SUR LA REPRESENTATION

PAR DSS REÎSIDUS IHTHiaRAUX,

(ÏRADUXT PAR SOPHXE KOWALEVSKX.)

(Lu le 8 octobre 1885.)

(IIpHnomeme ut LI lOHy 3ajiHC0K'6 EianepaTopcKofi AKa^eHiH HayEt, M 4, ] Acta matEemafcica. T. IX, 1886, p. 35—66.)

Sur la représentation des valeurs limites des Intégrales par des résidus intégraux.

Dans un Mémoire Sur les valeurs limites des intégrales *), publié en 1874 dans le Journal de Mathématiques de Liouville, nous avons communiqué quelques résultats concernant les valeurs limites de l'intégrale

]f{x)dx

dans le cas oii l'on donne les valeurs des intégrales b b b

r f{x) dx, j" X f(x) dx, \ x^ f{x) dx,... ,,

prises entre des limites plus vastes : « < is, 6 > v, et où la fonction inconnue f(x) reste positive pour toutes les valeurs réelles de x entre ir = o et a; = 6.

D'après un théorème contenu dans ce Mémoire, si le nombre des intégrales données

\f{x)âx, \xf(x)dx,. . . . \x^"''~^f(x)dx est pair=i 2m, les valeurs limites de l'intégrale

ne peuvent être déterminées que dans le cas oîi les limites u, v satisfont

*) T. II, pag. 183—185.

à une équation, dont les coefficients dépendent de la valeur des intégrales données.

Pour obtenir cette équation et les valeurs limites de l'intégrale

]f{x)dx

dans le cas où u, v satisfont à cette équation, nous développons l'intégrale

en une série procédant selon les puissances décroissantes de z h b

^àx=='~

Posant

'jf{x)dx^Ao, \xf{x)dx = Â^, ^x'"'~'f{x)dx = A^^^,

nous obtenons donc pour l'intégrale

l'espression approximative suivante, rigoureuse jusqu'au terme ^^m inclusivement:

En désignant donc par

la fraction continue, que l'on obtient en développant l'expression

-^0 A Am—i

en fraction continue et en s'arrêtant à la m.'™° réduite, nous aurons par conséquent, aussi avec un degré d'approximation jusqu'au terme -^ inclusivement,

A l'aide de la fraction continue définie de cette façon, on établit l'équation à laquelle doivent satisfaire u et v, de même que les valeurs limites corre- 3 de l'intégrale

En désignant par

\mdx.

la fraction ordinaire, à laquelle peut se réduire la fraction continue en question, et en égalant le dénominateur '|'„(^) à zéro, on obtient l'équation

à laquelle doivent satisfaire les limites m et v de l'intégrale

\f{x)dx.

Et en désignant par

toutes les racines de cotte équation, santé, on trouve que si l'on pose

les valeurs limites de l'intégrale en question

seront exprimées par les somme

Ces sommes sont composées des résidus de la fonction

fmi')

par rapport aux racines de l'équation contenues dans les limites

les racines :?, et s^ elles mêmes y étant comprises ou non.

Pour pouvoir exprimer ces sommes de résidus partiels par des résidus intégraux, nous conviendrons de désigner par co une quantité positive infiniment petite. Vu que dans ce cas les racines de l'équation

contenues dans les limites sont

et les racines, contenues dans les limites

nous pouvons représenter les sommes précédentes par les résidus intégraux:

?(-l-tU

En conséquence des valeurs limites trouvées pour l'intégrale

fmdx

lura donc

\mèx > °i 1^;,

§ 2. Ces iuégalités, de même que la solution d'un problème présentée dans le Mémoire mentionné plus haut et d'autres problèmes du même genre, découlent immédiatement de la représentation des valeurs limites de l'intégrale

par des résidus intégraux dans le cas, où la limite supérieure de l'intégrale V reste arbitraire, mais la limite inférieure u coïncide avec la limite inférieure des intégrales

\f{x)ôx, \xf{x)dx, ...

Dans ce cas les valeurs limites de l'intégrale sont données par les formules suivantes:

(1) ]mdx < i P(3),

(2) jf(x)dx > l F{B),

OÙ F(s) est une fonction rationnelle, dont la valeur dépend du nombre des intégrales données

\f{x)dx, \xf{x)dx,. . . .

et de leurs valeurs. Cette fraction s'obtient facilement en développant l'intégrale

en fraction continue

dout les m dénominateurs peuvent toujours être trouvées, comme nous l'avons montré, lorsque l'on connaît les valeurs des 2m intégrales

\f{x)dx=:AQ, \xf{x)dx^Ai,... ., ï x^'"^' f{x]dx =; A^^^. En désignant comme auparavant par

la fraction ordinaire à laquelle se réduit la fraction continue

nous désignerons par

la fraction ordinaire que nous obtenons en nous arrêtant au terme

Si, outre les intégrales

\f{x)dx = Aa, ^xf{x)dx=Ai.. . ., Ja;'""~Y(^)'^3' = -4jm— i»

on connaît aussi la valeur de l'intégrale

b \af'"f{x)dx==A^^,

il est nécessaire, pour pouvoir déterminer la fraction rationnelle F{s) dans les formules (1) et (2), de déterminer non seulement la fraction continue précitée et les deux fractions ordinaires

mais aussi la valeur du coefficient de s dans le (m-f-l/™" dénominateur de la fraction continue, obtenue par le développement de l'expression

Nous désignerons ce coefficieiit par

§ 3. En étudiant la fraction rationnelle F{s), nous remarquons que sous sa forme générale elle peut être exprimée d'une manière simple par une fraction continue. Dans cette dernière les m premiers dénominateurs sont identiques avec cens de la fraction continue

que l'on obtient en développant l'intégrale

La fraction rationnelle F(^) pourra donc être représentée par la formule

(3) 2'W = .-7Tr !

OÙ Z est une fonction inconnue.

Cette fonction peut être exprimée à l'aide des fonctions ^^^i2), <?Ji^) seulement, si l'on connaît les valeurs des 2m intégrales

\f{x)dx, \xf{x)dx,. . . , \x'"''~^f{x)dx.

Mais si l'on veut se servir de 2m -t- 1 intégrales b b b

\ f(x) dx, f X f(x) dx,. . . .^ x^'^ f(x) dx,

il faudra encore, pour déterminer F{s), connaître une quantité constante «j^^.^^. Dans le premier de ces deux cas, cette fonction sera donnée par la formule

dans laquelle y désigne la plus grande des deux quantités a-« L +»■(") VW J'

1 r»m-.w J-.-.WI

Dans le second cas ou trouve pour la détermiuation de Z deux formules différentes selon que la fraction

est positive ou négative. Dans le premier cas la fonction Z est définie par la formule

Da Ds le second cas Z est donné par la formule

P) Z-«„H-,(2-«) nr7--^-+;;H (i p)..(i rt,6„,)'

où

1 r»»-! M fa—i (on »-»L 4i„|<i) vw J »■*■

"-i-aL *„(») *„(.) J '"*'

§ 4. L'expression de la valeur limite de l'intégrale

\mdx,

par les résidus intégraux nous conduit facilement à toutes les formules indiquées dans le Mémoire précité.

En supposant connues les valeurs des 2m intégrales

\f{x)dx, \xf{x)dx,. . . . ï af'"~^ f(x) dx et supposant de plus que l'on cherche la valeur limite de l'iutégrale

]mêx

pour une valeur de v satisfaisant à l'equatiou

nous remarquons que d'après le § 3 la valeur de Z sera donnée dans ce cas par la formule

Z=Y(i.-»)^-*f=lii';

d'où il résulte

Z=oo à cause de l'équation

Par conséquent, d'après le § 3,

En substituant à la fraction continue la fraction ordinaire qui lui est égale

on trouve

Pour cette valeur de F{s) les formules (1), (2) nous donnent

j/-(x),)x<'2"-;-ïl-!-

Ceci aura lieu pour toutes les valeurs de v satisfaisant à l'équation

En posant successivement où z^ et s^ signifient comme auparavant les racines de l'équation et s^ > 0; nous déduisons de ces formules

\mdx>^ l |-|j, \md,< i j^-^j

\mè.> i j-^j, j/-(.)d^< 1 1^.

Et en retranchant les deux dernières inégalités des deux premières on trouve

Comme nous l'avons vu au § 1 , ces inégalités nous conduisent aux mêmes valeurs limites de l'intégrale

ff(x)dx,

que nous avons communiquées dans le Journal de Liouville pour le cas considéré.

§ 5. Pour appliquer les formules (1) et (2) à la résolution du problème proposé dans le Mémoire précité, nous supposons que les trois quantités données

Pi ^1 K

sont déterminées par les formules suivantes:

p=\f{x)dx, d = l » k:^\{x — dff{x)dx,

et que l'on veut trouver les valeurs limites de l'intégrale ]f(x)dx

pour le cas où la fonction inconnue f{x) ne devient pas négative pour des valeurs de x entre 0 et b.

Vu que les trois quantités

déterminent les valeurs des trois intégrales

\f{x)dx=:p, \xf{x)dx=pd, \a?f{x)dx=pd^-^k,

les valeurs limites de l'intégrale

jf{x)dx

dans le problème cousidéré seront déterminées par les formules qui s'appliquent au cas, quaud le nombre des intégrales données est impair 2)n-t- 1: il faut poser de plus

Âf,=^p, Aj^=pd, A^=])â^ -\-'k.

Pour déterminer la fraction continue

nous développons l'expression

en une fraction continue, en nous arrêtant toutefois au premier dénominateur, ce qui nous donne

Nous trouvons donc

Pour déterminer la quantité constante a^^j^ = a^, no en fraction continue l'expression

Jo J^ Â2 ^.j^. pd^ -i-ii

en nous arrêtant au second dénominateur et ne considérant que le premier terme de ce dernier. De cette manière nous trouvons

pd pd^-i-k 1

d'où l'on déduit, conformément à ce qui a été exposé au § 2,

§ 6. En substituant ces valeurs dans ]a formule (5) on trouve la fraction

dout le signe décide, d'après le § 3, laquelle des deux formules (6), (7) doit être employée pour déterminer la fonction Z.

Vu que cette fraction ne change de signe que pour les valeurs

pour lesquelles elle devient oo ou 0, tandis que pour v;==oo ety= — oo elle est égale à-+- 1, on voit que cette fraction sera positive pour

v<:det pour

tandis qu'elle est négative lorsque v est contenu entre les limites

Par conséquent, si

nous devons, conformément au S5 3, nous servir de la formule (6) pour déterminer la fonction Z, ce qui nous donne

-'ji^-")-

Au contraire, dans le cas où

la fonction Z sera déterminée par la formule (7) qui nous donne

ff [ji (fc — li) (i — t] [p (« — d) d -^ fc] [p {d — «) (Il •--())— fe]

En passant maintenant à la détermination de la fraction rationnelle F{z)^ conformément au § 3, nous remarquons que dans le cas considéré la fraction continue

ne contient qu'un seul dénominateur

t formule (3) se réduit donc à

Aux deux valeurs de Z correspondent donc les valeurs suivantes de 'F^s):

Fiz)

La

première

de ces valeurs

aura lieu,

d'après ce

que nous avons

va,

, dans le

cas

ou

ou

bien

la seconde daus le cas où

En introduisant ces valeurs de F{s) dans les formules (1) et (2) et en posaut « = 0, nous trouvons que les valeurs limites de l'intégrale

\nx)d<c,

que nous cherchons dans le problème considéré, seront données par les formules

\nx)dx> i

\t\x)èx< l,

et par les formules

\f(x)èx< l !'"-P»-^'-^)^-^^l^*»-''H'-')P,

§ 7. Si nous nous arrêtons au cas

nous remarquons que pour telles valeurs de v, s étant compris entre 2 = — w et3 = »±M, la fraction

rlj-.H

ne peut devenir oo que pour

vu que la seconde valeur 5 = d — ■ (v~dv ^^^^ laquelle cette fraction devient co, surpasse, pour les valeurs eonsidérées de v et pour w infiniment petit, aussi bien v-t-ui que v — w. Quant à la valeur

elle sera contenue, à cause de l'inégalité

co>0, dans les limites

— w, V-t-OJ,

mais elle sera en dehors des limites

-— co, V — w.

Par conséquent, pour les valeurs considérées de w, le résidu intégral

fiv-d)l

se réduira à zéro, tandis que le résidu intégral

se réduira au résidu correspondant à

« = «, qui est égal à

it-|-j,{«__d)2

Par conséquent, dans le cas où w < rf — -j^-^^: les formules (8) se réduisent aux suivantes:

\f{3^)dx>0,

maintenant au cas, où

hp

nous

remarquons que dans

ce cas la valeur

^ — ' P{v-df

pour

laquelle

la fractiou

devient infime, est contenue aussi bien entre les limites qu'entre les limites

tandis que l'autre valeur z = v, pour laquelle cette fraction devient ; oo, n'est contenue qu'entre les deux dernières limites. Par conséquent le résidu intégral

3 réduit au résidu correspondant à

^ — « p{V~dj'

lequel est égal à

tandis que le résidu intégral

sera égal à la somme des résidus de la fraction

correspondants ans deux valeurs de s, pour lesquelles cette fraction devient

infinie. Cette somme est égale à p. Pour ces valeurs des résidus intégraux, les formules (8) nous donnent

J f{x)dx<p.

II nous reste encore à étudier plus eu détail le cas où

(^ 7T Ji <Cv <ld-i — j-

pib — d) ^ ^ pd

Pour ces valeurs de v, les valeurs limites de intégrale ]f{x)dx

sout données, d'après le § 6, par les formules

-d]if~i)-l

.-i)ï-Hi-f (t-

~d)iv~d)p

Vu que des trois valeurs

pour lesquelles la fraction

pg^ — p(b-t-v — d)e-t-h-i-{b — d]{v~d)d

devient iniinie, la première, 2=0, est contenue aussi bien entre les limites

qu'entre les limites

la seconde z=^h n'est contenue ni entre les premières, ni entre les secondes limites, taudis que la troisième, ^! := v n'est contenue qu'entre les secondes limites, le résidu intégral

f P"^ —p(l>-^-'» — 'i}s-i-Jc-i-{b — d){v — d)p

se réduit au résidu correspondant à « = 0, lequel est égal à

Ifi — d){v — d)p -t- k bv '

tandis que le résidu intégral

„ pzi — p ij) ^ 1} — â) z -i-k -I- {h — d){v — d'jp

est égal à la somme des résidus correspondants à ^ = 0 etk z = v; ces résidus sont respectivement égaux à

{b — â)(v--d)p-i-k bv '

leur somme est donc

Il résulte par conséquent de ces formules

jf{x)dx>

(b-d)iv~d)p-*-l:

On voit donc que de l'expression des valeurs limites de l'iutégrale

]f{i:)dx

à l'aide de résidus intégraux découlent toutes les formules communiquées dans mon Mémoire, inséré dans le Journal de Liouville sous le titre: Suites valeurs limites des intégrales.

§ 8. Il est facile de s'assurer de l'exactitude des valeurs limites de l'intégrale ^

que nons avons trouvées pour le cas où l'on connaît les valeurs des intégrales

J f[x)dx, J xf{x)dx, j x^f{x)êx, ....

et que de plus la fonction ineonuue /"(a;) reste positive entre o et 6, à l'aide de l'équation

I Vf{x)dx=lUF{z),

laquelle aura toujours lieu, en couséquence des propriétés de la fonction rationnelle F{z) déterminée par les formules (3), (4), (6), (7), sitôt que U désigne une fonction entière dont le degré est moindre que le nombre des

\ f[x)dx, \ xfix)dx, \ x^f{x)dx,. . . .

Quant à la déduction de ces mêmes formules par la méthode des quantités maxima et miniraa, cette question sera l'objet d'un Mémoire particulier, dans lequel nous montrerons aussi d'autres applications de la fonction rationnelle F{z). On verra entre autre que les deux racines de l'équation

les plus rapprochées de la racine

fournissent la solution du problème suivant par rapport à la fonction f{x): dans quelles limites, en partant de x = v ou en pissant par x = v, la fonction f{x) peut-elle avoir une valem- constante égale à zéro?

En assignant à v dans les formules qui déterminent F{z) certaines valeurs spéciales, nous trouvons deux fractions F^^is), F^{ss) telles, que les résidus intégraux

[)-».ûi b-i-io

représentent les valeurs limites de l'intégrale

\f{x)Û{x)dx,

sous condition, que pour toutes les valeurs de a; entre a; = a et a; =ô la fonction S (x) reste finie et continue et que sa dérivée, dont l'ordre est égal au nombre des intégrales données

i f(x) dx, f X f{x) dx, J a;= f(x) dx, .

ne change pas de signe. Si le nombre de ces intégrales est pair, ces valeurs spéciales de F{s) peuvent être déduites des formules (3) et (4) eu supposant î; = &, oubien v égal à une racine quelconque de l'équation ■i^^{x) = 0. Si au contraire le nombre des intégrales données

[ f{x) dx, j" X f{x) dx, . . . . J x^"' f{x) dx,

est impair, les fractions F^{p) et F^{z) peuvent être déduites des formules (3) et (6) en supposant î» =: d, v = l.

A l'aide des fractions, déterminées par les formules (3), (4), (6), (7) on peut aussi trouver les valeurs limites de l'intégrale

]f(x)dx

quelles que soient m, v pourvu seulement, que dans ] l'une des limites soit égale à ± oo.

SuH LUS RHoIDuS INiJawKAu,K

QUI DOMfiNT