ACD

f (x) dx.

Passant à la détermination de l'aire da segment ÂGB, nous remarquons d'abord que l'aire du trapèze A^ACG^ s'exprime comme il suit:

A,ACG, = ^ (AA, -H œ,) = ï^ (yo-i- y,) = ^S^ (f W -H f{x,));

quant à l'aire limitée par l'arc ABC et par les droites AAi, A^Cj, G^G, elle s'exprime par l'intégrale

f f(x) dx.

Retranchant cette dernière aire de la première ou verra que l'aire du segment AGB s'exprime ainsi:

AGB = ^^ {a<v,) -v f(xj} — fm dx,

iC(,

ce qui se réduit à

AGB = lf{x) [x— ^^~^~j dx, xa

au moyen de l'intégration par parties, en posant

D'après les valeurs trouvées des aires du triangle AGB et du segment AGB leur rapport s'exprime ainsi :

aegment ACB xq

triaDgIe ACD a;, '

ce qui se réduit à l'égalité

segment ACB — i

triangle ACD ,i

en introduisant la variable i au lieu de x, au moyen de la substitution

Comme la ligue parabolique considérée entre les points A et C va toujours en s'élevant ou en s'abaissant, son équation étant

et ( = -!-:

suite on po

entre les limites t^ — 1 eti! = -i-l correspondautes à ces points, ne changera pas de signe, et par suite on pourra appliquer le théorème mentionné à l'e

jfC-

représentant la râleur du rapport

segment AOB triangle ACD

Or remarquant que la fonction entière f'{x) est ici de degré non supérieur kp — 1, nous devons prendre d'après ce théorème n=p — 1. Ainsi en vertu de ce théorème nous arrivons à la conclusion que le rapport

segment ACS triangle -à 0-D

ne surpassera pas la plus grande racine de l'équation

^;+i = 0, la courbe parabolique étant de degré non supérieur à 2l~i-l, ou de l'équation

^,«^-^,= 0, si ce degré ne surpasse pas 21.

Posant 1^1, nous trouvons que la première de ces équations se réduit à celle-ci:

et la seconde à

Remarquant que la plus grande racine de la première équation est y— et de la seconde y, nous concluons d'après ce qui précède que la limite supérieure du rapport

triangle ACD

pour les lignes paraboliques du second degré est y et pour celles du troisième l/y