L KM +»(•) J

»-" L *mW tmW J'

En substituant à la fraction continue

la fraction ordinaire qui lui est égale

et en posant

on aura

En portant cett« valeur de la fonction F{3) dans les formules (1), nous trouvons

ou bien

Or, les résidus intégraux

c ^oM r ?pQ,(^)

OÙ w désigne une quantité infiniment petite, s'étendent seulement sur les valeurs voisines de ^f = f ; et comme cette valeur de s, qui annule Op, (s) en vertu de (2) et (3), coïncide avec l'une de leurs limites, la valeur commune de ces résidus sera

et les dernières formules nous donnent

^ flx\dx> r *^-^I-£aW.

On voit par là que la différence entre le résidu intégral

f 2WS

est au plus égale à la fraction

— 2 0\lv)

C'est la plus grande approximation avec laquelle la valeur de l'intégrale peut être déterminée d'après les valeurs données de 2m intégrales

r f{x) dx, \ xf(x) dx,...., \ x^'"~^ f(x) ôx,

si par rapport à la fonction inconnue f{x) on sait seulement qu'elle reste positive pour les valeurs réelles de x entre x= a et x^b. Nous allons maintenant étudier la fraction

et quelques formules qui peuvent nous conduire à la détermination de sa limite supérieure. Dans un cas particulier très remarquable nous trouvons par ces formules la limite supérieure de la fraction

sous la forme d'une fonction du nombre des intégrales données h b b

\ f{x)dx, ^ xf{x)dx, \ x^f{x)dx,. . . ,,

et qui tend vers zéro quand ce nombre augmente indéfiniment.

§ 2. Nous profiterons ici de quelques résultats que nous avons obtenus dans notre Mémoire sur les fractions continues *). Dans ce Mémoire nous nous sommes occupé de la fraction continue

— 447 ~qu'on obtient en développant la somme

,^,^ — iïï,- « — a-Q 2 — ^1 ■ ' ' " 2 — a;„

OÙ les quantités

sont toutes réelles et distinctes, et

sont des quantités positives quelconques. En désignant par

'J'û(^)' 'Jv?)' 'l'îW —

les réduites de la fraction continue, nous trouvons, en vertu des formules démontrées dans ce mémoire, les égalités suivantes:

qui montrent que les coefficients

Kj, «2, Kg,. . , .

sont tous positifs. li résulte de là que les premières termes des fonctions

îo{^)' ?i(^). ïsW. .

ordonnées suivant les puissances décroisantes de ^, auront des coefficients positifs.

D'autre part, comme nous avons vu dans ce même Mémoire, pour toute fonction entière /è [z) d'un degré inférieur à ja on doit avoir l'équation (4) ^U\)%(.^,)6'(^,) = <l.

De cette équation nous allons déduire quelques propriétés des fonctions

'i.W, 1,^, fcW

dont nous nous servirons après. Pour cela nous remarquons que la dernière réduite

doit donner la valeur exacte de la somme

et son dénomluateur '\i„^^ (s) sera une fonctloo entière du degré (» -+- 1) de la forme

oîi C désigne un coefficient constant. L'expression ■l'„-^i (^)

sera donc une fonction entière du degré (n — 1), et d'après (6) on devra avoir l'équation

qui se réduit en vertu de (7) à l'égalité

d'où nous déduisons

Or, les racines

sont toutes réelles et distinctes, et en les supposant disposées dans l'ordre de leurs grandeurs on voit que la dérivée

aura des signes contraires pour les deux racines consécutives x^ et Xj^^^ , et par conséquent la fonction

aura aussi des signes opposés pour

c'est à dire eutre deux racines consécutives quelconques de l'équation

on aura au moins une racine de l'équation +„(s)=0

On voit par là que les n racines de l'équatiou

seront toutes réelles, distinctes et situées respectivement dans les n intervalles des (n-i- 1) racines de l'équation

En désignant par

les racines de l'équation

iées dans l'ordre de leurs grandeurs, on aura la série de grandeurs croissantes

3!g, x\, a;,, a>\,....Xy, x\, x^^^^^ x'-^^^. . . .x'^^, x^.

§ 3. Les n racines

a^'p, x\,. . . ■x'^^ de l'équation

étant inégales, la décomposition de la réduite

en fractions simples nous donnera la somme (6)

où, comme il est facile de voir, les facteurs

sont tous positifs.

En effet, les fonctions

des réduites

sont liées par la relation

Eu divisant les deux membres de cette égalité par

et en y faisant

nous trouvons l'égalité

Pour déterminer à l'aide de cette égalité le signe de la fraction nous remarquons d'abord que le produit

sera positif pour ^ = 00, puisque les premiers termes des fonctions t}; (^), ordonnées par rapport aux puissances décroissantes de s, ont des coefficients positifs (§2).

Si maintenant on passe de 3 = 00 à la plus grande racine 3 = x'^^ de l'équation

la fonction '^^^^^{s) changera son signe en passant par sa racine s=-x^, tandis que la dérivée '^'^{^) n'ayant pas de racine entre s=x^^ et2=oo conservera son signe. Le produit

sera donc négatif pour z = x'^^, et il est facile de voir qu'il conserveras» valeur négative pour toutes les racines

de l'équation

car, d'après le § 2, eutre deux racines consécutives de l'équation on trouvera toujours une racine pour chacune des équations

eu vertu de quoi le produit doit avoir le même aiguë pour toutes les racines de réquation

Ainsi, le produit sera négatif pour les valeurs

et la fraction

sera positive pour f^^O, I, 2, . . ., n — 1.