ligne des centres.
En se basant sur les formules (11) et (13), ou peut trouver une autre propriété de l'engrenage considéré. Ces formules étant ajoutées donnent
mais d'après nos notations
a=DAE, (a^ = DBF, l=^DCP, et comme nous avons remarqué plus haut
§-==DG^F^; donc l'équation trouvée se réduit à la suivante:
DAE-t-DBF= DGP-i-DC\P^.
Considérant les angles que foraient les cordes des arcs DP, DP, , DE et DF avec leurs tangentes DG et DT, on voit que
PDO = y I>GP, P^I)G = \ 1)0, Pj , EDT=\ DAE, FDT^ ~ DBF,
par suite l'égalité précédente donne
EDT-t~ FDT^ PDG -t- P^DG, d'où
EDF=PBP,,
c'est-à-dire qne les cordes des arcs DE et DF font entre elles le même angle que les cordes des arcs de retraite DP et DP, ; les points P, Pj , F, E étant situés sur la même circonférence passant par le point D, il en résulte, que les droites PP, et EF sont égales entre elles.
On peut énoncer cette propriété de l'engrenage considéré comme il suif:
«La distance entre les extrémités des profils de la face de l'une et de la partie vive du flanc de l'autre des deux dents, dont le point de contact est snr la ligne des centres, est égale à la distance des points des circonférences primitives, qui viennent à la ligne des centres à la fin de la prise de ces dents».
Puisque dans le tracé des engrenages, on donne les circonférences primitives et les arcs de retraite et d'approche, on pourra toujours, d'après ce que nous avons montré plus haut, tracer la circonférence, où doivent être situées les extrémités des profils de la face et de la partie vive du flanc des deux dents et on connaîtra la distance de ces extrémités au moment, où les dents sont en contact sur la ligne des centres.
Soient (fig. C) G et G, les centres des circonférence primitives, D le point de leur contact. Ayant en vue de déterminer le tracé des profils des dents des roues C et G, portons les longueurs DP et DPj des arcs d'approche sur les circonférences primitives; puis traçons la circonférence passant par les points D, P, Pj, sur laquelle doivent se trouver les extrémités E et F des profils de la face et de la partie vive du flanc des dents au moment, où le point de leur contact et sur la ligne des centres; la distance de ces extrémités doit être égale à PP^. Quant au choix de la position des points E et P'sur la circonférence, il dépend des exigences de la pratique: plus ces points seront éloignés du point D, plus longue sera la dent de la roue C et plus profond sera le creux de la roue Cj ; en même temps sera plus mince le
bout de la dent de la roue G et plus étroit près du fond le creus de la roue Cj.
Après avoir choisi les positions des poiuts E et F sur la circonférence et la direction de la normale commune ans profils des dents en contact au
Fig. 6.
point D, nous aurons les prolils cherchés, en traçant par lo points ï) et £', 1) et F les arcs de cercle^ ayant au point D Ja normale choisie.
§ 10. Passons maintenant au cas, où l'on dispose de deux quantités dans le chois des arcs de cercle formant les profils des dents, en vue de diminuer autant qu'il est possible les irrégularités, qui sont inévitables une fois que l'eugrenage est profilé en arcs de cercle.
Développant la différence:
suivant les puissauces ascendantes de X jusqu'à la quatrième puissance, on trouve, que d'après le § 3 cette différence se réduit au polynôme:
D'où il suit que pour déterminer les valeurs de X, qui annulent la dérivée
on à l'équation:
dont les racines sont:
Ou conclut de là, d'après le § 4, que la normale commune aux profils des dents en contact passe par le point de contact des circonférences primitives pour les valeurs suivantes de l'angle X:
Les équations qu'on peut déduire de cette circonstance dans le cas considéré s'obtiennent facilement, comme nous le verrons, si l'on fait usage de l'angle v, variation de l'inclinaison de la normale commune aux profils des dents en contact (§ 5) sur la ligne des centres.
Cherchaut d'après la formule (4) les valeurs de v correspondant aux trois valeurs de A ci-dessus trouvées, on remarque, que la première est nulle et les deux autres sont de la forme:
où il faut poser successivement
En désignant ces deux valeurs de v par v^ et v^ nous aurons
v^~0,3Q6KJ~^- 0,305^X^1", v,= 0,865 Kl -^- 0,SQ5^ KJ\
Soient, conformément aux notations
Fig. 7-
1, G et Cj (fig. 7) les
centres des circonférences primitives, CD = It, CiD = ^ leurs rayons; ^
et B les centres des arcs de cercle DE et DF, lorsque leur point de contact est sur la ligne des centres; AB = p, BB = Pi les rayons de ces arcs; AG=r, BG-i^r^ les distances des points A, B aux ceutrea G, G^; ABG=N l'angle, qui mesure l'inclinaison de la normale commune aux arcs BE et BF sur la ligne des centres. Si Aj et B^ sont les positions des centres des arcs BF et BF au moment, où le décroissement de l'angle de l'inclinaison de la normale commune aux dents sur la ligne GG^ est égal à w,, la droite AjB^ représente la position de cette normale, correspondant à X=;0,365 1; et par suite elle doit passer par B, point de contact des circonférences primitives.
Considérant les triangles GAB, GAJ), G^BB, G^B^D, où. d'après nos notations
AG=A,G==r, BG, = B,G, = r„
AB = p, BB = ^^, ^JS=^i5, — p-j-pi, GB^B, G^B = R^, ABG = BBG, = N, A^BG=B,BG,=N—v,, et posant
AB~A^B = B^B-BI) = h,
nous aurons les égalités suivantes:
r^ = p2 ^ i^^ 2 p s cos iV,
r/ = pj^ -i-E^ — 2 p, -Sj cos N, r^^ = (pj -I- lif -H i^^a 2 (p^ ^ A) n^ cos {N — v^),
qui, après l'élimination de r et j'^, nous donnent:
pa H ija __ 2 p E cos y = (p — A)^ -I- i?^ — 2 (p — ^) iÈ cos {Jv' — Vi), Pi^-f-i^,"— 2pii^jCosi\^~(Pi-f-A)^.i-2îi^— 2(pi-Hft)iïjC08(iV~î'J.
Pour éliminer de ces équations la quantité h on peut les résoudre par rapport à
p — J( et Pi H- ?(
et ajouter les résultats.
On arrive ainsi à l'équation:
p t-p, — {Ii-\-B^ cos (A' — w,) =
Vp^— 2i;e cositf-(-iÈ^cos^(JV— Vj) H-Vp^''— 2 iïj pi cos N-\-B^ cos'' (N—v^),
qui peut être réduite à la forme:
p -t- Pj — (i£ H- B^) cos (N — îî,) =
y{p — M C03 N)^ -i- R' [cos^ {N — t),) — cos^ N]
-i-y(Pi— iï, cos Nf -I- n,^[cQ^^{N— V,) — cos^iS^].
Posons pour abréger
(U) '"' .oliV ='■■
ce qui doDue
cos (A' — yj)=^cos]Vyi -h^j,
et nous pourrons écrire l'équatiou précédente comme il suit:
p H- p, — {E-^R;} cosA^Vl -t-^i = y(ç, t; cos iV)^ -+- iï^ cos' iV. ?! -+- Vi^^^—R^ cos iVf n- B^^ cos' iV^ . ij .
Développant les radicaux suivant les puissances de ^,, ou ramène tons les termes dans le premier membre; divisant par i,, on trouve:
4 LiP
— E cos JV
Pl— i?lCÛ3iV
l,.-B....Jf|.-'--»-'-^J'.
1 r fie C05S is^ Jf,6 coiS AT 7? 1 / a
8 L (. - i ~ »)• "^^ (f , - a, »> A')' -I- ■« -^ -«ij '1
Faisons pour abréger
Eco3lV
p — EcoaiV ' Pi —
et l'équation ci-dessus prendra la forme suivante:
ItX-irR^Y-^R^R^—^{RX^-^RJ^-i-R'^R,)t^
^^{RX''-^^BJ''-i-R-i-R^)t^'-t-... j
En répétant les mêmes opérations pour l'angle v^, qui correspond à
l'angle de la rotation \ = 0,SQo l, pour lequel la normale commune doit passer aussi par le point D et posant;
nous obtenons l'équation
■ y (iîS^ H- B, P H- JS -t- iî,) (;/
analogue à l'équation (16).
Des équations (1 6) et (1 8) on déduit les valeurs de X et ï; en suite à l'aide des formules (15) on trouve les valeurs de p et pj, rayons des arcs de cercle formant les profils des dents.
§ 11. Pour faciliter la résolution des équations (16) et (18) nous négligerons d'abord les termes contenant les puissances de t^ et t^ supérieures à la première. Nous aurons pour les valeurs approchées de X et Y les
ItX -y- B, 7h- B^B^ — j- (BX' ^R^Y^-^-R-t- R^) f, = 0,
RX-^B^Y~i-B-i-Bi—~ {RX^ -i- B,Y^ -t- B-^ B,)f^ = 0
qui se réduisent aux équations suivantes:
RX-i-B,Y-i-B-t-B^ = 0, BX'-t- R^ Y^-A- R-t-B, = 0.
On déduit de la première
Substituant cette valeur de Tdans la seconde ou arrive à l'équat
SX' -t- B, {— -§' X — -^ lY-i-iî-i-iî, = 0,
qui, les réductions faites, aura la forme:
(Jî, — ii)X»— SBX^— 3 (B-i-iî,)X— a— 2iî, = 0.
Cette équation a deux racines égales à — 1 et la troisième, qui est égale à
Or, remarquant que d'après la première des formules (15) X ne peut devenir égal à — 1 que si le rayon p devient nul, on conclut que les racines égales à — 1 ne eout pas admissiljles dans notre problème; donc il faut prendre pour la valeur cherchée de X la racine
Bi — If
Substituant cette valeur de X dans l'équation (19) on trouve
Telles sont les premières valeurs approchées de X et de Y. Pour 1 déterminer avec plus d'exactitude,
où a et p sont les quantités négligées dans la première approximation.
Introduisant ces nouvelles valeurs de X et de P dans les équations (16) et (18) et supprimant les termes, qui contiennent les puissances des quantités a, p, t^, t^ supérieures à la première, on obtient:
Si l'on se borne à la première puissance de ^i et t^ dans la détermination des valeurs de a et p, les deux équations précédentes donnent immédiatement l'équation
Pour obtenir une seconde équation simple entre a et ^ soustrayons l'une de l'autre les mêmes équations et, supprimant le facteur commun 1 (^a — ^i); Doiïs aurons:
