LORSQOS LA FONCTION SOUS LE SIGNE EST DEUX FACTEURS
{TKADUÏT PAR G. A. POSSB.)
(Lu le 10 mai 1883.)
Q6% oducM-b pjlB'm,
(UpuJioœeiiie ki, XL"VII-My Touy SanncoKt iliiiiepaTOpcKoS ABaflewÎH Hayni., J^ 4 1883 r.)
Sur une série qui fournit les valeurs extrêmes
des Intégrales, lorsque la fonction sous le sig-ne
est décomposée en deux ftieteurs.
§ I. Dans une Note sous le titre: Sur le développement des fonctions à une seule variable *), nous avons indiqué plusieurs séries pour le développement des fonctions, qui résultent de la formule générale d'interpolation par la méthode des moindres carrés que nous avons donné dans le Mémoire sous le titre: Sur les fractions continues**). Les tenues de ces séries se composent des polynômes déterminés par le développement en fraction continue d'une intégrale de la forme
les dénominateurs des réduites qui s'obtiennent dans un tel développement sont justement ces polynômes suivant lesquels les fonctions se développent en séries, dont il était question dans notre Note.
Nous allons montrer maintenant une série d'un autre genre renfermant les mêmes polynômes. Cette série ne donne pas des valeurs approchées des fonctions sous la forme des polynômes, comme le faisaient les anciennes, mais elle fournit des expressions approchées, avec des termes complémentaires, des intégrales définies, ces expressions étant formées des intégrales plus simples sous certain égard, savoir: pour l'évaluation d'une intégrale de la forme
iU^)A{'>!)Ô'{x}dx,
**) T. I, p. aOS-230.
où figure un produit de trois fonctious
fo(^), /".W, O'i^), OH obtient uue expression approchée composée d'intégrales où figurent sous le signe d'intégration séparément les fonctions
multipliées par les polynômes mentionnés ci-dessus.
§ 2. Cette série, ainsi que son terme complémentaire, se déduisent facilement en considérant l'intégrale multiple
(1) T=\l>^S^S^d^^dx^dx^ dx^,
les fonctions
6^, P„ S„ Si
étant déterminées par les formules:
p (a;) = (ic — x^ [x — x^. . . .{x — œj,
La dernière égalité, après la aubstitutiou des valeurs de 9' (ic^), 9' {x^, .... ?'(^n^i se réduit à celle qui suit:
(3) P,= ± [te — ic,) (ï,— 3^s). . ..(x, — x^. . . .(»;,, — ïj]'.
Les limites de toutes les variables dans les intégrales que nous considérons sont les mêmes, savoir: a et h.
Remarquant d'après la structure des fouctious S^, S^ que leur produit est égal à une somme de termes de la forme:
/o(i)/,ja)
où
nous concluons que l'intégrale (1) se décompose en une somme d'intégrales:
Cette somme renferme des termes de deux genres, à savoir: I) ceux dans lesquels i = k, 2) ceux daus lesquels i diffère de le.
Les indices i et h ayant dans cette somme toutes les valeurs de 0 à m, il y aura n-i-1 termes du premier genre et (w-i- 1} n termes du second genre. Or, d'après la symétrie par rapport aux varial)les
Xfl , iK, , . . . . œ^ ,
les termes du premier genre auront la valeur commune
Jç'(xo) f'ixo) " " ° ^ «'
nne qui correspond à i^O, ft = 0, la valeur commune
I fa (yp) ^iiSil p fl a /7t rl/r dr.
représentant le terme qui correspond à i^O, ft = 0, et les termes du £ cond genre auront la valeur commune
représentant le terme qui correspond à i = 0, h^\; donc l'intégrale (1) que nous considérons se décompose de la manière suivante :
j -H (« -^ 1) « j^ 4&! p„ o; ta, ix,.... ix„.
§ 3. Pour simplifier la première des intégrales qui entrent au second membre de cette égalité nous introduirons des nouvelles fonctions 0^^ 0, P-^, eu posant
Comparant ces égalités aux égalités (2) nous remarquons que
i Û^~â,-Û(xX (6)
[ <D(X')==:{X — Xa)0{x).
Si l'on différentie la dernière égalité par rapport à x, nous aurons:
ç' (x) = 0[x)-t- {z — x^) 0' {x); d'où, eu faisant
et remarquant que d'après (5) les valeurs x=x^, x^,....x^ aunulent la fonction 0(x), nous déduisons
(7) (^'{Xg)=:^0{x^), cp'(ir,)=(a:j— 3?o) 0'(x^), , ç'(\)=(a;„— a-o) 0'{x^).
En multipliant ces égalités, nous trouTons :
(a:, - Xg) {x^ — a^o) (x^ — Xa) 0 (lo) 0' (x^) 0' (x^) 0' {xj.
Comme on a d'après (5)
et d'après (2)
?'f3^o) î'f^i) =p'(^2) ?'W = -Po-
l'égalité obtenue nous donne
(8) P„ = (~l)" 0'ix,)P^.
Substituant les valeurs de P^, ^q, ^'(rfo) tirées de (8), (6), (7) dans l'intégrale
UW AM p 0 2 ^^ a^ dx..... dx„ ,
nous remarquons qu'elle se réduit à la suivante:
Les fonctions P^, 0^ ne renfermant pas d'après (5) la variable a^o, cette intégrale se décompose en deux facteurs suivants:
\{—\fF^O^dx^àx^. . . . dx^-^f^ixo)f,{x^)â^x^)âXa.
En vertu de cela, désignant par C la valeur de l'intégrale
j { — \)^ P^d^dx^dx^. . . . dx^^,
indépendante des fonctions fo{x), (^{x), nous obtenons pour la détermination de la première des intégrales contenues dans l'égalité (4) la formule:
(^) -^ ^ -^0 -^o' <^% <^^1 ^K = t/ /ô (^o) /i (^û) ^^ fe) '^^û-
à la simplification de l'iutégrale If^fjMp o^ax.dx,dx.dx. dx„,
nous iutroduiroas encore trois nouvelles fonctions, en posant
iâ{x^) Ô{x^ ô{x^ = d^, {x — aig) {x — a;^) [x — x^-—0^{x), 0\{x,) 0\{x,). . . .0\{x;i = P,.
Comparant les deux premières des égalités (10) aus égalités correspondantes (5), on déduit:
Cette dernière égalité étant différentiée par rapport h x, donne
0' (x) = 0^ (x) -+- (a; — iT,) 0\ (x); à'oit, en posant
et remarquant que la fonction ^1(3:^) s'annule d'après (10) pour x=x^, x^,. . . .x^, nous obtenons
(12) 0Xx^=0j^{Xt), 0' {x^'={oo^~(S-^ ^'1(3^3), , ^'K) = K— a'i) ^'i(^„)-
Multipliant ces égalités, nous trouvons
(a^a — x^ (rCg — x^ (3:^ — x-^ ^1(^1) ^'i(i^a) ^'1(^3) ^'iC^J;
d'où l'on tire, en vertu des égalités (5), (10), l'expression suivante de la
fonction P-y'.
P, = {-ir-'0,'{x,)P,;
et par conséquent l'égalité (8) nous donne
Po=^-0Hcc,)0,^x,)P,.
En y substituant d'après (12) 0'(Xj) au lieu de 0iix^) et remplaçant d'après (7) la fonction 0 (%) par ç' (x^) et la fonction 0' (x^) par J^ > nous obtenons
Or en mettant cette valeur de Pq dans l'intégrale
\k!âà ÛM p 0^ dx. dx, dx^ dx^ dx
et en y remplaçant d'après (6) la fonction 6^ par le produit 6{x^)â-i et la fonction (9j d'après (11) par le produit â(x^)Û^, nous trouvons que cette intégrale se réduit à la suivante:
ce qu'on peut aussi représenter par
oii l'on a désigné par
F{Xc„ Xi)
la fonction des deux variables x,j, x^, déterminée par l'égalité (13) F(x., X,) = KW'P't^iJ p^/ dx,dx^ dx„.
^ ' j (^1 — ^or 2 s 2 3 n
§ 5. En vertu de ces transformations des intégrales qui entrent au second membre de l'égalité (4), elle se réduit à celle cl
iT={n-i-l)C\f, {x^) f, (x,) 6^ (x,) dx^ — {« -«- 1 ) n I /; (a^o) /; (aîi) F{x^ , x^ &" [x^ 6^ (a;,) dx^ dx^ , T étant d'après (1) la valeur de l'intégrale
\p^S^S^6^^dx^dx, dx^.
Nous allons montrer maintenant comment s'obtiennent les limites entre lesquelles se trouve renfermée la valeur de cette intégrale.
B'après (2) les fonctions S^, S^ se déterminent par les égalités:
En mettant ici d'après (7)
^(il'o)) (^1 — ^o) ^'{*i)5- ■ ■ ■ (^n — %) ^'(\)
au lieu de
nous remarquons que ces égalités peuvent être représentées sous la forme { .q — 1 r/'c-r^__^i£elAW__ ^MfoM 1
Si l'on considère la première de ces égalités, où d'après (5)
0(x) = ix — 3;j) (a; — w^). . . .{x — x^),
on remarque que l'expression renfermée entre les parenthèses [ ] représente la différence entre la valeur de la fonction f^ (x) pour a: = rc„ et la valeur que donne la formule d'interpolation de Lagrange pour la détermination de fai^o) d'après les valeurs de f^ix) pour x = Xi, x^,. . . .x^. Le rapport de cette différence à la valeur de
ne sort pas, comme on le sait, des limites dans lesquelles reste renfermée la dérivée
pour x=Xfj, Xj, x^,. . . .x^ et pour les valeurs intermédiaires.
Remarquant d'ailleurs, d'après ce qui a été admis à l'égard des limites d'intégration, que toutes ces valeurs se trouvent entre a et ?», nous concluons que ce rapport est égal à une certaine quantité 71/^, moyenne entre les valeurs de la dérivée
dans les limites a et h. Par conséquent, d'après l'égalité (15), nous aurons
o (gp — ail («^0 — "^i* (^0 — "'rù ^o
"^0 1.2.... n 0{Xg)'
En remplaçant ici d'après (5) le produit
(% — Xj) {Xt, — Xg) .... (3^0 — x^}
par 0(Xg), nous trouvons l'expression de S^ qui, étant simplifiée, se réduit à la suivante :
On trouve d'une manière analogue
Ml
M^ étant une moyenne entre les valeurs de la dérivée
dans l'intervalle x= a,x = l).
En vertu des égalités que nous avons déduites à l'égard des valeurs des fonctions §(,, S^ dans l'intégrale
T= \8a8^P^Ôo^dx^dx^ dx^^,
et remarquant que le facteur Po 6^ d'après (3) n'y change pas de signe, nous concluons que pour certaines valeurs ilfo, M^ ne sortant pas des limites entre lesquelles restent les dérivées
dans l'intervalle de x = a k x = h, aura lieu l'égalité suivante;
(16) T^ -^^Ei^Ap^^^^dx^dx,. . . .dx^.
§ 6. Substituant cette valeur de T dans l'égalité (14) noua obtenons l'équation
—{n-i-\)n\Ux^Ux;)F{x^,x^Ô\x^)6\x^dx^dXi,
d'où il résulte la formule suivante pour l'évaluation de l'intégrale \U{x,)f,{\)ô\^èàx,:
(17) f /■« ix,) A K) ^' i^o) ^^0 =\fo K) fi (^i) ^^^^' ô' {^o) ^' K) dx, dx,
Mo W| J Po 6o* dxodxi (?«„
-^ (1.2....«)M"-Hl)C
C'est de cette formule que nous tirons la série qui fait l'objet de cette Note, en développant la fonction
suivant les termes composés des polynômes qui s'obtiennent, comme on l'avait dit au § 1, au moyen du développement de l'intégrale
eu fraction continue et que nous désignerous par
D'après la propriété connue de ces polynômes, en vertu de la formule (17), il est facile de faire uu tel développement de la fonction
sans qu'il aoit nécessaire de déterminer la valeur de l'intégrale
qui donne l'expression de la fonction
d'après l'équation (13).
Nous ne ferons que remarquer d'après cette équation que F{Xf„ Xj) est une fonction entière de degré inférieur à n, tant par rapport à ai^ que par rapport à os^, comme cela résulte de ce que d'après (2) le produit ç' (Xq) 9' (œj est divisible par (a;,, — x^f et ne contient des puisances ni de Xg, ni de x^ supérieures à n-t- 1. D'après la propriété des polynômes
toute puissance de x inférieure à n pouvant être représentée par la somme
\ 4*0 (^) -»- ^1 11 (3!) -•- ■ • - . -•- ^„i |n i {x), la fonction
d'après ce qu'on a remarqué ci-dessus h l'égard de la fonction F{x^^, x^), pourra être représentée par la somme
X et |j: restant moindres que n.
En mettant cette somme au lieu de
dans la formule (17), nous obtenons l'égalité
qui, comme il est aisé de reconnaître, peut être représentée comme il suit:
(18) \Uo^)f,ix)Ô'(x)dx=^y^C,JUx)'\,^ix)â'ix)dx\f,{x)^^(x)â'{x)dx
Mo M, j P(, 6(,2 da^o^i 'i^n
En vertu de la propriété connue des polynômes
■^oi^\ 4-1 (^), 'hi^),
de satisfaire à l'équation
(19) ^^iix)^^(x)6\x)dx=0
pour i différent de h, il n'est pas difficile de trouver la valeur dos coefficients
qui figurent dans cette formule. En effet, si l'on y pose
f<,(x) = ^^(x}, f,(x) = ']>^{x), où
l < il, m < n, les dérivées
dœ" dx" ' dx" dx"'
seront égales à zéro. Par suite, d'après ce qui a été dit au § 5 à l'égard des quantités M^, M^, celles-ci seront aussi égales à zéro; donc, pour de telles valeurs des fonctions f„{x), fj(x), la formule (18) se réduira à l'é
\'\'i(x)^Jx)6\x)âx=^'^C\^J'^^{x)-^^{x)6^ix)dx\^^{x)^^{x)Ô^{x)dx.
Remarquant d'après (1 9) que les intégrales
flj(^)4'x(^) <5''(3;)(?x, \^^{x)^^icc)â^{x)dx
se réduisent à zéro lorsque 7^%l, fj.<»ï, nous concluons que dans la
2 '^x,J^((^) ^xi^) à'(œ)dx\<!^^ix) i>^(x) 6\x)dx tous les termes, à l'exception de celui qui correspond à X ^= ?, [K = m,
; en verta de quoi l'égalité déduite nous donne
\^x(^) %(^) û'i^)<ix=-C\J\H^) ^'{^)àx -l^^^'ix) ô\x)dx-
d'où il résulte pour la détermiiiatiou du coefficient C^ „ la formule suivante
'■'l' J ^^ï [X) flï [m] âx I i/^^ {X) r- {X) dx '
En y faisant X = ja, nous trouvons
\ if)^ (x) ffl [x) dx '
tandis que pour XJp- d'après l'égalité (19) on voit quo Il en suit que la somme
ne contient que les termes dans lesquels X = [j. et que dans ces termes le
par conséquent l'égalité (18) se réduit à la suivante
Mo MijPoOàiâxadXi.. ..dx„ "* (1.2....n)^{n^l)0 '
OÙ la sommation s'étend, d'après ce qu'on a remarqué plus haut, aux valeurs suivantes de X:
§ 7. On peut aussi trouver sans peine la valeur de l'expression
r Pq Sq* ''"'o ^^i ^^a ■ ■ ■ ■ ^^n
contenue dans le dernier terme de l'égalité déduite. On y aiTive en y posant
se réduisant dans ce cas à la quantité constante, égale à i|'„'"HO)» 'es quantités itfo, -^1 d'après ce qu'on en a dit au § 5 seront aussi égales à 4'„'"kO); par conséquent pour
la formule (20) donnera
-• (1.2....«)ï(«-Hl)C
Le nombre X étant moindre que n, d'après ce qu on a vu au § précédent, les intégrales de la forme
qui figurent sous le signe de la somme se réduisent à zéro en vertu de (19) et nous trouvons
J cw^'w"- = ,.ii.;.,....i„ •
Cette égalité nous donne
JPo9o*AcD<irt. ...d3;„ J ^„î («) 6= (a;) (ia-o
ce qui, étant substitué dans la formule (20), la réduit à la suivante r,/ ,^/ >,./ ^ , ■V^J/.WfeWe'W*f/,W+!,W«M«)ù
J «-)/-.w*'w<'-=2, wè^.
où la somme représente n termes de la série
JA W fc M »■ W I?» ■ J/i W fc W '■ M J''
J/o W », W »■ W <>» ■ f /. W t. W 8' W JJ'
J»n i'(a7)â3{ï)rfiE
qui donne la valeur approchée de l'intégrale
et l'expression
représente son terme complémentaire.
Remarquant d'après ce qu'on a vu au § 5 que la valeur numérique des quantités Ma, M^ ne surpasse pas la plus grande valeur numérique des dérivées
dans les limites de l'intégration et désignant ces valeurs numériques maxima par A et B, nous concluons que la valeur numérique du terme complémentaire
ne surpasse pas la valeur de
ir de
Quant au signe du terme complémentaire il se détermine facilement dans le cas oii les dérivées
ne changent pas de signe dans les limites de l'intégration.
Dans ce cas, d'après le § 5, les quantités M^,, M^ auront les signes des dérivées
à^U^) d^A fa)
dans les limites de l'intégration, et par suite le terme complémentaire
^'^"^^ - f|„^K) ù'^ix^dx., vu que les quantités
sont évidemment positives, aura le signe -i- ou — selon que ces dérivées conservent des signes égaux ou contraires dans les limites d'intégration.
