BB, C03 N

[l — 0,137 ^^^^ fangA^.;].

Tels sont donc les rayons des arcs de cercle, dont l'nn forme le profil de la face de la dent de la roue Cet l'autre celui du flauc de la deut de roue Cj.

§ 13. Pour déterminer les longueurs de ces arcs, on a d'après le § 8 avec approximation jusqu'à P

où 0) est la longueur de l'arc de cercle, profil de îa face de la dent de la roue t7j, supposant que le rayon de cet arc est pris pour l'unité, et les coefficients ^i et K^ d'après le § 6 ont les valeurs suivantes:

(p - B cos N) {K, -4- 1)S -.- {B -.- El) fcos N.Ei'^ -t- — "^'^''^ ^ -^a= — — ■ . 2ifi siD N ''"""■

Remplaçant p et pi par leurs valeurs trouvées dans le § 12, nous supprimons les termes contenant, comme facteurs, P dans l'expression de K^ et l dans celle de K^; nous aurons ainsi:

J taug N.

Après la substitution de ces valeurs dans l'expression ci-dessus de w on obtient avec approximation jusqu'à P

Remplaçant dans cette formule a par — «i , ï par — ^ ^ -^ P^i" -^i ; p pai' p, et réciproquement on parvient d'après le § 9 à la formule pour déterminer la longueur de l'arc de cercle, qui forme le profil du flanc de la dent de la roue G^•.

OÙ Wj désigne la longueur de l'arc, son rayon étaut pris pour l'unité. Ou en déduit que la somme

et le produit

avec approximation jusqu'à P se réduit à

jecosA^jH-^''-^;r^"^' siuiy.^^

Cette expression est la môme que cplle de la corde D-E, (§ 8), f|ni résulte de la formule

DE, — B cos N.l-i-n{^-t- ^^^ l) sin N. l ,

après la substitution de la valeur de w. On conclut de là, que dans le cas présent subsistent les propriétés que nous avons démontrées (§ 8, § 9} pour le cas, oîi dans le choix des arcs de cercle formant le profil de l'engrenage il n'y a qu'une seule quantité dont on peut disposer pour diminuer les irrégularités du mouvement.

Nous avons vu dans le § 9 que dans ce cas on peut modifier suivant 1rs exigences de la pratique la direction de la normale commune aux dents qui sont en contact sur la ligne des centres, sans changer les positions choisies sur la circonférence DPPi (fig. 6) pour les extrémités des profils de la face de la dent de la roue G et de la partie vive du flanc de la dent de la roue Cj. Au contraire, dans le cas que nous examinons à présent la position de ces extrémités définit complètement la direction de la normale commune mentionnée, puisque d'après le § 8 (fig. 5) on a:

N= GDT= QDE^EDT= GDE-^^.

Ym portant l'expression connue de w, où p et p^ doivent être remplacés par leurs valeurs, ou trouve une équation, qui détermine l'angle N, si l'angle ODE est donné. Si l'on a égard à ce fait que c'est dans ce cas notamment que l'on obtient la plus grande régularité possible avec des engrenages profilés en arcs de cercle, on conclura de ce qui précède que toutes les fois, lorsqu'on choisit la direction de la normale commune AB conformément aux exigences de la pratique, il faut chercher donner à, cette normale la direction qui s'écarte le moins possible de celle que l'équation précédente fait connaître.

Les valeurs trouvées de w et w, avec approximation jusqu'à l duiment

or d'après le § 8 (fig. 5)

--DÂE=2EDT, = DBE=2Fjrr.

donc on a avec approximation jusqu'à la première puissance de l FI)T B^ ->- 2Ji

D'où il ressort que, si la normale commune aux dents en contact AB a la direction indiquée, leur tangente commune iT divisé l'arc EF en deux parties, qui sont entre elles dans le rapport

ce rapport étant exact jusqu'à la première puissance de l.

On en déduit une construction géométrique très-simple pour déterminer approximativement la direction de la tangente BT, correspondant à celle de la normale AB, pour laquelle les irrégularités du mouvement de l'engrenage cousidéré deviennent les moindres possibles.

Remarquons pour terminer, que les angles que les cordes PD et PjZ) (fig. 5) font avec le diamètre passant par le point D ont pour valeurs approximatives jusqu'à l^, respectivement:

PS, ' 6B, l-

En comparant ces valeurs avec celles des angles

PDG = ^, GDP, = ^,

qui résultent des formules trouvées, on remarque qu'elles sont respectivement égales avec approximation jusqu'à la deuxième puissance de l. On voit de là, qu'avec ce degré d'approximation le diamètre du cercle DPP-^, passant par le point D, fait avec les cordes DP et BP^ des angles respectivement égaux à ceux, que la tangente DT aux arcs BE et DF doit faire avec le cordes DE et BF, pour que l'irrégularité de la transmission du mouvement par l'engrenage soit réduite au minimum possible.

SuR LUS QuABRATÏÏRES.

(Liou-viîîe, Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874, p. 19—34)

Lu au Congrès de l'Association française pour l'aTancemerit des Sciences, à Lyon. Séance du 26 août 1873.

Sur les quadratures.

1. Daua l'Ouvrage très-important que M. Hcrmite vient de publier sur l'Analyse mathématique, l'illustre géomètre docne une nouvelle foimule pour évaluer approximativement la valeui" de l'intégrale

Vi — x'

dx.

Dans cette formule toutes les valeurs de la fonction (s^{x) entrent avec un même coefficient; c'est ce qui apporte une différence essentielle entre la formule de M. Hermite et celle de Gauss, et ce qui en rend très-commode l'application numérique. L'utilité des formules approximatives de ce genre m'engage à présenter quelques réflexions sur la recherche de ces formules.

Nous supposerons que, la fonction F{x) étant donnée, on cherche à exprimer le plus près possible les intégrales de la forme

f F{x) <p(ic) dx^

quelle que soit la fonction ç {x), par la formule

& [9 (a!i) -4- tp (a;^) -+- . . . -t-9 (a;„)],

m. h, x^, x^, . . . x^ sont des valeurs qui ne dépendent pas de la fonction rù{x). Comme cette formule ne contient que n--\-\ quantités ^, a^i, '^ai- ■ • ^n '^'*^* on puisse disposer, il est impossible de l'identifier avec la valeur de l'intégrale

J F{x)'a{x)dx

au delà des termes qui coutiennent les n premières ç (x), et, par conséquent, ou aura

(1 ) f ^-{3^) 9 (a;) rfœ-fe [© (x,Kç (^ J-f-. . .-Hç (a;j]=fti ^<"-^'* {0)+&, rpi"-^^' (^^^^

en desiguaut par fe^, /Cj,. ■ ■ les coefficients de (p'"'^'^(0), 9'"'^* (0), . . . dans l'espresaiou de la différence

f F (x) cp (x) dx~h [9 (a;,)-»- cp (a:,) h- . . . h- (p(rBj],

que l'on trouve en développant, d'après la formule de Maclaurin, la fonction (^{x) sous le signe de l'intégrale et les valeurs ç{a;J 9(2;^), . , . , ^{x^ qui sont hors ce signe.

2. Pour trouver, d'après la formule (1), que l'on suppose possible, la valeur du coefficient h et les valeurs a;,, x^, . . .,x^ de la variable x, noua remarquons que cette formule, dans le cas particulieur où

e étant une quantité quelconque, se réduit à l'égalité

1.2.3. . .(Ȕ-*-l)fc^2"~"~^-i-1.2.3...(n-+-2)i2'^~"~'-t-. . .

oit ^, ^1 , &g , . . . , a;^ , 3^2 1 ■ ■ '■> ^„ sont des valeurs qui ne dépendent pas de z. D'autre part, en dénotant par f{s) le produit

(s — aij) {z — x^. . .(^ — tcj, on a

et, par suite, la formule précédente se réduit à celle-ci:

(2) f'zarf^^t£g!-H'-"-;dr"''H-'-"-;„i;r''"-H-..

En multipliant cette formule par s et en remarquant que, pour s = oo, les valeurs

'T/^Ht:

sont respectivement égales à

f F(x)dx, n, 0, 0,. . .,

on parvient à cette égalité

f F{x)dx = nk,

ce qui nous donne, pour la détermination du coefficient h, la formule suivante:

A = i-f F{x)dx.

3 , Pour déterminer la fonction

nous remarquons que la formule (2), étant intégrée par rapport à s, nous donne

f F{x)\oëis — x)dx=^hlog^-^où G est une constante, et de là on trouve