P (P— 1) IP
par
r(fH-i)
on obtient
f i' rw rçy-m rçt)
1 Z\ r(^-r) — r(f-i+i) r(^y-Hi)'
Passant à la détermination de la fonction cp„ (a:) d'après la formule
nous allons développer la fonction
r(».-») eu série à l'aide de la formule
ii'Ci!!) =F(it -1- 1 ) -t- ï=2=î 4 *■(« -t^ I ) -H fcîî=li^i=t=2 A' ^(B -1- 1 ) -1- , . . . ,
qu'où peut représenter sous la forme suivante, au moyen des signes N et F,
la somme étant étendue sur toutes les valeurs entières et positives de A et A" F (n -v- 1) coïncidant avec la fonction initiale F (n-i-l). En posant dans cette formule
j.'M^''""-"— "' -^l^J— r(Hi — «)
et remarquant que d'après (6) on a dans ce cas
i'-pM — t n^ rf,.-n) r(,i.-,-..->^»)
nous aurODS
V(m-fn-x) -y . 1 a T{>i'*-l)T{m~l~i)V{x-n)
ce qui, étant multiplié par se réduit à ce qui suit:
T(x) V{m-^n-x) V* f i \X r(» + lir(w- \~^\) V(x)
En détcrminaut d'après cette formule la différence
LS. V{x — n) r (m - a:) '
nous trouvons qu'elle s'exprime par
.\)V{n-\^X)V(m-n-\) l\ r{«-n-À)' Or cette différence étant éj^ale à la fonction
et la formule (6) donnant
i" r(^) ri»-^À-]) rw l\ v^,-n-\)^ r(À-.-i) r(^->.)'
nous obtenons l'expression suivante de la fonctioD o^ [x]:
„ (x\-^{ 1^x^(»-vl)r(..-x~l)^(»-.-?.^-l) r(^) ?nW— ^i, ^) r2(XH-i)r(« — x-i-i)r(m — «-I) r(3; — X)'
où la sommation, comme on a vu, s'étend sur toutes les valeurs entières et positives de X.
D'ailleurs, le diviseur V {% — X-i-I) se réduisant à co à partir de X=n-i-l et les termes correspondants se réduisant par conséquent à zéro, on pourra prendre pour limite supérieure de la somme X = « -h 1.
§ 6. Substituant les valeurs des sommes
trouvées ci-dessus dans la formule (1) et dénotant généralement par
l'expression
r(a-.-S-H) (a-.-&)(aH-&-l).-..fa-4-l)
qui représente le coefficient de a"- J?^ dans le développement de (o -i- hf'^^y nous trouvons que le terme général de cette formule peut être représenté comme il suit :
ou
9ii(^)'
où l'on a posé pour abréger
ii; = (— 1
t'Ai-
II en résulte que le développement de la fonction f[x) d'après la formule (1), arrêté au (t-^- l)-me terme, sera représenté par la somme:
Désignant cette valeur approchée de f\x) par F (a;), nous aurons:
où, comme ou l'a vu, la fonction o„{^) a la valeur suivante:
. /.> '^/ i^x r(»-i)r(,„-À-i)r(«-^wi) r(«) Vn v-^^ — ^ V ■^-' r^ (À -1- 1) r (» — X -*- 1) r (m — w — 1) r (œ — X)
Développant les sommes renfermées dans ces formules nous obtenons F{x) sous la forme d'un polynôme de degré l\ cette expression de F{x) ne diffère que par les notations de celle que nous avons donnée dans la note mentionnée ci-dessus. D'autre part, à l'aide de ces formules, servant pour la détermination de F{x), il est facile de calculer les valeurs
comme nous allons voir tout de suite.
En déterminant d'après ces formules les différences
rw
ft étant UQ nombre quelconque noua aurons :
Or d'après (6)
il r(a^ — i]"~r(X — ij,-i-i) r(œ — x-t-|j.)'
ce qui doune, pour a; = 1 ,
ii^ r(i) r(À-^ii r(i)
i\ r(i — j>) r(X — in-i) r(i— x-i-iA)
Le diviseur F (X — p-H-l) étant infini pour >. — jj.^ — 1 et le diviseur r (1 — X -f- fj.) pour X — p.^ 1, la différence
l\ r(i — il
ne diffère de 0 que pour X — p: = 0, c'est à dire pour X = [j.; donc, dans la somme qui représente la valeur de A'' 9^ (x), pour œ=}, il ne reste qu'un seul terme, correspondant à X^^fi et dans ce terme la différence
d'après la formule que nous venons de trouver, en vertu le l'égalité X= u., se réduit à F (ja -t- 1). D'après cela, en vertu de (7), pour x = 1 , il résulte
4% (]i = f-ifr("-^i)r(m-^-i)r(n->-^^i) l\ ?„Ki)~K '-) r(,j,^i)i-.(„^^i)r(m-»-i)'
Z\ ^ '^-' — ^*. '■) r(n-i-i)r(Hi — i)r(w-^-i-i)
Le diviseur F (w — l^-"- 1) se réduisant à 00 pour
tous les éléments de la somme den = Okn^^$e réduisent à zéro, et par suite ou pourra prendre pour sa limite inférieure n = ja, en vertu de quoi, la formule déduite s'écrira comme il suit:
AV(1) = (~ If y r(..-i.-i)r(.-^„.^i).F, ,
§ 7. Daus la formule qui esprime la valeur de la différence
r expression
se réduit à 1 pour
ce qui correspond au cas où A'' F (1) se réduit à F (1); par suite, la valeur de F (1) sera donnée par la formule
F{l):==y^F^^=:F^-i-F^-i- H-Fj.
Passant à la recherche des différences A F (1), A^ F{1), . . . nous représenterons pour abréger l'espressiou
^ '■> r(^-Hi)r(M-i|r{B-t^-^i) .
par
d'après cela la formule que nous avons trouvée pour l'évaluation de A'^ F{\) prendra la forme
A''ii'(i) = 2(^. ») K-
Appliquant l'égalité
ir(»-,i +
à la détermination du
rapport
nous trouvons
rùiH-i)
*-ti-2)r(
■ji-m
r(fH-2)
ce qui se réduit, à cause des égalités
r(pi-i-2)=((AH-i) r((jL-i-i), r(»i— n— i)=(m— [j.— 2)r(i»— (i— 2), r(«-i-|ji-i-2) = {n-i-p.-t-i) r(n-i-pi-(-i),r(»— nH-i) = (>i— (») r(»— rt,
h co qui suit
d'où il résulte
Cette relation entre les quantités
(fA-t-1, n), (i»., îi), y joint l'égalité remarquée ci-dessus
donne le moyeu de calculer facilement toutes les valeurs du facteur ([x, «)
dans la formnle
En vertu de ce qui précède nous concluons que les quantités
P(l), Ay(l), AiiF(I), A'F{Ï),....
dans le cas, où îa série (1) est arrêtée au {l-h- l)-me terme, se trouveront à l'aide des formules:
Aii'(l) = (l,l)2?,-i-(l,2)i';-f-(l,3)ii,H- -i-(l,()-P„
les quantités
étant données par les formules
[a-HM(a+g-l)...(a-Hl)
et les facteurs
se déduisant successivement à l'aide de l'égalité
OÙ l'on pose
C^-Hi,«) =
§ 8. Pour montrer sur nu exemple l'emploi de nos formules, nous allons les appliquer à l'exemple qui dans la Ballistique de N. Majevsky a été calculé d'après nos ancieunes formules. Dans cet exemple les valeurs de la variable x et les valeurs correspondantes de la fonction f (x) sont les sui-
it!=l
En calculant d'après ces valeurs de f {x) ses différences de divers or- , formons la table suivante;
fW
iffix)
Ayant m^ 10, dans cet exemple, nous aurons pour n^O
pour n^l
pour 11^2
pour M, = 3
^ ^ (^-H2)(^-Hl)a; 0-^)[8-a;)(7-a) ^ 12 ■ H ■ 10
Déterminant d'après les valeurs données ci-dessus de f{x) et de ses différences A /■ (x), A^ /■ (a;), A^ f (x) les sommes contenues dans les quantités
F„ F„F^, F^, Jious trouvons
2{- ■ ^ A/'(rE) = — 3,2312;
^l^;^^'-^'^"f^|-^'AY(^) = - 1,2908;
ce qui doune après la substitution dans les expressions des quantités
-fo, K, F,, F, les valeurs suivantes :
ii;=-J-. 0,9760 = 0,1084
JF, = — g^ ■ — 3,2312 = 0,1077, ^2 = s-Ti-^r — ' '2908 = — 0,0130, .0,0656 — —0,0002.
En ajoutant ces quantités, nous avons d'après (8) la valeur de F (l) correspondaut au cas où l'on s'arrête au 4"^ terme dans l'expression (1) de la fûuctiou cherchée ou, ce qui revient au même, quand on suppose ses quatrièmes différences égales à zéro. Ainsi, on trouve pour la valeur de F{1)
D'après les mêmes valeurs des
nous obtenons en vertu des formules (8) les différences
A Z'-(l), A^ F(l), A^ ^■(1) à l'aide des facteurs
Or d'après
pour
eu posant
nous trouvoDs
Donc, d'après (8), on passe de la valeur trouvée ci-dessus de F(l) à la valeur de A i^ (1), en omettant le premier terme et multipliant les autres respectivement par
Ainsi, nous trouvous
Pour passer de cette valeur de la première différence de ^(1) à la se-
coude, il nous faut omettre d'après (8) le premier terme et multiplier les suivants respectivement par les rapports
Or, ayant d'après (9) pour m= 10
(1,2) 2(10—3) 7' (l,i'il^" 2(10—3) 7'
nous aurons en vertu de ce qui précède pour la valeur de A^ F (1)
A^ j?(i) =J. 0,0097 —y ■ 0,0003 = — 0,0028 — 0,0002. Eu y omettant le premier terme et multipliant le second par le rapport
(Sj 3) (2,3)'
égal, en vertu de (9), à
3{lO-4) ~~ 3.(i 3 '
nous trouvons
Ainsi, pour Févaluation de la fonction cherchée, la quatrième différence étant supposée nulle, nous aurons
i^\l) = 0,1084 -t- 0,1077 — 0,0130 — 0,0002 = 0,2029, A F{\) = — 0,0269 -+- 0,0097-1- 0,0003 = — 0,0169, A=F(1) = — 0,0028 — 0,0002 = — 0,0030, A^ii'(l) = 0,0001.
§ 9. Les formules que nous avons déduites se rapportent au cas où toutes les valeurs
fil), m, ,fim—l)
sont supposées également donnes, ou ce qui revient au même, quand leurs erreurs moyennes quadratiques sont égales. Dans le cas oii ces erreurs de quantités
sont inégales et inversement proportîonelles aux quantités ^(1), 6{2), f?{m— ]),
la formule (1) doit être remplacée, comme on sait, par la stiivaute
2'» WWW '^fimo'mfM
où
ToW, ?,W,
désignant les dénominateurs des réduites de la somme obtenus par son développement en fraction continue
I! n'est par difficile de montrer que le cas où
..ri^-i-»l r(»
a, ^ étant des constantes quelconques, peut être traité à l'aide des formules analogues à celles qu'on a déduites pour le cas de (? (a:) = 1 . Remarquons pour cela que la fraction
AHf^
TM r(.i-«
se réduit à une fonction entière de degré n *) et qu'en vertu de (2) en y posant
(luj ^i'(a.j/j P(^„) r(»-i) ^ '' ^ l'M i'(m-.i-j!)a 'V»;-
,e foiictiou est indiquée ci-après
Eu faisant ici F (x) successivement égale à
et remarquant que pour ces valeurs de F (x) la différence se réduit à zéro, nous concluons que toutes les sommes
2?«wA"?|^
sont égales à zéro; donc, en prenant
..r(.-i-.) r(..-»-i-S) et posant pour abréger
i«r(ii-n) r (»-»-!- ni-..)
r (a; -I- m) Tlm~x-i-&)
r{„) r (,■-«) nous aurons
'Sif,{xjW^e'(xj=o,'^,i,(x)W^â\x)=o,....'^tf^^{x)W^e'{x)=o.
Or, de ces égalités, en procédant comme cn§2 dans le cas de^{3!):=l, ou conclut que
et par conséquent, d'après nos notations
rw r (»->:)
Passant à la détermination des sommes
2t.'w«'w, 2fi"w*'w. 2f>'(^'*'("')
nous remarquons que l'égalité (10), après y avoir substitué la valeur de
i\ r(^-ii) r(m — œ) tirée de (11) et remplacé
par doBue
En faisant ici F (x)=^f (x), nous trouvons ce qui sert à faciliter le calcul des sommes
Pour évaluer la somme
uous poserons dans cette égalité
et la formule (11) donnant pour iine telle valeur de F (x)
A''F(x) — A''o (x)—(^\)'' r("-^i)'^fS"-^-"---g + ^)
nous aurons
?, W » la;) — ri„^-,.-,. 8 + 1, ^ r M !• (»
La fonction
r {m — X — n) devenant infinie pour
x^m — n, OT — n — 1 , , /
en vertu de quoi tous les éléments de la somme
à partir de x==m — n se réduisent à zéro, on pourra prendre m — n pour limite supérieure de cette somme, et elle s'écrira comme il suit:
^ r (a: ^ a -f- «) Yjw—x-i'^)
Zi 1-W rtm -*■-«)'
Or cette somme est égale, d'après (5), à
r(ft-Ka-4-iir(H^ij-4-i) r (m ->- » h- p. ^- 3)
En substituant cette valeur de la somme
kW
r(:=) T[m~cc-n)
dans la formule précédente, nous trouvons que la somme
s'esprime de la manière suivante
r(»-.-i)r(n-t-a-^~i)r(?iH-B + i)r[m
§ 10. Passant à la détermination des fonctions
d'après la formule {1 1), nous remarquons qu'eu général la différence A" U V
se réduit à la somme
F"^^„A"£;„-Hy AF^.„,. A"~' gj-^ " '" 7 " A' y"^^.„, . A""' U^-i-
qu'où peut encore représenter sous la forme
En y
r(i-i-ii
nous trouvons que la différence
et, ayant d'après (6)
,X r(..-i-il-HX-a;l , .> 1-(.H-B<-1) r(,.n-g-a:|
ZA r(m — n-4-X — :c) ^ -' r(«-t-p — X-i-1) r(m — M-i-X — ,1;)'
."-'r(»-i-.)r(.-H.H-i) rjjH-^.
ZA r(3: — B) r(aH-x-<-i) r(a! — X)'
on aura pour la valeur de la différence
l'expression suivante
X' (-iiXr(.-i-i)ri.-Hci-Hi)r|.-HB-^i)r(..i-.-B-,»)r(j; k.)
,^r(X-n}r|»-x-i-i)r(«-^x-i-ijr|i. + B-x-n)r(m-n-^x-.i)r(i-jj'
Divisant cette valeur de la différence
r( .) r(«-i-tB) ' I' («-■!) '.
Ou a le quotient
Or, d'après (1 1), cette expression est égale à la fonction 9^ (a;). D'ailleurs, ayant
tous les termes de cette somme représentent des polynômes de dégr6 n.
