I^,'«.'«)=«PS

•■«.'(-'-.) =:ifc!'

et la somme {6} prendra la forme

'PnW ei=(»^'o) 9i^(A)

ij-n (*} S — at'o s —3:\

Ainsi, connaissant la décomposition de la réduite

en une somme de fractions simples de la forme

i!(£oL Hi!W -H , fl'W^

où les X. sont toutes des quantités réelles et distinctes, et les 6'^ (x^) d quantités positives quelconques, on pourra aussi décomposer la réduite

en une somme de la même forme

daus laquelle les quantités a;' sont aussi toutes réelles et distinctes, et les ol {x' ) des quantités positives. De plus, les quantités x^ et x dans l'ordre de leurs grandeurs formeront, comme on a vu, la série suivante:

En passant de même de la décomposition de la réduite

à la décomposition de la réduite

et ainsi de suite, nous trouvons pour chacune d'elles une décomposition de la forme

hW ^ — ^0 " — «1 ' ' ' ■ e~n—ï

où les racines s^, s^,. . -, «;, de l'équation

sont toutes réelles et distinctes, et les Ô^^ {0) des quantités positives. De plus, en désignant par

les racines de l'équation

et en les disposant avec celles de

par l'ordre de leurs grandeurs croissantes, nous trouvons la série

^0, ^0' ^i> ^n--'-^;,) ^X' ^x-m' • • '^(—îT ^(—i! dont les termes sont tous compris entre ir,, et x^. S 4. Revenons à la fraction continue

que l'on obtient en développant l'e

en fraction continue et en s'arrétant à la m"'"' réduite.

Cette expression ne di0re de l'intégrale

que par les termes

f aiî"'/(K) dx [ œ^'"-*-' / [a:) d;

et comme ces termes n'ont aucune influence sur les m premiers dénominateurs de la fraction continue

nous pouvons, en nous bornant aux m premiers termes, la regarder comme provenant du développement de l'intégrale

Or, cette intégrale, où, par hypothèse, la fonction f{x) reste positive pour les valeurs de x entre a et &, peut être regardée comme la limite de la somme

dans laquelle les quantités x- désignent une série de grandeurs croissantes de X(^ = a h x^ = h, et les ô^ {x^) des quantités positives choisies conformément aux valeurs correspondantes de f(x); et nous en concluons, d'après le § 2, que les coefficients a,, a^, . . . , «^ de la fraction continue

provenant du développement de l'expression

[ / (X) dx f xf [x] dx J *""-■ f(x) dx

auront des valeurs positives, définies par les formules

et que les dénominateurs '^j„{^) et '^^i(^J des réduites

auront toutes leurs racines réelles, distinctes et comprises entre a et b. De plus, en désignant par

les racines des équations

dans l'ordre de leurs grandeurs, ou devra avoir la série suivante de grandeurs croissantes:

Tout ceci doit avoir lieu, bien entendu, si les intégrales

f f(x)dx, f xf{x)dx,. . . . f x'"'^~~'^ f{x) dx

peuvent prendre des valeurs données pour f(x) positive entre x = a, x = i.

§ 5. Nous venons de voir que, si les valeurs données des intégrales

J f{x)dx, f xf(x)dx,. . . . J :(^"''~*fix)ôx

sont possibles pour f{x) positive entre a et b, l'équation

■ijx) = 0

déterminée par ces valeurs ne peut pas avoir des racines hors des limites a et &.

Deux cas peuvent donc se présenter: l)aucune desracines del'équation

n'atteint ni la limite a, ni la limite h, et 2) l'une des limites aeti ou toutes les deux annulent la fonction 4'm('^)- ^™^ allons d'abord examiner le second cas qui d'ailleurs se présente très rarement. En regardant l'intégrale

dx

comme la limite de la somme

où l'on a a^o ^ o, x^ = i, et en remarquant que, d'après le § 2, le dénominateur de la dernière réduite

égale à cette somme, est le seul qui peut s'annuler pour s = Xg =a et z^x = &, nous en concluons que, dans le cas considéré, la somme

Z—Xf, a — Xf •••■ X~~Xfi

et par conséquent l'intégrale

doivent être égales à la réduite

Or, cette fraction se décompose en une somme de fractions simples de la

et pour que cette somme puisse être égale à l'intégrale

il faut que la fonction fix) s'annule pour toutes les valeurs de x comprises entre a et h, qui ne sont pas dans le voisinage de

et que pour les valeurs de ^ infiisiraeiit voisines de

elle ait des valeurs telles que les intégiales

\f{x)èx, \f{x)èx, \f{^)àx

se ramènent, lorsque w devient nulle, aux valeurs

Avec une telle fonction f{x) l'intégrale

se ramène au résidu intégral

pour toutes les valeurs de v entre les limites a et 6, différentes c

Quant aux valeurs de

ou voit que pour ces valeurs de v l'intégrale

\f(x)àx reçoit des accroissements brusques, égaux respectivement à

et par conséquent pour

sa valeur ne peut pas être complètement déterminée.

§ 6. Passons au cas général lorsque ni a, ni ô ne satisfont pas à l'équation

Nous allons d'abord montrer que la quantité y qui figure dans nos formules est une quantité positive.

En effet, d'après le § 1 on doit avoir les inégalités

En les multipliant respectiTement par les quantités positives « — a, & — v et en les ajoutant ensuite membre à membre, nous trouvons l'inégalité

Or, les termes les plus élevés dans les fonctions ^„, (s), '\)^ {s) ayant des coefficients positifs, on devra avoir

et comme toutes les racines des équations

sont plus grandes que a et plus petites que 6, on aura aussi

en vertu de quoi l'inégalité précédente nous donne

Y(4-»)>0, d'oil

La quantité y, comme on a vu dans le § 1 , sert à déterminer la fonction 0^ (s) qui, en vertu de (2) et (3), sera donnée par la formule

dans laquelle, comme on vient de le voir, la quantité 7 est positive; et comme de plus les termes les plus élevés dans les fonctions

ont des coefficients positifs, cette formule nous donnera

où le signe supérieur correspond au cas de m pair et le signe inférieur au cas de m impair. Si maintenant on fait dans cette formule

on aura, d'après le § 4,

de sorte que pour la fouction 0^ (s) nous trouvons

^1 (^™,) = —, ^1 K^) = -«-,.... <rj, (0„) = =t.

On voit par là que les m -i- 1 racines de l'équation

sont toutes réelles, distinctes et séparées par les m racines de l'équation

§ 7. En désignant par

les racines de l'équation

nous trouvons pour la fraction

la décomposition suivante en fractions simples:

mii(»)__ 0,l,Q 1 (toK.l 1 ^ , ■»,(;„) 1

<»i(«>~ «'iM »-ïû e',K,) »-C, a>',(U '-!«'

oii, comme il est facile de voir, les facteurs

sont tons positifs. En effet, des formules (3) on déduit facilement l'égalité 1>, W 4-. W - *■ W î„ W = ?„ W +.-, W - î„, W -l-» «■

Comme le second membre, d'après une propriété bien connue des réduites, est égal à l'unité, nous aurons l'égalité

En divisaat les deux membres de cette égalité par

et en y faisant

s = -Q K„....l„, nous trouvons l'égalité

<1>',(ÏX) ~+.(?X)«''iK),) Pour déterminer à l'aide de cette égalité le signe de la fraction

a»', Kil' nous remarquons d'abord que le produit

sera positif pour s = oo, puisque les ternies les plus élevés dans les fonctions

ont des coefficieuts positifs; et comme les racines des équations

sont toutes plus petites que la plus grande racine 'C^ de l'équation

(§ 6), on voit que ce produit sera aussi positif pour 0 = '(,^,

Il est facile de voir que le produit conservera ce signe -*- pour toutes les racines

de l'équation

car entre deux racines consécutives quelconques de l'équation

!Zi,(a) = 0 chacune des équations

rj,^(3) = 0 et (2>',(ï) = 0

aura toujours une racine seulement {§ 6}, en

vertu

de

quoi

le

produit

aura

le même signe pour toutes les racines

de l'équation

On aura donc bien