CO
Comme la fonction f{x) qui figure sous le signe J, par sa nature même, ne peut pas avoir des valeurs négatives, nous concluons, d'après le théorème sur les intégrales cité au § 1, que la valeur de l'intégrale
\J{x)dx est comprise entre les limites
e-«' dx — '"^3(«'-8»-t-s)'(8'»'-i-i)'
D'où, en remarquant que la valeur de la fraction
8 yS K — 2m-^■ S)' (q^ e^-h 1)3 2 (m — 3)= Vrn^^
tend vers zéro lorsque le nombre m augmente indéfiniment, nous tirons l'égalité
En y faisant successivement
nous trouvons les égalités
qui par la soustraction nous donnent
\f{x)dx = ^ e-'^dx, f{x)dx = ^ e-^''dx, ous donnent
f{x) ^3; = -L g— ^* dx.
Le premier membre de cette égalité, d'après le § 2, représente la probabilité que la valeur de la fraction
Vn sera comprise entre les limites
et par conséquent la valeur de la fraction
sera comprise entre les limites t et t' ; en vertu de quoi cette égalité qui s lieu pour n^oo montre que la probabilité que la valeur de la fraction
sera comprise entre deux limites quelconques t et t\ a pour limite, lorsque n augmente indéfiniment, la valeur de l'intégrale
( Dans le cas de n fini, la probabilité que la fraction
sera comprise entre les limites t et t', différera plus ou moins de sa valeur limite
,„ , e— ^' dx
Vt.
selon la valeur de n et des quantités
qui figurent dans l'égalité (2) et dont les valeurs, comme on a vu, dépendent des valeurs des espérances mathématiques des différentes puissances des quantités
Sans nous arrêter ici à la détermination de la limite supérieure de cette différence pour n assez grand, nous remarquerons seulement que d'après les formules de notre Mémoire Sur le développement des fonctions à une seule variable''-'), cette probabilité pour n quelconque sera donnée par l'expression ('
7Ï J [' -^'^» (ti)' '-l-'W - ^f. (75)' •i'' ("*-••■•] '=-"^^>
*) T. I, cip. 501-508.
dans laqueile les quantités
sont les coefficients de
dans le développement de la fonction
e suivant les puissances de s; et les fonctions
4/3(3;), 'IJa;),
sont des polynômes qui s'obtiennent par la formule
