IP

pour les valeurs de î = 0, 1 ,

Ainsi, la fraction

qui, comme on a vu dans le § 1, est égale à la fraction continue

se ramène à la somme

.Km

,) «-ïm*

9\U *-ïo <P'i(ïi) ^

dans laquelle les quantités X,^ sont toutes réelles et distinctes, et les

<Po(i:f)

des quantités positives.

Comme cette somme ne diffère que par les notations de la somme

que nous avons étudiée dans le mémoire précité s%r les fractions continues, on trouve, d'après la formule donnée à la fln du § 5 de ce Mémoire, l'égalité suivante:

J- S=; ,n !!■.■, -'-'^^ rf, .r a" ■+■ • . ■ - H

Or, d'après ce que uous avons dit dans le § 2, on a en vertu de quoi l'égalité précédente peut s'écrire

d'où l'on tire la, formule

(li==0, 1, 2 m),

dans laquelle le dernier coefficient a^^., sera égal à y, coefficient de s dans le deruier dénominateur Z.

Ainsi pour toutes les racines

de l'équation

on aura

et comme, en vertu de (2) et (3), s^v annule la fonction (Pj (2), on obtient la formule

'î^oW l

§ 8. Dans le § 1 noua avons montré que les limites de la différence entre l'intégrale

et le résidu intégral sont données par

et l'on voit d'après la valeur trouvée de la fraction

que le degré d'approximation avec laquelle le résidu intégral

donne la valeur de l'intégrale

lnx)dx

sera déterminé par la fraction

dans laquelle la quantité y seule dépend des limites a, h des intégrales considérées.

Cette fraction augmente lorsque 7 diminue, et elle diminue lorsque Y augmente. Comme la valeur de y lui est toujours positive sera nulle pour a = — 00, 6 = 00, et deviendra infiniment grande pour <\i^{a) = 0 ou '^^(h) = 0 (§§ 1 et 6), on voit que la différence entre l'intégrale

et le résidu intégral

lf(x)dx

tendra vers zéro si a ou & s'approche indéfiniment de la valeur d'une racine de i|/^ {z) et si v n'est pas racine de cette fonction, ce qui est bien conforme aux résultats auxquels nous sommes arrivés dans le § 5.

La limite (7) de cette différence atteindra au contraire sa plus grande valeur pour a := — oc, J = 00 et ce réduira pour ces valeurs des limites a, 5 à la fraction

3 aj4,oï(e)-Ha,4;,»(«)w-..,.-H«„i!.V~iM

Il est facile de voir que la valeur de cette fraction diminue lorsque le nombre m augmente, et qu'elle deviendra nulle pour «î = 00, si la série

est divergente. Cette fraction dépend évidemment d quent, selon la valeur de f , le résidu intégral

j aussij et par conse-

donnera la valeur de l'intégrale

\mà^

avec une approsimatioa plus ou moins grande. Il est cependant facile de montrer que pour certaines valeurs de v la valeur de la fraction

et par conséquent aussi la valeur de la fraction (7) dont elle est la limite supérieure, sera plus petite que

Eu effet, en désignant par D la plus grande valeur du dénominateur

pour a < u < 6, nous trouvons l'inégalité

et comme d'après les formules

le premier membre de cette inégalité se réduit à m, on aura l'inégalité

m<I)\f(x)dx ou bien

On voit par là que ^ qui, conformément ànotre notation, représente la plus petite valeur de la fraction

pour les valeurs de v comprises entre a et &, sera plus petite que

^kf/'w*-

Donc, quelles que soient les limites a et &, la différence entre l'intégrale

\f(x)dx et le résidu intégral

ne peut pas surpasser la valeur de la fractiou

Hv)-t-

nV,

OU

bien de la fraction

qu'on obtient eu remplaçant les coefficients a par leurs valeurs tirées des formules

Les fonctions sont déterminées, comme on a vu, à l'aide du développement de l'intégrale

en fraction continue de la forme

Et comme la valeur de la fractiou

JVW/W«« Jti>W/Wfa f*„,'W/Wfc

i pas lorsqu'on multiplie les fonctions <\' par des facteurs constants quelconques, uous pouvons y prendre pour les fonctions

■i'M-iA"} +»-,W.

les fonctions que l'on obtient en développant l'intégrale en fraction continue de la fonne

les p étant des quantités constantes quelconques; car le changement des quantités p^, pg,. . . équivaut, comme il est facile de le voir, à l'introduction de facteurs constants dans ces fonctions.

Nous venons de montrer comment on détermine les limites de la différence entre l'intégrale

jmdx

et le résidu intégral

dans le cas où l'on donne les 2m intégrales

\ fia:)dx, ^xf(3;)dx j af""-' f{x] dx

et si l'on sait que la fonction inconnue f{x) reste positive pour les valeurs de X entre a et h.

Il est facile d'en déduire les limites de la différence entre les intégrales

lf(x)dx

lf,(a:)dx,

^f(x) Ar—f/; (3;) dx, ixf(x) dx=^0f, (x) (?a;...., frc"""' f(x)dx=^x^""' f,(x) dx,

et si la fonction f^{x) reste aussi positive pour les valeurs de x entre x:=a, x^b. En effet, dans ce cas on aura les mêmes résidus intégraux et les mêmes limites des différences entre les intégrales et les résidus intégraux, et par conséquent la différence entre les intégrales

\ f{x)dx, \ f^ix)dx

ne pourra pas surpasser le double de la limite de la différence entre chacune de ces intégrales et le résidu intégral

Donc, si les égalités

^f{x)dx=^f^ix)âx,\xf{x)dx=\xf^(x)dx,. . . .^x""*-' f{x)dx=\af"'~^ f^ix)dx

ont lieu pour deux fonctions

fi"), fAA

qui restent positives pour les valeurs de x entre a et 6, la différence entre

ne pourra pas surpasser la valeur de la fraction

(S) «,V('')-*-«aVl^)-*------^=<M*^m-iW'

quelles que soient les limites a et h.

§ 9. Comme exemple de l'application de nos formules nous allons maintenant considérer le cas où l'on a

a = — 00, 6 = -t-oo

V2ii

Dans ce cas, comme on va le voir, la limite supérieure de la fraction (8) pourra être déterminée quelle que soit la valeur de y, et il en résulte un théorème qui peut avoir des applications utiles dans la Théorie des Probahilités.

D'après les formules données dans notre Mémoire Sur le développement des fonctions à wie seule variable *), dans lequel nous avons étudié le développemment de l'intégrale

en fraction continue et les réduites

ToW yiW faW

nous trouvons que, dans le cas que nous considérons maintenant, les fonctions

iW, U'), fc»

pourront être représentées par la formule

et qu'on pourra les calculer successivement à l'aide de la formule

(9) ■!/,{') = -<i'^i-M)— 9- Dî'+i-.W

et l'égalité

D'autre part nous trouvons d'après ce même mémoire la formule -|=e f,Wto=1.2.3...J.s='.

En vertu de cette formule la fraction (8) qui détermine la limite de 1

différence entre les intégrales

\fix)dx, \ f,(x)dx se ramène pour le cas que nous examinons à la fraction

dans laquelle les fonctions '^{v) seront déterminées par (9).

Pour déterminer la limite supérieure de cette fraction nous chercherons la limite inférieure de son dénominateur

VW , ♦,'(•■) , , +'—,(•)

En posant

nous remarquons que ce dénominateur est égal à la somme 2;-i-T,-i- -*-Tm~i-

Pour trouver la limite inférieure de cette somme nous allons d'abord déterminer la fonction â (t) définie par

où t désigne une variable quelconque.

§ 10. Pour déterminer la fonction û(t) nous remarquons que d'après (9) on aura

et

^i-., (V) -= — fv ^,^ (v) — il-2) q' ^,, {V), d'où l'on tire

4,,» (t.) = s" »' f ,, (!)) -H 2 (i — 1 ) }• 1) 4.,, (!>) :];,, (v) -H (i — 1)" 5< f ,^ (v), et en éliminant entre ces deux équations le produit

nous trouvons la relation

Si maintenant on y remplace les fonctions

'W(^)^ Vi-M 'Vi-M Vi-A^)

par leurs valeurs tirées de (10), on aura l'équation

Multiplions tous les termes par t' et faisons la somme pour toutes les va-

leurs de î, Ae 1 = 0 kl = co; nous aurons alors l'éj ^lI/--^(ç,V-l-t^l)T,/-^%(<fv'-l-^l)T,,t'-^(l-2)T,/=0.

En remarquant que d'après (10) on a

2', = 0, îL^ = o, r„3 = o,

nous trouvons

en vertu, de quoi l'égalité précédente se ramène à l'égalité %lT,i-%fv'-l)If'-^'^^li'v'~l~l)T,i*-~%l->-\)T,i*'=<i,

d'où l'on déduit

Comme d'après notre notation on a

et par conséquent

^lT,t'-' = e'(i),

cette égalité se réduit à l'équation différentielle

(l-^t—t'' — f)0'{t) = {fv^ — (qH^—l)t-t-fi)â{t), qui, intégrée, doane

La constante d'intégration G se trouve facilement en remarquant que la fonction 6 (t) se réduit pour ( = 0 à T^ = '^l(v)^l.

De sorte que l'on aura

C=l, et par conséquent

§11. D'après l'expression trouvée de la somme

OÙ t désigne une quantité Yariable, la limite inférieure de la somme

ï;-hï;-h -*-Tm-i

pourra être déterminée à l'aide des formules données dans notre mémoire mentionné plus haut Sur la représentation des valeurs l par des résidus intégraux. Pour appliquer les formules, mémoire pour des intégrales, aux sommes

nous allons les présenter sous la forme des intégrales J Tfdx, J Yfdx,

en désignaut par T une fonction de x qui s'annnle pour toutes les valeurs de X qui ne sont pas dans le voisinage de

ic = 0, 1, 2, 3, ,

et qui pour les valeurs de x infiniment voisines de

ic = 0, 1, 2, 3,

a des valeurs telles que les intégrales

I Tdx, \ Tdx, j Ydx,

tendent respectivement vers les valeurs

Jo, Tj, Ta,

lorsque w tend vers zéro.

Pour une fonction Y ainsi déteiminée on aura évidemment

f Tfdx = ^Tit^=^6it),

et

j rfdx=T^-i-T^t-t~ -t- T^, r-\

Comme la fonction Jf ne devient pas négative entre les limites 0 et oo, les valeurs limites de l'intégrale

f Yfdx

d'après les valeurs des trois intégrales

\Yfdx, jxYfdx, jx'Yfdx

seront déterminées par les formules données dans les §§ 6 et 7 de notre Mémoire mentionné plus haut.

En faisant dans ces formules

nous trourous que pour

f m^ Yi^ dx

J X Yl'^ dx

i limite inférieure de la valeur de l'intégrale f Yf dx

f\xYt^dx\

En remarquant que d'après l'é;

f Yfdx^â{t),

on aura

\xYfdx = tû'{t),

1 x" Yf dx = f 0" (t) -H t O' (t),

nous en déduisons l'inégalité t()"(t)

frr*>.(,)-j,iff|L.

En prenant ici pour t une racine quelconque de l'équation

nous trouTOQS l'inégalité

J ^' "" = '■"•'> t rit) -nr(,)-

Comme d'après les propriétés de la fonction Y on aora

[ Yfdx = T^~i-Tj-t- 'i-T^J'^~\

l'inégalité précédente se réduit à celle-ci;

r.-r.(-....H-r,.t— 'gtf(0-,.„'g'f;„)-

qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de t satisfaisant à {11}.

Donc, en se bornant aux valeurs de t comprises entre 0 et 1 et remarquant que pour ces valeurs de t on aura

Tq-^tj-\- H-r^,r~'<î;-i-2;-4- -^^„i i,

on devra avoir l'inégalité

T^ H- T, H- . . . . -Hï'„, > 6) (0 - .Vfifa '

d'après laquelle nous pouvons trouver une limite inférieure de la somme

en prenant pour t une racine de {11} comprise entre 0 et 1.

§ 12. En portant les valeurs de â'{t), â"{t) tirées de § 10, on trouve

(12) et

La dernière inégalité nous donne la limite inférieure de la somme

en fonction de la racine t de (12} comprise entre 0 et 1.

Il est facile de voir que pour *» > 1 , comme nous le supposons toujours, l'équation (12) admettra bien une racine entre 0 et 1; mais la détermination exacte de cette racine est très difficile.

Comme il ne s'agit ici que de trouver une quantité qui reste constam-

gï)-n

meut plus petite que N^ Tf, nous pouvons y arriver sans résoudre l'équa-

tion (12).

Pour cela nous tirons de (12) la valeur de Y m — 1 et nous divisons par elle l'inégalité (13), ce qui nous donne une inégalité qu'on peut mettre sous la forme

vni— 1 r I t ~1-1

En remarquant que la valeur de t dans cette inégalité doit être plus grande que zéro et plus petite que l'unité, nous trouvons

en vertu de quoi l'inégalité précédente nous donne

(14) ^fe^>

i détermination d'une limite inférieure de

nous remarquons que l'équation (12) peut s'écrire

-yg^îî^H YZTt •

Conmie t est comprise entre 0 et 1, tous les termes seront positifs et l'on aura

d'où l'on déduit

m{l—^)> 1, ce qui donne

et par conséquent

D'autre part, en cherchant les maxima des fonctions

pour 0 < ^ < 1, nous trouvons qu'ils s'ohtiennent pour

et qu'ils sont respectivement égaux à

en rertu de quoi l'équation précédente nous donne

(ra— 1) (1 ~ f)<f -t- 2 -t-iZ —y~8) fv';

d'où l'on déduit

ce qui donne

( > 1 S-^iS~Vlt)q^vi

Ainsi, nous trouvons que

et l'on aura par conséquent

de sorte que l'inégalité (14), en y remplaçant

t -{ — ^ ^ v^ par 1 — — )

D0U3 donnera

OU bien

En remarquant que, conformément à notre notation, on a

nous en concluons que la fraction

sera plus petite que

3y'3(m3 — 2Bi-i-S)' (g't^-t-l)3^ 2 (m — 3)3 -/m— 1

Comme d'après le § 9 cette fraction donne les limites de la différence des

I xf^{x)dx= :^xe ^ dx, J x^f^ix)dx=:\ -^x'^e ^ dx,

J x'"'-'f^(x)dx=\ jx'"'-'f,ix)dx=j:^:>f'

la fonction /", {x) restant constamment positive, et comme on a

» •'"2 -t-tc

r ££! r r tîl

J y2lt /,rj ' J y2;t '

\-^xe ^ dx=0, \'J=x'e ^ dx^\

i vïi ' J y27t 3Ï' • • •

r"" —tiS. r*"

J V2tc g"" * ' J

nous en déduisons le théorème suivant:

Tliéorème.

Si la fonction f^ [x) reste c

\ f^{x)dx = \, \xf^{x)dx~Q, \x^f^{x)dx = \, \ x''f^{x)dx = Q,

\ 3^""-= /; {x) dx = ^■^■^•^,S7~^^ ' [ ^""~' fi (a;) da; = 0,

la valeur de Vintégrale

]j,(x)dx sera comprise entre les limites

3VS{m^—2m-i-5)^lg^v^-^l^

3 /iK- 2m^-3)'' (^^ii^-H 1)'^ 2(m-3pv'tn — 1

^our iOMÏes ïes valeurs réelles de v.

SOR DKOX THÉORÈMES RELATIFS AUX PROBABILîTèS.

(XHADUIT PAK X. ICyON.)

(Lu U 10 mars 1887.)

(9 9êuay& tncopa-MaccÉ omuocumeA-buo éfspojï'în'H'Ocmcu.

(IIpHJioœeHies'î.LV-MyTOuy SanacoKi. HMnepaTopCKofl AKaaeMiH Hayx-t, JiG. Aota matheinatica. T. XIV, 1890—1891, p. S05— 315.)

Sur deux théorèmes relatif^ aux probabilités.

§ 1. Dans un Mémoire, sous le titre: Des valeurs moyennes*), nous avons montré comment on obtient des mégalités, d'où l'on déduit facilemeut un théorème sur les probabilités qui contient comme cas particuliers le théorème de Bernoulli et la loi des grands nombres.

Ce théorème, nous l'avons formulé ainsi:

et de leurs carrés

ne dépassent pas une limite finie quelconque, la probabilité que la différence entre la moyenne arithmétique d^im nombre n de ces gu(mUtés et la moyenne arithmétique de leurs espéramies mathématiques sera moindre qu'une quantité donnée, se réduit à rwitté, lorsque n devient infini.

Nous avons été conduit à ce résultat en cherchant à déterminer les valeurs limites d'une intégrale d'après les valeurs données des autr^ intégrales qui contiennent sous le signe j", outre les fonctions connues, une fonction inconnue, assujettie à la seule condition de ne pas devenir négative entre les limites d'intégration. En développant la méthode employée dans ces recherches nous arrivons, dans un cas particulier, au théorème suivant

*•) T. II, p, 443-478.

Si îa fonction f{x) reste constamment positive et si Von a

\f{x)d3:=l, f a:/-(3i)(te = 0, ^ x'f{x)âx = i,, ^l:'f{x)dx=0.

la valeur de IHntégràle

[f{x)ix sera comprise entre les limites

Va

2 [m — 3)3 Vm — 1

3/3 (w^ — 2m -1-3)^ (g^ v^ -t-lf

potir toutes les valeurs réelles de v.

Nous allons montrer maintenant, comment ce théorème sur les intégrales conduit à nu théorème sur les probaMités, à l'aide duquel la détermination des valeurs les plus sûres des inconnues, quand on a un grand nombre d'équations qui contiennent des erreurs accidentelles plus ou moins considérables, se ramène à la méthode des moindres carrés.

Ce théorème peut être ainsi formulé :

Si les espêramces mathématiques des quantités

sont toutes nulles et si les espérances mathématiques de toutes leurs puissances ne dépassent pas ime limite finie quelconque, la probabilité que la somme

d'un nomh'e n de ces quantités, divisée par la racine carrée de la o

somme des espérances mathématiques de leurs carrés^ sera comprise entre dmx limites quelconques t et t', se réduit à

lorsque le nombre n devient infini.

§ 2. Pour démontrer ce théorème sous la forme la plus é prendrons — oo et -i-oo pour les limites entre lesquelles sont comprises toutes les valeurs possibles des quantités

Mj, u^, M„

Eu désignant par

(!^^{x)dx, tf^{x)dx, (f^{x)dx,. . , .

les probabilités que les valeurs des quantités

2(j, îi^, ïtg, ....

sont comprises entre les limites infiniment voisines

X, x-i~ dx, nous remarquons:

1) que les fonctions

ne peuvent pas avoir des valeurs négatives;

2) que les intégrales

f ?](*'i)'^**iï f ?aW'^^2' J ^aW'^^'s!

qui représentent les probabilités que les quantités

^^,, u^, Wj,, , . .

auront des valeurs quelconques comprises entre les limites — oo et -t-co, seront égales à l'unité; 3} que les intégrales

f Mj 9i (mJ du^ , f «a Ça (Mj) du^ , [ Wg 93 (u^) dîi^, ,

qui représentent les espérances mathématiques des quantités

d'après notre hypothèse, doivent être nulles;

4) qu'en général, toutes les quantités a/'^' définies par l'égalité

qui représentent les espérances mathématiques des différentes puissances des quantités

seront, par hypothèse, comprises entre des limites finies. D'autre part, en désignant par

f{x)dx

la probabilité que la valeur de la fraction

sera comprise entre les limites infiniment voisines

X, x ■+■ dx, nous remarquons que cette probabilité sera donnée par l'égalité

f(x)dx^j. . . .J9i(«,) 9a(%)- ■ ■ ■%{%) àUj^dîig. . . .dii^,

dans laquelle l'intégration par rapport à m^, u^, . . . . u^ s'étend sur toutes les valeurs de ces quantités pour lesquelles la valeur de la fraction

ne sort pas des limites infiniment voisines x, x-}- dx.

En multipliant cette égalité membre à membre avec l'égalité

oÎL S désigne une constaate ai'bitraire quelconque, et en intégrant de x = — oo'h x^ 00, nous trouvons l'é

J e"'fix)dx=j.. .Je

Comme dans le second membre l'intégration par rapport à

s'étend sur toutes les valeurs de ces quantités entre — oo et -i- oo, le second membre de cette égalité se réduit au produit des intégrales simples

nous aurons donc l'égalité

(1) jy^f{x)dx=jj '*9j(Mi)(?w,.J^e "çsCMgl^Wa. ..J e "®„0O<?«„.

En développant les deux membres de cette égalité suivant les puissances de la constaute arbitraire s et en égalant les coefficients des mêmes puissances de s, nous trouverons les valeurs des intégrales

f f{x) dx, J X f{x) dx, J x" f{x) ôx, ,

qui représentent les espérances mathématiques des différentes puissances de la quantité

et qui nous serviront à déterminer les valeurs limites de l'intégrale

lf{x)dx, qui représente la probabilité que la valeur de la fraction

ne dépassera pas une quantité quelconque v.

§ 3. En nous bornant à la détermination de 2m intégrales

f f{x)dx, J xf(x)dx, J x'f{x)dx, J x'""'~'fix)dx,

nous remarquons que le premier membre de l'égalité (1), développé suivant 3 de s jusqu'au terme de l'ordre s*'"~\ donnera la somme

\f{a^)àx-*--jjxf{x)dx-^^^aPfix)ôx-i-....-i~j^^-^^^^jaf'^ 'f{x)dx.

Pour déterminer les termes correspondauts dans le second membre, uous allons le mettre sous la forme

logje " (pi (Mj) dWj -f- logj e ^%(u^du^-t- -»-IogJ e 9„{w„)dM„j

et l'on voit que le développement du second membre de (1), exact jusqu'au terme de l'ordre s*"*"' inclusivemeut, s'obtiendra en y remplaçant les logarithmes par leurs développements en séries arrêtés ans termes de l'ordre s^™"'. Pour détei-miner les développements de ces logarithmes, nous remarquons que l'intégrale

f fîli

sera donuée par l'expression approximative suivante, exacte jusqu'au terme de l'ordre s**"^* inclusivement:

J i'^ " ' l.Vn 1.2. n 1 2.3nVn " "

' ' ' ' 1.2.3. .. .(2m — 1)»"'—iVm

et cette expression, d'après le § 2, se réduit à