V-m=..dx pour a! := cos ô se réduit à

f 9(cose)dô;

donc la formule donnée par lui peut avoir des applications très-utiles dans la recherche des valeurs approchées du premier terme du développement de 9(cosf^) en série

^0 -+- Af cos ô -»- ^2 cos 26 H- . . .

Pour trouver une expression pareille du coefficient A^ , on devrait faire, dans les formules du n" 3,

•1-1 Or, pour cette valeur de F{x), l'intégrale J F{x)dx, qui entre dans

les formules du n" 3, se réduit à zéro, ce qui fait voir clairement que, pour

le cas ea question, ces formules ue sont pas applicables. Nous allons montrer le parti qu'on peut cependant tirer, dans ce cas, de la méthode exposée plus haut.

En remplaçant, dans l'intégrale

f F{x)<^{x)dx,

la fonction 9 {%) par son développement en série

le terme du résultat qui contient tp(0) s'annule toutes les fois que l'iutégrale J F(x)dx est égale à zéro; mais il n'en est plus ainsi, évidemment, de son expression sous la forme

à moins qu'on ne prenne, dans cette formule, la moitié des termes avec le signe — . Nous allons donc chercher à exprimer la valeur approchée de l'intégrale

i supposition de

f F (a;) 9 {x) dx

par la formule

oïl il y a m termes avec le signe n- et m termes avec le signe — . 8, Comme, dans la formule

k [cp {x^ H- cp (a;^) -t- . . . -4- 9 {xj — ç (a:,„^,) — 9 [x,^^^)— ... — 9 {x^J\,

il y a 2m -hI valeurs, savoir: k, 3;,, a^a, ■ ■ ■ , ^m, ^^^i, ^m-t-a» ■ • ■ > ^^m dont on peut disposer, et que par sa composition, le terme en 9 (0) s'an-

+1 Dule, on peut identifier cette formule avec l'intégrale J F{x)<ç{x)dx

jusqu'aux termes qui contiennent les 2m-i~\ premières dérivées de ^{ic), ce qui nous donne l'équation

f F(a;)9{a;)£Îa!=fc[9(a;J-H9Ca-^)...-+-s(a:iJ— 9(a;,„^j) — 9(a^^^^)...— 9{a;^J] -f- \ f^' (0) -I- k^ cp^""-*-^ (0) H- . . .

En suivant la môme marche que dans les 11°' 2, 3, mus trouverons, d'après cette équation, les valeurs des quantités Je, x^, x^, . . . , x^^. En

l'équation précédente se réduit à celle-ci:

1.2.3... (2m-t-2)fe, 1.2.3... (2m-+-3)fca -•- 32)jn-a ~+^ ^ïm-i-i H- . . .

Faisant ensuite

f„(s) = (s-X,){;! — X,)...(S~Xj,

/■, (f) = (3 - !,„,) (« — X„J . . . (s - iï,„),

et remarquant que, pour ces valeurs de fg{3), fi(s), on a

«— aîin^-

on peut mettre l'équation sous la forme suivante:

I.2.3... (2m-i-3)/fg d'oii, en intégrant par rapport à s, on tire

Dfe,

jî!n-<-2

2)fc,

f i'"' (3;) log (^i — fl:)(ix = S;log^

La constante introduite par l'intégration se réduit à zéro, vu que tous s termes s'annulent pour ^ = 00.

D'après cette équation et en faisant, pour abréger,