X:= r cos ^ H- m cos a

En différentiant cette valeur de x par rapport à a, et en remarquant que d'après (1)

d?>^m 003 ce da. r COS&'

on trouve

da. "^ du. cos 0

En vertu de cela nous concluons qu'au voisinage du point

x = MF, p = FG,

cil a^dg, P = Poî ''abscisse x aura la valeur:

x = FM—m^-^^^^(a — a^)^

En déterminant de cette équation la valeur de la différence a — «„ et en la portant dans l'expression de l'ordonnée y trouvée plus haut, on aura la relation suivante entre x et y.

y = CF-

que nous représenterons ainsi:

en posant

x„ = PM, y„=GF,

ain^. Biafi sini» («()-(- %}

Cela nous donne l'équation do la courbe décrite par le sommet M du triangle JA^Maxi voisinage du point x:=^Xq, 2/^%) où elle a le contact d'ordre 5 avec la droite.

§ 13. Pour déterminer la valeur du coefficient K^^ qui entre dans cette équation, nous observons que d'après (10), où

1 — (T = COS* «p , ^^- --

les coefficients K et L sont liés par la relation:

en vertu de quoi l'expression de Sf^, donnée plus haut, se réduit à celle-là:

■^0 "^ am'' rj c<i^'' Ko siu 9i aîi^ K -+- W (' — i*^) '

En portant ici la valeur de a^, d'après (9) et les valeurs des angles ^,.«0, p(| d'après les formules du § 9, on obtient

0 m»r. cos8(8

(» -^ t) ain S<p

' r, cos8 (8^ -f- f) Bia* 2q) sin ipi X — d

En passant à la détermination du rapport

qui entre dans cette expression du coefficient Z^, nous évaluons la grandeur L d'après la formule du § 5, en y portant les valeurs de X, p., trouvées dans le § 7, et en prenant

. 3^0 -H Sq — feu

En divisant la valeur de L ainsi obtenue par la grandeur X — d pour

la même valeur de /(, on trouve, toutes réductions faites, pour la détermination du rapport de i à X — d une telle formule:

En portant ici la valeur de fc ^= 2p -^ 1 et ' «„) %, données dans le § 9, nous aurons:

cos(Sç -H -() aiu Stp cos* -

En observant, d'après l'équation (20), que

on déduit de cette formule

32r^ cos* (f -+- s) sin 89 . ain 9 coa* ~

OÙ d'après le § 11 nous avons mis y au lieu de y-i-wn; en vertu de quoi l'expreBsion trouvée plus haut du coefficient J^^ "O'^s donne

32rri 31119. sin 9i cos^ -|-^ *" ^'^ '^

§ 14. D'après cette formule il n'est pas difficile de montrer que pour les valeurs finies de *■, r^, m, m^, le coefficient K^ dans l'équation

î/ — f/o -H K„ {X — xj^-t-

ne peut devenir égal à zéro, et par conséquent la courbe décrite par le sommet M du triangle AA^M dans la question considérée ne peut avoir avec la ligne droite de contact d'ordre plus élevé que le 5-me.

Afin de le montrer, nous observons que le coefficient K^ ne doit changer de valeur lorsque dans son expression on remplace les grandeurs relatives à l'angle A

par celles-ci

qui ont la inêrac relation à l'augle A^.

Nous aurons ainsi une nouvelle expression du K^

On voit par ces deux expressions du coefficient K^, que pour des valeurs finies de r, r,, »», m^ il ne peut s'annuler que lorsqu'on satisfait aux équations

(24) cos (o-t- y)— 0, C08 (fp, — y) — 0. d'où il suit que

où q, q sont des nombres entiers quelconques. De ces égalités on trouve par Tadditiou et la soustraction

{ cp-l-Cp, — (3H-g'H-l)7U,

J 9 — ç,^2y = (2 — ff)Tc.

Mais ou voit par (23) que les égalités (24), pour des valeurs finies de )■, m, r,, «îj, supposent ou l'égaJifé

ou les deux égalités

cos (3ç H- y) = 0, COS. {3çj — y) = '^■

Dans le premier cas on trouve que

q" étant uu entier. En portant cette valeur de y dans l'équation (25), on eu tire

■f = (q-2q"—^)iz- (p,==(g'->-22"-i-|)iT.

Et en déterminant les angles du triangle AA^M qui correspondent à CCS valeurs de ç, <pj, on trouve, d'après le § 8, que chacun des angles A^ A^ doit contenir un multiple impair de ^, ce qui est impossible.

En passant à l'hypothèse

cos (3(p -H y) =; 0, cos (3<pi — y) := 0,

nous observons que ces égalités conjointement avec les égalités (24) supposent

q, q étant des nombres entiers. Si q, q seront tous les deux impaires, les angles A, Aj deviennent de nouveau impossibles. Si l'un d'eux est un nombre impair et l'autre pair, on ne satisfait pas à la première des équations (25). Enfin, ai tous les deux nombres q, q seront pairs, l'aDgle y d'après (24) devra avoir la valeur

Çfl étant un nombre entier.

Mais pour de telles valeurs de cp, ç,, y dans l'éqnatioo (22), écrite sous la forme

cotiiag Y if-t-çi) tang I — (9 — Çi) h- y cotang — ^—^ tang — — 1

le premier membre deviendra ^ ou -^ , selon que !a somme tp h- (pj se réduira à % répété un nombre pair ou un nombre impair de fois, tandisque le second se réduira à 55 ou à ^ , selon que la différence cp ~ Çi se réduira à Ti pris un nombre impair ou un nombre pair de fois. En déterminant la valeur du premier membre pour les valeurs de ç, ç, très proches de -~TC, "l-i:, en supposant q, q être des nombres pairs, on trouve que pour ces valeurs sa limite est ou y, ou -5-. D'oii l'on voit que pour de telles valeurs de 3), Çj, Y on ne peut pas satisfaire à l'équation (22), et par conséquent la dernière supposition est aussi impossible.

§ 15. D'après l'équation

ij~y^-t-K^ (x — x^f-^-

on trouve qu'entre les limites 3^ = % — -^ et a; = a;,, -i- -g- i'éîoignement du sommet M du triangle AA^M de la ligue droite ne surpassera pas

en négligeant les puissances supérieures de l et supposant en général la

grandeur l être petite. En portant ici la valeur de ^o que nous avons

trouvée, on aura

1 /■££Ml±l)V p

m3iii2tp / *

2048rc, sin ç

■nç, c

pour la limite des écarts du sommet M du triangle AA^M de la voie rectiligne, la longueur du jeu étant égale à l.

Ces déviations peuvent être faites beaucoup plus petites d'après ce que nous avons montré dans le Mémoire sous le titre: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes. Pour cela, après avoir déterminé, comme on l'a montré plus haut, les longueurs des lignes AC, A-fi-^ et les places des centres de rotation G, Cj, il faut chercher quels changements doit-on apporter aux uns et aux autres, afin que la courbe décrite par le sommet M du triangle AA^M rencontre la droite aux points, dont les abscisses aient de telles valeurs:

x^ — -g- '^'^^ ^ '"*''? a;,,— -g- 003 45", x^ — -^cosys",

flîf, H- y cos 1 5", a;^-!- y 003 45", iî^uH- yCOsTô".

Lorsque cette condition sera remplie, les écarts de la voie rectiligne du sommet M du triangle AA^M sur toute la longueur l du jeu, resteront, comme le démontre l'Analyse, entre les limites :

1 /co3(^-HT)y^o^