Admettons que le mécanisme i
Fig. 6.
que nous avons c'est-à-dire que
ainsi transformé soit symétrique dans sa position moyenne,
MAA^=^MA^A; MÂG=MA,C,; AG=A,G^, pour plus de simplicité (fig. 5):
HAA, = HA^A^'?,
MâA^= MA^A = '\>, AG==A,G, = r.
Nous trouverons:
UBN=BUS=i/; UIIB = K — 2!f\ OBN=f; C„NB = AHA,==T.— 2^; BO=AM^éé:r:
JCÏ=A'B = i
Les deux dernières équations montrent que, dans le cas spécial que nous examinons, fig. 7, les longueurs MN, NB et C[^N sont égales.
D'où il suit que le triangle G^^NB est isocèle et que l'angle
.^Y^wjj 2
et puisque
G,,NB = u — 2<p,
il eu résulte
NBG,^ = <^.
NBG=<j,,
donc les trois points B, G, Ci^ sont en ligne droite.
Ainsi doue le mécanisme symétrique à trois pièces peut toujours être remplacé par un mécanisme non symétrique, fig. 7, dans lequel les longueurs MN, NB, GjjN sont égales, le triangle MNB isocèle, et les centres de rotation fixes G et G^^ se trouvent situés sur la même droite occupée par la manivelle GB lorsque le mécanisme est dans sa position moyenne.
Quant aux conditions iiécessaires pour obtenir de ce mécamsine le moindre écart possible de la trajectoire rectiligne, on les trouve facilemeut au moyen des relations (6) et de la formule que nous avons donnée dans la Note lue au Congrès de Paris en 1878 au sujet du mécanisme symétrique. Pour ce dernier, dans l'hypothèse d'un déplacement indéfiniment petit, on a:
AA^=^ — ^z — '^'i Y^=^? — ^■
Introduisant ces valeurs dans les relations (6), nous avons, pour déterminer les dimensions du mécanisme non symétrique:
JlfS'S = it — 2i|< = 37t — 6tp
-^'^ 2co,t— cos<3.
MS=m = G^,S=^^ = ~
Faisant
MN=NB=C\^N^B
nous avons
„^ 2cos*ç C0S2Ç „
Cette dernière valeur jointe à celle de
JfiVS— 37t— 6<p,
et les conditions que, pour la position moyeune, les trois points C^^, C et B sont en ligne droite et l'angle CBNt= ip, suffisent pour déterminer complètement le mécanisme.
§ 7. Les mécanismes non symétriques aiusi dérivés du mécanisme symétrique peuvent servir à la transformation du mouvement rectiligne alternatif en mouvement circulaire continu. En donnant aux centres de rotation des situations convenables, on pourra faire décrire un tour entier à la manivelle CB et alors le point M décrira une ligue sensiblement droite.
Au moyen des formules données (Note au Congrès de 1878), on trouve, pour déterminer ces éléments en fonction de la quantité auxiliaire t,
Ayant déterminé 9, <]> etAA-^ à l'aide de ces formules, les équations ( nous donnent pour le mécauisme non symétrique dérivé (fig. 7):
Mira ^71 — 24.; CBiV=(p;
^ ~ 2 C03 -(< "~" 1 M- ( i/â^irTï Ms 4- • Faisant
NB=R
et éliminant r, ou trouve
BG= p=^= cos <a . M,
C^^N^B; MN=B; ce qui, avec les relations
MNB = T^~2'!^; GBN=<s
suffit complètement pour déterminer le mécanisme et c'est pour une valeur quelconque de t.
Le ciiois de cette valeur dépend du degré d'approximation au mouvement rectiligne que l'on veut obtenir. Plus t est petit, moindre est l'écart maximum dont l'expression est du reste donnée par
4coË4)(l-i-2tBin9-<^t')t3 [2 sin ç ^- 3( -I- 2 (* ain 9 -1- 1«]^
La longueur de l'excursion du point M pour un tour entier de la manivelle BC diminue également avec la valeur de t, mais pas aussi rapidement. Elle est donnée par la formule
dans laquelle K est la plus grande valeur que prend l'expression
quand ou y fait varier a de 0 à 2tt.
Faisons, par exemple, f = 0,15, nous trouvons par les formules ci-
(p = 32°38'; ■^ = — 44°43'; BC= 0,2934 5.
Ce valeurs nous conduisent au mécanisme représenté fig. 8, dans lequel le point décrivant M engendre à peu près la droite M^M^-^ par tour de la manivelle BG.
Faisant ^ = 0, 1 5 et donnant à ç et i}j les valeurs ci-dessus dans la formule qui donne l'écart maximum E, nous trouvons que
cet écart maximum ^^ 0,00458 .R.
La course l du point générateur de la ligue approximativement droite sera
i6, SUR LES PARALLÉLOGRAMMES
COMPOSÉS Dl TROIS ILÎMIHTS
ET SYMiTRIQUES PAR RAPPORT À m AXE.
ITKADUXÏ PAK X. W. MESTSGHEïîSXy.)
(9 napajiJt'i2-AozpaMMacû% ,
ccctnojiînuayh ub's ■mpecch sAeMe»moé^ u cuMMsmpmecfmx^ oÂOAO o3hoû c
(IIpiijto)E6Hie Kt XXXIV TOMy SauacoEt HiiriepaTopcKofi ÂKaneMiii HayKt, J^ 3, 1879 r.)
Sur les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par rapport à un axe.
§ 1. Bans im article intitulé : Sur un mécanisme*), nous avons indiqué les conditions pour qu'un parallélogramme le plus simple réalise le mouvement qui diffère très peu du mouvement rectiligne.
Ce parallélogramme consiste de deux manivelles ^6" et A^C^ (fig. 1), de la même longueur, tournant autour des axes fixes Cet C^, et de la bielle ÂA-i articulée aux extrémités des manivelles; le point M, qui exécute le mouve-
Fig- 1-
ment désiré, se trouve sur l'axe de la bielle AA^ à distance égale de ses extrémités ^et^^.
Nous allons indiquer maintenant les conditions du même genre pour le cas, oîi le point qui a le mouvement désiré ne se trouve pas sur l'axe de la bielle AA^ , mais sur la perpendiculaire MN (fig. 2) également distante des points J, et ^, .
*) T. II, pag. 51— E7.
Il est facile de voir que dans ce cas le mécanisme considéré comprend tous les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par rapport à un asc.
Les conditions pour que ces parallélogrammes en leur forme générale réalisent le mouvement qui s'approche le plus près possible du mouvement rectiligne s'obtiennent par les mêmes méthodes que nous avons appliquées dans le cas particulier, qui était l'objet de la note citée.
Toute la différence consiste en ce que dans le cas général les calculs sont plus compliqués et par suite les conditions cherchées ne peuvent pas être exprimées d'uue manière si simple comme dans le cas particulier que nous avons examiné, où la longueur de la perpendiculaire MN est égale à zéro.
Pour présenter ces conditions sous la forme la plus simple possible nous introduirons une quantité auxiliaire au moyen de laquelle toutes les dimensions des parallélogrammes considérés s'expriment rationnellement.
Quant à la détermination de cette quantité auxiliaire, elle peut être calculée ou d'après le degré de précision que doit avoir le mouvement cherché presque rectiligne, ou bien d'après la longueur de la course, sur laquelle ou désire avoir le mouvement qui s'écarte peu du mouvement rectiligne.
Les équations qu'on y rencontre alors peuvent être facilement résolues par approximation.
§ 2. En considérant notre mécanisme dans sa position moyenne {fig. 3), où AÂ^ est parallèle à OC, , droite qui passe par les axes de rotation des manivelles, et par suite les angles AGG^ et A G, G sont égaux, nous r
ACG^=A,G^G='!^.
La place du point M^ qu'il occupe alors, sera prise pour origine des coordonnées, une parallèle à GG^ pour axe des x et une perpendiculaire pour axe des y.
En examinant la courbe décrite par le point jlf, nous observons qu'elle est symétrique par rapport à l'axe Oy, puisque tout le mécanisme est symétrique par rapport à cet axe; par suite, cette courbe, passant par l'origine, touchera en ce point l'axe Ox sans le couper; dans le voisinage de ce point la courbe décrite par le point M est susceptible de devenir très peu différente de la droite.
Fig. 3.
Les conditions pour que cela ait lieu peuvent être représentées au moyen d'une quantité auxiliaire t de la manière suivante. En posant
Aa=^A,G^ = 1, AA, = a, NM=^ c,
nous déterminons les quantités a et c d'après les formules
; r^i \2T— (T' -1- 1) ain y]
9 (1 -!-<') -l-^(3-^-ia)
(2) oii (3)
Il est facile de montrer que, ces conditions étant remplies, la courbe décrite par le point M dans une certaine étendue plus ou moins considérable ne sort pas de l'espace limité par deux parallèles, dont la distance est égale à
4(I-^-2Bm!pJ-^-j^)t^
et se rapproche donc rapidement de zéro, à mesure que la quantité auxiliaire t diminue.
§ 3. Pour déterminer les positions du point M correspondantes aux différents angles que fait la droite AA^ avec CCj (tig. 4), nous désignons par a l'angle variable compris entre les droites AA^ et ce, , par |3 et y respectivement les angles ^CCj etA^G^G.
En projetant la ligne brisée OO-^GANM sur les axes des coordonnées et observant que
Aa=^\, AN=~, NM=c,
et que l'axe Ox est parallèle à
la droite CG', , nous obtenons ''^' ^'
les formules suivantes pour la détermination des coordonnées du point M:
x^ — GO^ -+- cos ^ — -|- cos « -H c sin a, y = — 00-^ -4- sin p — Y sin a — c cos a.
Oh applique ces formules au cas, où la droite AA^ est parallèle à CG^^; observant que. dans ce cas
0 = — COj^ H- cos 9 — -^ , 0 = — OOj H- sin ç — c.
Eu portant les longueurs des droites CO et 00-^, tirées de ces égalités, dans les équations précédentes, nous aurons les expressions suivantes pour les coordonnées du point M:
i3! = cos S H- -^ (1 — cos a) -i- c siu a — cosco, y^&mp — Y sin K -I- c {1 — ces a) — siii 9.
Pour obteuir l'équatioa entre les angles variables p et « nous projetons la ligne brisée G-4^,(7, sur les axes des coordonnées, ce qui nous donne les équations:
cos ^ — a cos « -I- cos y — C'6', = 0,
siu ^ — a sin « — sin y ^^ 0.
En appliquant ces équations au cas, où la droite ÂA^ est parallèle à OCj et par conséquent
a = 0, p = y =r cpj nous avons
2cos(p— a— CG^^O;
par suite, les équations précédentes nous donnent:
cos y = 2 cos ip — cos p — a (1 — cos a), sin y =^ sin p — a sin a.
En ajoutant ces équations après les avoir élevées au carré, nous trouverons l'équation suivante entre les angles variables [ï et a:
[2 cos ç — cos p — a (1 — cos a)f h- [sin ^ — a smaj^z^il.
En effectuant les opérations iudiquées nous réduisons cette équation à la forme:
(5) [2coBcp— «{1— cosc.)] cosP=2cos^ç— asinasin[ï— a(2 cosip— (ï)(l-cos«).
En remplaçant cos P par Vl — siu*^ et élevant au carré, nous trouvons: [2costp — o(l— cosa)P(l— sin^p) = [a sin œ sin p — 2 cos^ cp -f- o {2 cos ç — fl) {1 — cos txjf. II en résulte l'équation suivante pour déterminer la différence sin ^ — "l" sin a:
2 [2cos^9-»-fl (a — 2 cosç) (I — cos a)] [sin p — ^^^'1'^ | = [2cosç — «(1 — cosot)]^ [l — cos^9 — '^ "osçj^j — cosa) j.
En portant ici la valeur de a, tirée de (l)y. et posant
(6) V = 1 -1- 2- -jfTZTïf (1 —cos a), on trouve l'équation :
(7) v[sinlî — -^sino:]'r* = [l-f-(2^— ])vp(l— cos^9-v). D'ailleurs d'après les formules (4) nous trouvons que
sin p — -g- sin a ^ 7/ — c (1 — cos h) -i- sin ip;
en y portant la valeur de c tirée de l'équation (2) et la valeur de 1 — cosa d'après (6), nous avons
■ n a . . 2T—[Ti-i-l)slao . ..
sm p — Y sin a =: î/ -4- 81U ç — —fï. \* — iJî
par suite, l'équation (7) nous donne
(8) V { 2^,î/ H- 2r— sin ç — [2^— {T -\- 1) sin ç] v p =
[1-+-(P— l)vp(l — cos^ç.v).
§ 4. D'après l'équation (8) que nous avons trouvée, il est facile de faire voir pour quelles valeurs de l'angle a le point M se trouvera sur l'axe Ox.
Puisque l'ordonnée y pour les points de cet axe est égale à zéro, on obtient les valeurs de v qui correspondent à la position du point M. sur l'axe Ox de l'équation (8), si l'on pose
On trouve ainsi pour déterminer ces valeurs de v l'équation; vS2T— sin ç~[2ï'—(T^-Hl)s!U ç]v|^=[1h- (2^—1) v]^{l—cos>.v).
En éloignant les parenthèses et faisant passer tous les ternies dans le premier mem-bre de l'équation, nous voyous qu'elle se réduit à la forme:
(9) {v— 1) [(1—2 sin<p.T-^T2) v— lp=0.
En portant les racines de cette équation dans l'équation (6) et résolvant l'équation obtenue, nous trouvons toutes les valeurs de l'angle a, pour lesquelles la position correspondante du point ilfest sur l'axe Ox.
Cette opération effectuée avec la racine
nous donne
Lorsque l'angle a prend la valeur nulle, le point Jf, comme nous avons vu (§ 2), parvient à l'origine et la courbe qu'il décrit touche l'axe Ox sans le couper.
Procédons de la même manière avec la racine
observant que cette racine est double, nous trouverons d'après l'équation (6) les valeurs de «, pour lesquelles la courbe décrite par le point M et l'axe 0% auront un contact du premier ordre et par conséquent ne se coupent pas.
11 eu résulte que le point If, se mouvant à droite et à gauche de l'ase Oy, restera toujours du même côté de Taxe Ox.
En considérant la position du point M relativement à la droite représentée par l'équafion:
(2 sin ip -I- 3i -H 2 siQ ç, (' ^^ i^?- '
uous observons que les valeurs de v, pour lesquelles le point M. se trouve sur cette droite, sont déterminées par l'équation:
= [l-i-(2'^— l)vp(l— cos'^.v),
qu'on obtient, eu portant dans l'équation (8) la valeur de y tirée de l'équation (10).
Portons dans cette équation la valeur de T d'après l'équation (3),
alors, la réduction faite, on obtient une équation qui, en y remplaçant l'es-
par celle-ci
qui lui est égale, peut être ramenée à la forme
En appliquant à la racine double de cette équation les raisonnements que nous avons faits surlaracine double del'équation (9), nous remarquons que ce n'est que la racine simple de cette équation
qui peut donner les valeurs de l'angle a pour lesquelles le point M traverse la droite (10).
Par suite, en désignant par «, et — a, les valeurs de l'angle a qu'on tire de l'équation (6), quand v a la valeur indiquée, par
les valeurs correspondantes de la coordonnée x du point M, nous concluons que dans les limites: x^ — ^, et a; = 3;j le point Jlf reste d'un côté de la droite (10).
Pour les valeurs limites: ^ = — x^, x^x^ le point M se trouve sur la droite (10) parallèle à l'axe Ox et pour a: = 0 (§ 2) sur l'axe Ox même; par conséquent entre x = — x^ et x = X-^^ le point ^ passe d'une de ces parallèles à l'autre; or, d'après ce que nous avons démontré plus haut, le point M dans les limites x^ — x^ et x=^Xj ne peut pas traverser ces droites; ce point ne peut donc pas s'éloigner de la droite parallèle à l'axe Ox, menée au milieu entre Ox et la droite (10), plus qu'à la moitié de la distance entre ces droites, à savoir
On voit ainsi qu'entre x = — x^ ut x :^ -i- Xj la limite de l'écart du point M de la droite mentionnée, passant au milieu entre Ox et la droite (10) (nous désignerons cette limite par E) a la valeur suivante:
2(l-i-2smip.f-t-t')t^ ~ (2 ain p -f- 3( -H 2 sin ç . (2 -I- (')«'
§ 5. Pour la détermination des valeurs limites « ^^zfc«, et x^±œ^, pour lesquelles le point JM" traverse la droite (10), d'après ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, nous posons dans l'équation (6)
Vl-2 sinç.î'-l-ï'î/ '
on obtient alors pour détermineï les valeurs a = ± a, l'équation suivante:
(12) cos«, = 1 — rM2-r') Lli-a sm,.r-Hj^) " ^J'
Pour trouver les valeurs correspondantes de la coordonuée x=^±x^ nous portons la valeur de cos ^ tirée de l'équation (5) dans l'expression (4) de la coordonnée x, qui devient alors
— — sin a;
9 — a (1 — coa a) t dans l'expression
2 cos cp — 0(1 — cos a)
a et 1 — cos « par leurs valeurs tirées des équations (1) et (6), ou obtient
2 cos 9 — a (1 — cos a) = 2^ [1 -+- [T^ — 1) v].
Eu déterminant, d'après l'équation (7), la valeur de
sinp — |- Bina,
" y cos^cp,
nous avons
yf
2 coa ç — a (1 — cos a) 2 cos ç
par conséquent, l'expression de la coordonnée x que nous avons trouvée plus haut peut s'écrire:
(13) '^^—«[riv)/^"
On détermine ainsi la coordonnée z du point M pour les différentes valem-s de l'angle «; quant à la valeur de v, on la trouve de l'équation (6).
L'équation (13) nous permet de déterminer les valeurs extrêmes de la coordonnée x^±x^, en y faisant
Pour cette valeur de v on a
en portant la valeui' T d'après l'équation (3), on trouve
l — 2ain!f.T-t-r^__l-h-ism<f.t'*'m^-t-i&m<f.t»-i-t* l-i-28inç.(-i-i2 — (1 — i=)ï î
En éloiguant les parenthèses et extrayant la racine carrée, on obtient
|/y— cos 0— ir~pf
Par suite, d'après l'équation indiquée plus haut, la valeur extrême de X se représente sous la forme :
En y portant les valeurs de a etc tirées des équations (1) et (2), cette équation se réduit à la suivante:
^1 — i yî [ fï-,! "•" (i(2)3 jsinai,
l'angle a^ étant déterminé par l'équation (12).
On trouve ainsi les valeurs extrêmes de la coordonnée x=;±x^, entre lesquelles le point M ne sort pas de l'espace limité par deux parallèles:
4{\-i-2siu^.t-i-t^).P
'~~ (2 ain ? -t- 3( ~i- 2 sin ç ,(^ -i- 1')'''
par conséquent, il décrit la courbe qui s'écarte peu d'une droite, si la quantité t est assez petite.
D'ailleurs la longueur du chemin parcouru par le point M sera déterminée par ses positions extrêmes; nous aurons donc, en désignant cette
longueur par l, d'après l'expression des valeurs extrêmes x=±x^ trouvée plus haut:
,- .. , 2(2 — !■«] rr — Biûç 2(1+2 sm9-( + (3)n . (14) 1= ^^, [^.^.^—Ï-H-^ ^^^—^^ Jsma,.
§ 6. Dans le cas, où le point M doit avoir le mouvement qui s'écarte très peu du mouvement rectiligne, lorsque l'angle a varie dans les limites étroites, la quantité auxiliaire t et l'angle «^ qui détermine la limite des variations de l'angle a seront petits; par suite, toutes les formules que nous avons obtenues peuvent être développées en séries commodes pour le calcul numérique.
Nous trouvons ainsi, d'après l'éqnation (3),
T=2 sin (p -I- 3i -H ;
en remplaçant T par cette expression dans les équations (1) et (2), nous obtenons les séries suivantes:
tgSç.coa 2ip.co8*'j çy 003^9 (3 coa 29 — coséç) ,
C03 3f coa^ 3ç ■ ■ . .
En développant l'expression ^d'après la formule (11), nous avons
\2sm'9 2sm3ç /
On substitue à T dans les expressions
(1 — TT / 1-1-2 ainqi.i + i^ \g ,
la série qu'on a trouvée plus haut, alors ces expressions se développent en séries:
(4 Bina ,^ i)î / g; i^
— Ssinç.^-i-ie (Ssin^ç — 1)^^-+- ;
par suite, nous obtenons del'équatiou (12) pour 1 — eos «, la série suivante:
n (4 siu^ (p — 1)' / , 48 ainfl 9 — 52 ain^ i? h- 18 ain^ 9 -t- 1 .2 \
sin ç coa 2<p V "* ainç.cosS? (dam^ç — 1) ' -•-■■■■]■
En exprimant sin c^ au moyen de 1 — cos a, , ou trouve sin a, := y2 (1 — cos a^) — (1 — cos a J^,
ce qui nous donne, en y portant le développement de 1 — cos«j:
lin' ip — 60 siu* ç -i- 15 sin^ <f ,
En portant cette série pour sin «j dans l'équation (14) et observant que les expressions:
2{2 — T^) r — aimp 2(l-i-23imp.t-t-t^)t l y2 ' fï—i """ (1 — (ïj2
se développent en séries :
— 16 siuS ç
on obtient, la réduction faite, pour la longueur de la course du point M dans le cas considéré la série suivante:
, ScoHç-/— 8iiiip.cos3!f.( r, coa3ip(8ain4ip — 6aia=(p — 1) , "1
'- coaSï 'L^ "■ hiaç.co8 2ç.co3Sç ÎH-....J.
§ 7. Nous avons examiné le cas, où l'angle « reste dans les limites qui ne diffèrent que très peu de zéro; maintenant nous allons considérer le cas, où l'angleaprcnd toutes les valeurs possibles depuis — tc jusqu'à ^-tt. Alors la droite AA^ fera un tour complet par rapport à la droite CC, et le point M décrira la courbe fermée qui sera entièrement comprise entre deux parallèles, plus ou moins rapprochées entre elles selon la valeur plus ou moins petite de t.
En prenant -4-ir et — n pour les valeurs extrêmes de l'angle «, nous is nos formules
Pour cette valeur de a, on obtient de l'équation (12)
„ 1 — 1 ^{^-T-'f r/I-^2smq>.t-i.t^\a ■1 — ■" 2'a(2— a'2) L\l— aainç.T-i-ï'ï/
d'où il suit
/ l-i-2am(p.t-t-t^ Y t
Ou déduit de cette équation
l-f-2Bm«. (-i-i2 — — V-t i.).
En portant ici la valeur de T d'après l'équation (3), oa obtient l'équation suivante :
(*H-4sinipJ'-i- 6i^-i-4siuç.*-i- 1 = ± { [^8-1- 2sin(p.^ -*- 3iH- 2 sinç]^ — (1 — f^f |.
En résolvant cette équation par rapport à sin ç, on trouve
""?= 2Trirjîj .
La dernière formule ne donnant de valeur réelle à sin cp pour des valeurs assez petites de t, moindres que l/y, nous nous bornerons à la première formule.
En observant, que dans la formule retenue le signe du radical se change, lorsqu'on remplace t par — ^ et ^ par — ç, nous ne la prenons qu'avec le signe supérieur.
Où a ainsi
sm<p-= 3(î^p75j ■'
ensuite d'après l'équation (3) on obtient la valeur correspondante de T, qui se réduit à la forme suivante:
Or en portant ces valeurs de sin cp et de T dans les équations (1) et (2), on trouve:
a = , cos cp;
La même substitution effectuée dans l'équation (11), où la quantité E détermine la limite de l'écart du point M de la droite, on trouve pour B l'expression qui se réduit à la suivante:
(IS) B=±j^.
Cet écart sera très petit dans le cas^ où la valeur de t diffère très peu de zéro; dans ce cas toute la courbe, décrite par le point If, s'écartera très peu de la droite.
Pour trouver la longueur de cette droite, qui peut être remplacée avec la précision, déterminée d'après l'équation (1 5), par la courbe, décrite par le point M, nous observons que les extrémités de cette droite sont déterminées par le plus grand écart du point M à droite et à gauche de l'axe Oy; quant à la valeur de cet écart, on la trouve en cherchant la plus grande valeur qu'atteint la coordonnée x du point M, lorsque « reçoit toutes les valeurs possibles.
Puisque dans le cas considéré nous avons
et par conséquent
l'équation (6), qui détermine la valeur de v, se réduit à la suivante:
3^ (1 — cosa).
En portant cette valeur de v dans l'équation (13), nous obtenons l'expression de X qui se représente ainsi
(l-+-(y'2--(af
OÙ les quantités «, e, cp ont les valeurs indiquées plus haut.
En déterminant d'après cette équation la plus grande valeur de la coordonnée X et la doublant, nous trouvons la longueur de la droite, de laquelle la courbe fermée, décrite par le point M, s'écarte très peu, si la valeur de t est très petite.
COHPOSES
DE TROJS ÉLÉMENTS QOELOONQHES.
(TRAXtUXÏ PAK K. A. TXKHOKAWDÏlX^XJKX.)
(IlpHjioaiefiie Kt XXXVI touj- SanHCOKt HutnepaTopcKofl AB3p.eMiH Haywb, Aï 3, 1880 r.)
(Lu le 18 (30) décembre 1879.)
Sur les parallélogrammes composés de trois éléments quelconques.
§ 1. Dans le Mémoire sur les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par rapportàim axe, lu le 5-me décembre 1878, uous a?ons montré les conditions à remplir pour que de pareils parallélogrammes réalisent le mouvement rectiligne arec la, plus grande précision possible. Ces parallélogrammes sont composés de deux droites (fig 1) AO, A^C^ qui
Fig. 1.
tournent autour des points immobiles C, C,, et d'une ligne AA^ qui joint leurs bouts mobiles; un point M, invariablement lié avec la ligne AA^, réalise le mouvement désiré.
Dans le cas, oîi AG=A-^C^, AM=A^M, ce mécanisme devient symétrique par rapport à un axe pei'pendiculaire à la droite, passant par les centres C, G^. C'est ce cas particulier des parallélogrammes les plus simples qui a été l'objet du Mémoire cité. D'après les formules données dans ce Mémoire, on obtient les conditions, très simples, qui sont nécessaires et suffisantes pour que des pareils mécanismes réalisent le mouvement rectiligne avec la plus grande précision possible, lorsque leurs jeux sont infiniment petits. En cou-
*)T. II, p, 285—297.
sidôrant un parallélogramme dans sa position moyenne, lorsque les angles A^ÂC, AA-^G^ sont égaux, ces conditions peuvent être exprimées ainsi:
1) Les angles A^^AG, AA^G^ sont égaux à é±^^ A étant la valeur commune des angles A^AM, AA^M, et n un nombre entier quelconque.
2) Le rapport de la longueur des droites tournantes AG, A^Gi aux càtés AM^AM du triangle AA.M e^t égal à
cp étant !a valeur des angles A^AG, AAfi^.
Dans le cas, où ces conditions sont remplies, le point M décrit une courbe qui a le contact du 5-me ordre avec une droite parallèle à celle qui passe par les centres C, Cj, et c'est la limite supérieure d'approximation à la droite des ares infiniment petits qui peut être obtenue dans le mouvement du mécanisme considéré.
Le cas des mouvements infiniment petits, pour lequel les formules générales, données par nous pour les parallélogrammes symétriques les plus simples, se réduisent aux égalités citées plus haut, est digne d'une attention particulière comme la limite, à laquelle s'approchent de plus en plus ces parallélogrammes, lorsque la longueur de la ligue, décrite par Jlf pendant le jeu, devient de plus en plus petite, et du quel diffèrent peu les cas qui se présentent en pratique, oii l'on ne cherche à rendre la plus proche d'une droite qu'une partie peu importante de la trajectoire du point M. Quant au passage du jeu infiniment petit du point M au jeu fini, on peut l'exécuter, comme nous l'avons montré dans le Mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes *), au moyen des fonctions qui s^écartent le moins de zéro.
§ 2. Nous allons maintenant considérer ces mêmes parallélogrammes dans le cas général quand les droites tournantes AG, A^C\ et le triangle AA,M sont quelconques (fig. 2), Dans ce cas généralla limite supérieure d'approximation au mouvement rectiligne reste, comme il sera montré plus loin, le même, c'est à dire, les courbes
Fig. 2.
♦)T. I, p lU-143.
décrites pai' le poiut M ue peuvent avoir avec la droite de contact d'uu ordre supérieur au cinquième. Les couditious pour qu'un tel contact ait lieu, dans ce cas général, se ramènent, comme nous le verrons, aux égalités semblables à celles que nous avons obtenues pour les parallélogrammes symétriques, à savoir:
1) Au moment, oij le point M arrive sur la droite FG, ayant le contact du 5-me ordre avec la courbe qu'il décrit, les angles A^AG, AA-^G^ sont déterminés d'après les angles dn triangle AAyM'pùv les égalités
A^AO=-^ — g- 1 ^J,C/i = — '—^ s-t
où n, »j sont des entiers quelconques, égaux ou non;
2) les rapports des lignes AC, A^Cj aux côtés AM, A^M du triangle AA^M, sont déterminés par les égalités:
j X AG __ 2 cosMBrp-i-T-), ^|Ci 2 008^(3^1-^7)
> jfy A,AM-t-2n-K
9 = AjAG= -î— -g 1
et y est l'angle entre la ligne AA^ et la tangente FG au moment, où les angles A^AO, AAfi^ ont ces valeurs.
Quant à la direction de la droite FG tangente à la courbe décrite par le point If, cette droite FG, d'après la propriété connue des courbes décrites dans le plan par des points en mouvement liés invariablement entre eux, doit être perpendiculaire à la droite MS, menée du point M au point de rencontre des droites AG, A^Cj] ce qui détermine complètement la direction de cette ligue.
Pour embrasser tous les cas, où le triangle AA^M, dont les sommets A et A-i se meuvent sur des cercles, décrit par le sommet M une courbe, ayant avec la droite le contact d'ordre 5, il faut donner aux nombres n et n^ les valeurs
et on aura ainsi, d'après les formules écrites plus haut, neuf systèmes des valeurs pour les angles A^AG, AA-^Gf. En déterminant pour chacun de ces 9 systèmes des angles A^AG^ AA^^Gj la direction de la tangente FG, nous trouverons ces deux valeurs pour l'angle y:
y=AGM; y = AGM-i-r,, qui donnent pour chaque système des ang-Ies A^AG, AA^G^ deux systèmes des
droites AG, A-^C\. Nous aurons doue ainsi en général 18 solutions du problème qui nous occupe, lorsqu'on considère le triangle ÂÂ^Mcomme donné.
§ 3. En déterminant l'équation de la courbe décrite par le point M, lorsque les points A et A^ se meuvent sur des cercles, on remarquera que les conditions, sous lesquelles cette courbe aura avec la droite le contact d'ordre 5, sont représentées par un système de 4 équations de degrés plus ou moins grands. Vu la complication de ces équations, il serait difficile d'attendre qu'elles se réduisent aux égalités si simples, citées plus haut. On les obtient facilement, en remarquant que pendant les déplacements infiniment petits du triangle AA^M le sommet M se mouvcra sur la droite FG avec l'exactitude jusqu'aux infiniment petits du 6-mc ordre. Et par cela, avec le même degré de précision, le mouvement considéré du triangle AAjM pourra être déterminé d'après le mouvement dos points M et A: du premier sur une droite, du second sur un cercle, et pendant ce mouvement, avec ia même précision du 6-me ordre, la distance du point A^ au point C, doit rester constante. En déterminant les conditions indispensables pour cela, on aura aussi un système de 4 équations. Mais ce système d'équations, au moyen des quantités auxilliaires, se ramène facilement à une équation du 4-me degré. La solution de cette équation nous donnera des relations, très simples, entre les quantités diverses de notre question; par là ou aura les égalités mentionnées plus haut.
Fig. s.
§ 4. Eu abordant (iig. 3) la détermination du mouvement du som-
met A^^ du triangle AA^M dans le cas, où le sommet M se meut siir la droite FG et le sommet A sur le cercle, décrit du centre C avec le rayon AG, nous prendrons ce centre Cpour l'origine des coordonnées, la droite parallèle à FG pour l'axe ce, la droite perpendiculaire à FG pour l'axe y.
Nous désignerous par a, p les angles variables formés par AM, AG avec l'axe Ox, et nous poserons
AG=r; CF=^b; AA^ = a, AM = m,
MAA,=A; MA^A = A^,
C^F^ = x,; GF^^y,.
En projetant la ligne brisée GAA^ sur les axes des coordonnées, on trouve pour la détermination des coordonnées du poiut Ay pour les diverses valeurs de « et ^ les égalités
ic = r cos p -I- « cos {ji — «); y:=r siu P H- o sin (^ — al.
Afin de trouver la relation entre les angles a, p, projetons la ligne brisée GAM sur l'axe y et, en remarquant que cette projection est égale à CF=h, nous en déduirons l'égalité:
qui nous donne
h = r sin ^ sin3=:-
cosii = |/l-(î^^5=^J-
En portant ces valeurs de sin p, cos p dans les expressions trouvées plus haut des coordonnées du poiut Aj, nous aurons
X = vr^ — {m sin a -t- bf -t- a cos (A — a), y^m sin a -I- a sin {A — «} -i- Ô.
En désignant par a„ la valtiur de i'angle variable a tout près de laquelle, selon ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent, les variations de la distance du point A^ de G^ restent infiniment petites d'ordre non inférieur au 6-me, et par i\ la valeur de cette distance pour a = «o, nous remarquons que l'expression de la distance de ces points
Vix — x^f-i-iy — î/,f,
étant développée en une série procédant suivant les puissances de la différence sina — siocto, nous donne l'égalité:
(2) y {3; ~ 3;^)^ H- {y — y^^ =:rj-i-K (sin « — sin «„)*-»- ....
En prenant le quarré de cette égalité et s'arrètant au 6-nie degré de sina — sin«o, nous aurons:
{x — Xjf-h-(p — i/jf = i\^ -+- 2r^ ^(sino! — sinao)^^-. . . .
En portant ici les valeurs données plus haut des coordonnées du point A^, on trouve l'égalité:
[Vr^ — (m sin a -*- bf -t- a cns (A — a) — ir J^ -+- [w sin a -H- o sin {^ — a)-t-b — yj^ ^Tj^-f- 2ï-j ^(sina — sinaof -1- ,
d'où, en ouvrant les crochets et divisant tout par 2r3;,, ou obtient l'équation:
(3) [1— ^ sin ^ sin « — ^^^coso:]-|/ 1—(""'7 "*''')'
— — j— sina-H- > ■■ ■ ■' ■■-^ '- I cosa
am cos A ■ g a (y, — h) coaA — ax, sia A — my, ■
Toi rx^
2rx, rx, '■ <"
§ 5. Nous donnerons à cette équation la forme plus commode pour
notre but, eu posant
dg-t-\ siu«=^ ^^,
OÎl
(4) d = sinafl.
Pour cette expression du sina, on trouve
siua — sina„^- -f — d=^
cosa^Vl — sin^a (5) ]/l-(^^^=^
yi-
yp
,-^if^
-ro
y.'»-(»,iH-i.)i / ,
ou nous avons pose
En évaluant d'après ces formules les expressions des différents termes 'équation (3), le coefficient de
de l'équation (3), après y avoir remplacé sina par -^^ , et divisant tout par
noua remarquons, que cette équation prend la forme:
(6) {^^i-^^^v^rir^) y(^zrgf^-h^—(p^^p^z) VT':^
En vertu de cette égalité, d'après laquelle l'expression (Po -+- P^s) Vz'—l— P^ — P^s ~ P/ doit donner la valeur de la fonction
avec l'exactitude jusqu'au terme en -f, il est aisé de trouver les valeurs des coefficients Pg, Pj, Pg, Pg, P^ en fonctions de X, p, g et A, et une équation entre ces dernières quantités *). Afin de trouver les équations qui déterminent les coefficients
PO, Pi, P3, Pg, Pt,
nous développons le premier membre de l'équation (6) suivant les puissances descendantes de z et égalons à zéro les termes en z^, 3^, e", —, -^. Cela nous donne 5 équations linéaires par rapport aux quantités P^, Pj, Pj, Pg, Pj, qui les déterminent complètement. En les résolvant, on trouve:
p^ = gh:'-^-h''^k-^-{k^~l)gll.■,
P, = 4hY -t- ^* -H Ak^gl -+- (Ahy -t- {h^ — 1 )% ;
P^ = — i (4^^ ^k^ — i)h^ — {2W --\)g\--\ {ig^ -t- p __ 3) j^^,
p^ = {k^^l)g-t-iîi^—l)l-t-}i^gii.;
P^ = 4Ay -H ?i* — 1 -H- 45/i^X -+- (4/ -+- ^t^ ~- 2) /*>■
*) On reçoit tout cela immédiatement par le développement en fraction continue, comme noua l'avons montré dans le Mémoire sous le titre: «Sur les expressions approchées linéaires par rapport au deux polynômes». T. II, p. 245.
Eu portant ces valeurs de
Po, P,, P„ P„ P,
dans la formule
et en la développaat suivant les puissances descendantes des, on aura la série
^ VSg^ -+- 4 {3A' — i) g^ ^ }é — }f -^ (8(f -+- 6^^ — 4)^>v1 i ~ " L-+- (^^ -^ ^ (3^^ — 2)5^-1- (¥ ~ If) [x J ^
qui nous donne, en la comparant avec l'équation (6), les égalités: (7) (4^^ -4- 3ft^ — 1)5 -H (4^^ H- A^— 1) A -■•- (4^^ -i- 3¥— 3)^fA = 0; __ ft, pp* H- 4 (3A* — l)iî« H- A* - ft" H- (8^« -I- 6A^ - 4).<7n ^
La première égalité présente l'équation, à laquelle doivent satisfaire les quantités X, p., g, h, d; la seconde nous servira, comme nous le verrons plus bas, à déterminer la grandeur de la déviation de la voie rectiligne du sommet M de triangle AÂjM, lorsque les sommets A, A^ se meuvent sur des cercles.
§ 6 . Pour passer des valeurs
Po, Pi, P^, Ps, P^,
que nous avons trouvées tout à l'heure, à celles qui entrent dans notre question, nous remarquons que, d'après ce qu'on a montré plus haut, la formule (6) doit se réduire à la formule (3), lorsqu'on y porte la valeur de s tirée de l'équation
di-i-l
sm a = —■ — r- Comme on trouve par cette équation que
~ sma~d '
îina-d d{sma-d)^ ,
V(l — rf a:
iu a)^ - (sia a — dp Vl-dJ^
Viz-gf-h'.
yz
nous remarquons, eu comparant la dernière égalité avec l'égalité (5), que
I r ~ Mi-d^) '
y (s — qf — fe«=— ' ■■ ■ ■'— -î —
En vertu de ces égalités )a formule (6), après y avoir porté
au lieu de z, se réduit à celle-là;
h(l — d^) (X — li) ain g -H 1 — dJ. -I- V'i — d" |j. cos o^^/l Z"* ^'" " ^^ ''\3 F, - F,d -H {Fa - F^d) sm y r, ^ pp. e,
(sin « - rff Kl— a coaa
|p^ — p^^ -I- f^^a) siu^ a — (2 fgti — P3 (1 -I- li') -t- SP^ti) ajn ce -*- (3ia ^ - rf|^ ■— (1 - <!*)* ^
Eu divisant cette équation par
ft (1 — d'^) l — df.
et la comparant après cela membre à membre avec la formule (3), on trouve les égalités:
^-^-Tl
-dX
• Pidyfts-
-t-if.
■i>- hV
-T^dVh'-
t (b — y\) aia A — ax,coaA^
»-«i 1 - dX ft /fZ
ara coa ^ p^ — Pa^-f-P^d^ Vh^J — {g-t-d)^^
rxi l — dk ft yr^Td* '
a fe/i — 6) coa .A — aa;i sId ^ — m?;i 2P^d — F^ (l-^d^^2F^dVh'' — (g-t-df
r^s y2 a^^a y^ ^y^ 2b) — (t^ __ F^d^ — P^d -+- P^ Vh^ — (g -1- d)^ 2rai 1 — dX /i (l — tfi)
(l dSj5(i dX)A'
En divisant la première de ces équatioos par la 2-me, et la troisième par la 5-me et la 1-ère, on trouve les é
(11) tang^ = ^
tang -4 = j
r \ — d ft yi ^2
En éliminant tsiagA entre les deux premières égalités et en portant la valeur de ^ d'après (8) dans la troisième, on obtient les deux équations:
qui relient entre elles cinq quantités X, jj.,g, h, d. Ces deux équations, combinées avec l'équation (7), permettent de déterminer trois de ces quantités d'après les deux autres.
Comme lea expressions de
sont des fonctions linéaires des quantités À, fi, l'équation (13), ainsi que l'équation (7), seront Su premier degré par rapport à ces quantités. En déterminant d'après ces équations les quantités \ f* et en les portant dans l'équation (12), nous aurons une équation qui ne contiendra que trois quantités g, A, d.
§ 7. L'égalité (13), après y avoir porté les expressions de P„, P^, nous donne l'équation :
fj},^^mAg'-^¥)d~d y^^^^^ \^^^igdk'-+- -j/^^^] X
^ [(P— l)g — {{h'— lf-i^ig'¥)d'] fx = 0.
En résolvant par rapport à X — d et p. cette équation conjointement avec l'équation (7), on trouve
(14) l—d=jy, P- = :zr' oïl
N = (85^ — 2 [¥~ rf)gd ^ (4g^'i-¥ — 1)^^
H- [2i' -H (49= -H 3*> - 1) |/MHip!] j, S = [i{h'-i-r)g' — {h'—lf] (h' — 1)(J -[4j''H-{2*"-4-l) (*,= - l)-4-(49»-t.3»'8) j/?Hgl!j<,. En portant ces valeurs de X — d et \t. daus l'équatiou (12) et en posant (15) ^ = c, g=ch~d,
ou trouve qu'elle se réduit à la forme:
[(3c — éc") Vl—d'' ^(i — éâ)d Vl — c^] ¥
— (I ~ U^) c Vl— d^ — {M — 4rf'') yi— c^ = 0.
Ou simplifie beaucoup cette équation en y portant les valeurs de d:=Bin«^, et de c, qui, comme il est aisé de le voir, est égal à siu^g, où ^^ est la valeur de l'angle variable p qui correspond à a= k^- i-i nS&i, par la formule (1), en y posant
ce qui donne, après y avoir porté les valeurs de —, — déterminées par les formules (8):
sinp, = 2JÎ^ = c.
En évaluant d'après les égalités
d = sin «Q , c^^ sin fi^
les valeurs des coefficients des puissances diverses de h dans l'équation considérée, on trouve
(3c — 4c^) Vl— d^ +- (1 — éc") Vl — âd =
sin 3po cos tto -f- cos 3^0 sin a^ = sin («o -\~ 3^^,
801/1—0^ = 4 sin2po, SdVl — d^ = 4 sin2ao,
6 ((^ Vl— c^— c y 1 ~ d^) = 6 (sin «0 cospu— cosaoSin^o) — 6sin (ag- p^,),
(1— 4!^^)cyi— rf^-+-(3tî--4rf^jyi— c^=:.sin(3«„H-Po),
en vertu de quoi l'équation se réduit à celle qui suit:
¥ sin (a^-i-B%)-^4: ¥ siu 2p„— 6 ¥ sin {oc^ — %) — 4 A siii 2<x^— sin (3a(,+p(,)=0.
En résolvant cette équation par rapport à h, on trouve qu'elle se décompose en ces deux équations du second degré:
h^ sin («(,-•- 3 po)-!- 2 h [sin 2%— sin («„-i- p^)] = siu («a — j3o) n- sin 2 K-*- p^); ¥ sin («o-t- 3p(,)-i- 2 h [siu 2^3-+- sin («o-i- %)] = sin («o— po) — sin 2 («^-1- %),
qui, après avoir été divisées par
2c.liR
^, 2sin-
se réduisent à celles-là;
h'sm'-a^-
sin^«
-sin»-^»",
h'ais'-l'^-i-
2Acos^^» =
:-COsîSdi«.
Et eu
de h:
résolvant ces équations du second degn f 1 . I
^, on trouve ces
San -*- 00 — ■^
quatre
valeurs
^«r,+ 3Po~3«'
San -,- Ei„ — Bic
lill'
«0 ^- 300 — Slt
En comparant eutre elles ces quatre valeurs de Ji, nous remarquons qu'elles se déduisent les unes des autres, en diminuant l'angle ^g de ti et en changeant les signes -1- en — , et — eu -4-. Mais cela correspond, comme on le voit par la iigure (fig, 3), oii
ÂCx = %, AG — r, AM=m, et où par (8)
au changement de direction de la ligue ^Cde Tt conjointement avec le changement de la direction qu'on prend pour positive dans la détermination de la longueur de la ligne ÂC. En vertu de cela les formules qu'on reçoit en admettant pour à quatre valeurs mentionnées différeront eutre elles
seulement en ce, qu'au lieu de (3^ elles coutiendroBt ou p„ — ■k;, ou (3^ — 2v:, ou P(i — Ztz. D'où Fou voit qa'ou obtient tous les cas possibles, si dans les formules déduites en prenant
on met ^^ — kiz au lieu de p^, en désignant par k un nombre entier et en déterminant en même temps la valeur de /* par l'équation:
§ 8. En se bornant d'abord, d'après ce qui a été dit plus haut, au cas, oïl
et en portant cette valeur de h dans les formules du paragraphe précédent qui déterminent X — rf et ja et d'après lesquelles on a
et en posant pour abréger
sm3(«o-^0o)-sin|-K-Po).a
on trouve
J>r=siii|-{aoH
N^= cos -^ («0 -•- ?o) • sin ""^ " . [
D^[si
- cosy(°'q-*-Pq)-Sid'' ^ ■
D'où l'on obtient les valeurs suivantes pour X — d et jx:
3^0 + Bq Oq— Sq
-feît
-aft^:
En portant ces valeurs de X — d et de fi dans la formule (11), où d'après notre notation Vl — d^ ^ cos a,,, on trouve
tang A = tang -j {% -+- ^^).
Cette égalité est trouvée eu prenant
Pour passer au cas général, où (18J h^i—lf
nous chaugeous, d'après la remarque du paragraphe précédent, dans cette égalité % en p^ — ftir, ce qn! donne
tang A = tang -^ (a^, -+-% — Atî) .
On voit par cette formule que la différence des angles Aet^ (a^-t-^^—kT:) doit être égale à un multiple de tu, ce q;ui suppose l'égalité:
^ = |(«,~i-p„ — /m) -+-(»— ])Tr,
n étant, ainsi que k, un nombre entier.
Mais on voit par la figure (fig. 3), où d'après notre notation
A,AM= A, AMF^cc^, ACx = %, que l'on a
CAM=-!: — AMF—ACx = Tz — o'.^~%, CAA^^GAM-i-A^AM='n — a^—pa-t-A.
En déterminant par la dernière égalité la valeur de la somme «„ -+- ^^ et en la portant dans l'expression de l'angle A trouvée plus haut, nous obtenons entre les angles GAÂ^ et A la relation :
(19) A=âGAA^ — {2n—Zk-i-l)n.
Cette égalité nous montre que l'angle A du triangle AA^M et le triple d'angle CX4,, qui détermine l'inclinaison de la droite tournante AG
à la droite AA^, lorsque a^a^, ne peuvent différer entre eux que par un multiple de %. Pour faire nos formules plus uniformes, nous nous bornerons à l'hypothèse que la différence des angles 3Gi^, — A contient le nombre ■7T un nombre pair de fois.
On peut se borner à cette supposition, en augmentant de 180" l'angle GAA^ on, ce qui est la même chose, en changeant la direction de la ligne ^Cen direction opposée. Dans cette supposition le nombre k doit être impair, comme on le voit par l'égalité ci-dessus.
En posant
h = 2p-t-l, GAA,==(f, nous avons
et la valeur de h sera déterminée d'après (18} par l'égalité
qu'on pourra représenter ainsi
3i,-t^B,-(2p-H)lt
er aiusi
,S=.,-Hl,-(2j,-l)«
En observant que d'après (8) on a
OÙ, comme on l'a vu,
on trouve que r et m seront liés par l'équation
Les formules que nous avons déduites pour les angles J. = ^jjliif, (f=A^AC et les lignes r = AC', )B = ^7if ont été obtenues, en supposant que pendant le mouvement infiniment petit du triangle AA^M le sommet M glisse sur la droite F6 et le sommet A sur le cercle C, la distance du sommet Aj au point C\ reste égale kr^=A^G^ aux grandeurs du 6-me ordre près.
D'après la remarque faite au § 3, cela doit avoir lieu en général,
lorsque pendant le mouvement des sommets A, A, sur les cercles, décrits des centres C, G^, le sommet M se meut, aux grandeurs de 6-me ordre près, sur la droite FG, ou, ce qui est la même chose, décrit un arc, ayant le contact d'ordre 5 avec cette droite. Dans ce cas le sommet A^ se trouve dans les mêmes conditions que A; par conséquent les angles et les lignes adjacents à ce sommet doivent aussi satisfaire aux équations que nous avons déduites pour les angles et les ligues adjacents au sommet A. Par cette raison eu posant (fig. 4)
Fig, 4.
Tf
A,E^E,='^y, AA,3£=:A„ M*?j=în A^=
et en changeant dans les formules trouvées plus haut
«0, %, A, ç, r, m, n, p en
«j, Pj, A-^, Çi, ^j, m,, n^, ^j,
nous aurons ces égalités :
A^ = 3^1 — 2(Wj — Zp^ — l)7i;
3ai -F- Bi — (2j)t — I) TT
-3(2^1 — 1)71 COflï M
§ 9 . Les égalités que nous avons déduites relativement aux angles du çle AA^M les déterminent coraplètement d'après les angles cp = AjAG, Çj = yl4jCj , malgré les entiers inconnus n, p, «, , p^ qui y figurent, parceque ces nombres y entrent multipliés par 2Tt. Par suite, lorsque les angles 9, cp, et le côté AAj= a du triangle ^^,71f sont donnés, nous le déterminerons complètement. En connaissant ce triangle et sa position par rapport aux droites AO, A^G^, déterminée par les angles donnés <^=A^AC, <ù^=AA^C^, il sera aisé de trouver la direction de la ligne FG.
Dans le mouvement considéré du triangle ^^jilf les droites GA, C^A^ étant normales aux arcs décrits par les sommets A, A^, la droite MS, menée par le point M et le point d'intersection des droites AG, AjG^^, doit être perpendiculaire à la droite FG sur laquelle se meut le sommet M. Après avoir déterminé ainsi la direction de la droite FG et en remarquant que dans notre système des coordonnées l'axe des x est parallèle à cette ligne, il est aisé d'obtenir les angles
que fout les droites AM, AG, AyM, A^G■^ avec l'axe des x dans la position du triangle, où sou sommet M se trouve sur la ligne FG. En désignant par Y l'angle que fait alors la droite AA^ avec FG^ nous déduirons des triangles A.GF, AGM, A^GM, A^GG, les égalités:
AMF= MAG -+- AGM= ^ -1- y, AFM= -K — FAG — AGM= tt — 9 — y, A,MG = AA,M~ AGM= A, - y, A^G^M= X — C,A,A -i- AGM= tt — 9, n- y
D'où, d'après l'égalité des angles
AMF=AFC = o'.„ AFM=ACE=% A,MG = A^E.x = oc^, A,E^G=A,G,M=p„ il suit
«a = J.H-y, ^o^TT — 9 — y; a, = j^i — y; ^i = '^~'^i-^j,
ce qui nous donne, après y avoir porté les valeurs trouvées plus haut des angles A, A^:
tx^= 3cp -t-y — 2(k — Bp — 1)71:; ^o^^''^ — 9 — y! Kj = 391 — y — 2{Kj — 3^5^ — 1)-k; Pj — t: — 91 -F y.
En portant ces valeurs de «^ , %, «j , [3, dans les formules {§ 8) qui déterminent les rapports -^j -^, on trouve
yp)
cog=(ç-i-T)
gX.
— «,ir
T-^-(3»i~ Sp,)n
et comme on a
cos ( 2fpj — ■ ■ ^ -^ — i-i^ 1 = ce ces formules se réduisent aux suivantes:
cos2 {3^ -I- y)
§ 10. Afin de déterminer l'angle y qui entre dans ces formules, nous remarquons que d'après la propriété connue des lignes droites menées d'un point aux sommets d'un triangle, ce qui a lieu par rapport aux droites SA, SM, SA^ {fig. 4), on doit avoir l'égalité
OÙ, comme ou le voit par la figure,
AMS=FMS~FMA = ^~a,; A^MS = GMS — A,MO = | — a^ ; MAS=T. — CAA^ -H A^AM^-K — AiAS = v: — CAA^ = tt — tp ;
AA,S=-:: — C.A^A = Tî — ^^,
MA,S = -TT — G.Ai -+- AÂ,M =: t: — Çj -H ^,;
en vertu de quoi cette égalité nous donue
cosgQ __ aiii {A ~ ip) sim?!
coscti sinç ' sin (^i — 9,) ■
Eu portant ici les valeurs trouvées des angles A, A^, nous aurons
ce qu'on réduit, en remplaçant sin 2®, siu 2(pj , par 2 siu ç cos ç, 2 siii Çj ces tpj j à cette formule très simple:
Eu remarquant que, d'après ce qui a été dit plus haut (§ 9), on a
«0=39 H-Y— 2(« — 3j3 — l)Tr, a, :=: 39i— Y — 2(mi — 3^1 — 1)t:,
nous en déduirous l'équation
co3(3<Pi— f) coatpi'
qui détermine l'angle y d'après les angles ^ et cp^. On donnera àcetteéquation une forme plus commode pour l'évaluation de l'angle Yj en la ] tant ainsi:
,g(S<p-Hy)i;03(3(p,--fl^
C0.(8.-Hl-l*CI)!(Sç,--f)
BO.ÏH-COHÇ,-
ce qu'on ramène à l'égalité:
§ 11. Eu déterminant l'angle y pîii" l'équation (22), ou trouve pour lui entre les limites 0 et 2-k deux valeurs, dout la différence est égale à tc. Il n'est pas difficile de montrer qu'en donnant dans nos formules à l'angle Y ces deux valeurs et eu prenant n, », égaux à zéro, on aura toutes les so-
lutioLS de notre problème. Pour cela nous montrerons en premier lieu que ces deux nombres ne peuvent différer entre eus par un nombre impair. On peut l'apercevoir d'après l'expression de la grandeur
qu'on tire de ces formules. Comme, dans notre système des coordonnées, l'origine se trouve au point C et l'axe des x est parallèle à la droite F6, la grandeur x^, qui représente l'abscisse du point (7,, sera égale à la projection de la distance entre les points C, G, sur la droite FG. Cette projection, ainsi que la ligne a = AA^^, ont dans notre question le même rapport au sommet A du triangle AA^M qu'au sommet Aj ; donc la formule qui détermine ^ ne doit pas changer de valeur lorsqu'on y change
9, «0, «, Y eu
qui ont la même signification par rapport aux sommets A, A^ du triangle AA^M; et cela suppose, comme nous le verrons, que n — n, est un nombre pair.
En effet, par la formule (9) ou trouve
Comme d'après notre notation
(i = sinao, 1 — d^^cos^Ko,
et d'après (17), en supposant
on a
oacco
la valeur de
sera représentée par la formule
cos a(|.co3y(ao-i- &o)
sin Ko -+- — — -^
où les deux premiers termes pris ensemble donnent
sin — (aoH- &û)
et le dernier, en y remplaçait les expressions
. a Kn -+- 3Pn ■ Œr, ~ Pn - 0n -•- ^«.n
siH^ ° .--g; sm— -r ■sm'-^ — '
par leurs équivalents
''■■^'''■' ' (cos^iii^" — cos«ol
En vertu de cela cette formule nous donne:
ao:+-30o
ap -t- Bp
Nous avons déduit cela, en supposant
. 3"o-t-[io
ao-H3fio
Pour passer au cas général, où
Si H ^
OU doit, d'après ce qui a été dit au § 7, mettre ici ^^ — kn au lieu de ( On obtient ainsi la formule
Après avoir troiivé d'après les expressions de k, A, «g, ^q, données dans les §§ 8, 9, les égalités
siH Y («0 -•- ^0 — M =^sin (3ç — 3wti-i- 311)=: — ( — 1)" siiiStp, cos ("o-^-spo-sH ^ ^^g {^ , „^ 7^) ^ (__ 1)» cos Y, siii^ = sin (3fp — 2 (n — 3^ — 1)-^) = sinScp, cos''°^^°~'^ = cos (9 — Hu H- Tt) ~ — {— 1)" cos 9,
nous déduirons de la formule précédente
l^(l)nJ:
En changeant ici «g, 9, y, « eu a^ cp^, — y, w,, nous trouverons, d'après ce qui a été dit plus haut, ijour la même grandeur ^ encore une autre formule:
-1 = cos Y— -^^^ — L±i^il-.
En comparant entre elles ces deux cspressious de ^, où d'après (21)
nous remarquons, qu'elles deviennent identiques seulement lorsque
ce qui suppose que la différence n — n^ est un nombre pair.
Après s'être persuadé que dans nos formules les nombres n et n^ ne peuvent se différer que par un nombre pair, et en observant que d'après la composition des formules
co.>(3t-4-T)
co.'(8ï, -7)
1 cosï(çi-T)'
les nombres n et Wj peuvent y être faits > — 1 et < 2, nous concluons que par rapport à ces nombres ne sont possibles qiie deux hypothèses: ou
ils sont tous les deux égaux à 0, ou tous les tîeux égaux à 1. Mais ces deux cas seront compi'is dans un seul système des formules:
où l'angle y peut avoir deux valeurs différents entre elles de n, qu'on tire de l'équation (22).
Ainsi d'après les angles 9, (fj et l'angle y, déterminé par l'équation (22), on trouve la grandeur des rapports
d'où, d'après les longueurs m^JM, ntj^AjM des côtés du triangle ^^4j-M", on trouve les longueurs des lignes r = AG, rj =: J^C, .
Dans le cas, oii le triangle AÂ^M sera donné, nous trouverons les angles 9, ^j, qui entrent dans nos formules, en remarquant que, d'après ce qui a été dit an § S par rapport à la détermination des angles A et A^^ du triangle AA^^M, on trouvera les mêmes angles A, A^, en prenant pour 9, (f, ces valeurs diverses;
En combinant entre elles ces valeurs des angles ç, Çj, nous trouverons 9 systèmes divers des grandeurs 9, cpj. En déterminant, pour chacun de ces systèmes des angles 9, cpj, l'angle y par l'équation (22), on trouvera pour lui deux valeurs; en vertu de quoi le nombre de solutions de notre problème dans le cas, où l'on suppose le triangle AA^M donné, sera en général égal à 18.
§ 12. Nous allons maintenant nous occuper de la détermination de la grandeur des écarts du sommet M du triangle AA^M de la ligne droite, quand les sommets A, Aj se meuvent sur des cercles déterminés plus haut, en ne considérant que les positions du triangle qui sont infiniment proches de celle où le sommet Jf se trouve sur la tangente, ayant le contact d'ordre 5 avec sa trajectoire, et dans tous les développements nous nous bornerons aux premiers termes.
Nous commencerons de nouveau par la supposition, que le sommet M ac meut justement sur la droite FG, et le sommet A^ décrit une courbe très proche de l'arc de cercle C, (fig. 5).
Soit A'ÂjM^ une positieii quelconque du triangle AA^M àa.ns, ce mouvement, infiniment approchée de celle, oii le sommet A^ se trouve sur le cercle G, , et où, par notre notation,
CAA, = (f] C^A^A = ^,; a = AMF=cc^; i^ = AGx = %.
Alors le point A\ ne se trouvera plus sur le cercle (7j, et sa distance du centre G^ différera du rayon r, = A^^Cy du cercle par la grandeur A\8, pour la détermination de laquelle on reçoit d'après (2) une telle formule;
A\S = K (sin a. — sin ay)^-i- ....
Pour passer au cas, où le sommet A^ se meut justement sur le cercle Cj, et le sommet M sur la droite FG approximativement, nous supposerons, que le triangle A'A\M^ tourne autour du point A' jusqu'au moment, où son sommet A\ arrive sur la circonférence Gj . En supposant que le sommet A\ arrive au point q de la circonférence G^ , et le sommet M-, , qui se trouvait sur
la droite FG, arrive au point t, nous observons, que les lignes infiniment petites Ây8, A\q, Mf seront liées entre elles par 1
Or comme ou a
ÂM^ = AM— m, ÂÂ^ = AA^ = a, qA\S= A'A\G—A'A\q = A'A\G, — -J,
et que l'angle A'A\0^ diffère infiniment peu de l'angle AA^Gi^t^^, ces égalités nous donnent
d'où, en élimioaiit À-^q, on tire:
ce qui, après y avoir porté ta valeur de Â^S donnée plus haut, se ramène à ce qui suit
D'un autre côté, en déterminant la distance du point t de la droite FG, on trouve qu'elle est égale à
M,t.?.uïFM^t,
et comme l'angle FM^t est égal à -|- — FM^Â, et l'angle ^ji^^^-^' diffère
infiniment peu de l'angle FMA = a,,, cette expression se réduit à celle-là:
Jfjlf.COSao,
ce qui, après y avoir porté la valeur M^t trouvée plus haut, nous donne pour la détermination de la distance du point t de la droite FG la formule suivante:
^m cosao t^^^^ — siua.)"-!-. . . .
D'où l'on voit que dans le mouvement considéré du triangle AA^M, l'ordonnée y du point Jf, lorsque a diffère infiniment peu de «q, aura la valeur:
?/ = CF— Z^^(sin« — sina/-f-
En remplaçant ici la différence
sin a — sin a.
par
(a — Kq) cosa^-i-. . . . , on trouve
Cette formule nous montre, comment l'ordonnée y du point M varie avec la variation de l'angle a. Pour trouver la relation entre les variations de X, y du point M, nous allons maintenant déduire la formule qui donne la valeur de x du point M pour les valeurs de a très proches de a„ .
Pour cela nous remarquons que la grandeur x est égale à la projection de !a ligue brisée GAM sur l'axe de x\ par conséquent
X = AG. cos AGx -+- AM. cos AMF.
En portant ici les valeurs
AG=r; AGx={i; AM=m; AMF=a, on trouve
