En donnant à n les valeurs les plus simples, telles que

ou ti'ouve que, pour ces valeurs de n, l'équation (5) devient respectivement

et, eu résolvant ces équations, on obtient les systèmes suivants des valeurs de a;,, x^,. . . , a!„:

Avec ces valeurs de Xj, x^,. . ., x^,ia formule

4 [?(^i)-^9(^2)-^- ■ --^îK)] donne l'expression approximative de l'intégrale

J tp (ai) dx,

qui, dans certains cas, est plus commode pour les applications que ue l'est celle de Gauss; car, dans cette dernière formule, les valeurs cp (cc^), cp (œ^), . . . , 9 {x^} entrent munies de divers coefficients. Comme notre .expression de l'intégralej '^{x)dx n'est exacte que jusqu'aux termes en ^''''^''(0), (p'""^*'(0),..., on devi'a y prendre, en général, plus de ternies que dans la formule de

Gauss. Néanmoins, dans le cas oii les valeurs de 9 (Xj), cp (x^), . . . , 9(0; ),

+1 d'après lesquelles on détermine l'intégrale J f{x)dx, sont affectées d'erreurs

inconnues, notablement plus grandes que celle qui résulte des termes rejetés, la formule approchée que nous venons de trouver doit être préférée à celle de Gauss même par rapport au degré de précision, vu que, dans cette formule approchée, la somme des carrés de coefficients, à cause de leur égalité, a la plus petite valeur possible.

7. Revenant au cas résolu par M. Hermite, nous remarquons que l'intégrale