DOTÏNÂHT DES MOUVEMENTS SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT A ON AXE
(XRADUÏ^e PAR P. 0. SOMOÏ.)
(Lu le 15 novembre 1888.)
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(npiuiomosie nt LS tomj" SanacoKi. HitnepaiopcKoS AKaKeMÎH HayKii, J^ 1, 1889 r.j
Sur le système articulé le plus simple donnant
des mouvements symétriques par rapport à
un axe.
§ 1 . Le plus simple moyen pour transformer uu mouvement plau se i en un système articulé formé d'une ligne , qui tourne autour d'un centre fixe, et d'une ligne réunie à la première par une articulation. Tous les points de la première ligne décriveut seulement des cercles concentriques, tandis que les points de l'autre ligne peuvent décrire des courbes diverses, et les trajectoires de leurs différents points se distinguent considérablement l'une de l'autre par leur forme. Par suite, quand un point de cette ligne décrit une courbe quelconque, on reçoit pour les autres points des mouvements sur des courbes différentes. Dans cette transformation du mouvement, les points de la seconde ligne, dont les distances à l'axe d'articulation avec la première ligue sont égales à la distance de cet axe au centre fixe de rotation, appellent la plus grande attention. Il est aisé de démontrer que, si un tel point décrit uue courbe symétrique par rapport à un axe passant par le centre fixe de rotation, un autre point quelconque se meut sur une ligne ayant la même propriété. On voit de là que chaque ligne
Fig. 1.
brisée ABM (fig. 1), articulée avec la droite BC\ qui tourne autour du centre fixe, fournit, lors de l'égalité
AB = BM=BC,
un moyeu pour transformer le mouvement sur une courbe symétrique par rapport à un axe passant par le centre C, en un mouvement sur une autre courbe ayant la même propriété. La forme et la position de cette dernière courbe changent avec le changement de l'angle ABM et de la position du centre Cqui, selon ce que nous avons dit plus haut, doit rester sur Taxe de symétrie de la première courbe.
En transformant ainsi le mouvement d'im point A, qui se ti'ouve à l'extrémité du rayon OA tournant autour du centre 0, nous recevons un sy-
stème articulé, dans lequel le point M décrit une ligne symétrique par rapport à un axe qui passe par le centre 0. Si la distance 00 surpasse la longueur du rayon OÂ, celui-ci est en état d'accomplir un tour complet, après quoi le point Jlf retourne à sa place primitive, ayant décrit une courbe fermée symétrique par rapport à un axe passant par le centre C.
Une telle transformation du mouvement circulaire peut présenter des applications utiles, s'il est demandé de produire un mouvement, auquel s'approche suffisamment le mouvement du point M de notre système articulé quand on donne des dimensions convenables à ses parties et des positions convenables à ses centres fixes de rotation. Toute la difficulté réside dans la détermination des unes et des autres conformément à la forme du mouvement qu'il est proposé d'obtenir. Nous nous proposons de considérer ici les cas les plus simples et qui se rencontrent le plus souvent en pratique, à savoir: quand on a en vue d'obtenir un mouvement sur une courbe, dont une partie plus ou moins considérable ne diffère pas beaucoup d'un arc de cercle ou d'une ligne droite.
§ 2. Dans le système considéré les points A, B décrivent des cercles
dont les centres soat 0, C; et comme les longueurs des ligues AB, BM et la
Fig. 3.
valeur de l'augle ^BM restent constantes, on aura les égalités suivantes:
OA = OAo, GB=CB^.
Il résulte de la dernière de ces égalités que les six lignes suivantes sont éfrales'
A,B„, Bja„, Bfi, AB, BM, BG,
car, d'après ce que nous avons dit dans le § 1, A,B, = B„U, = Bfi, AB=BU=BG.
D'où il est clair que les points A^, G, Mg se trouvent sur le cercle décrit du centre i?„, et les points A, C, M sur le cercle dont le centre est en B; ensuite, les angles AOM, ABM, A/JM^,, A^B^M^ sont liés par les égalités
2AGM-i'ABM=2it,
2A„OM„-i-A,B„M, = 2tc,
qui donnent
2ÂGM-t- ABM= 2A,GM^ -t- A^B^M^.
En remarquant que
ABM=AaB^M^,
ACM = ACM, -I- M^CM, A,GM, = AOM^ -h A,CA,
nous obtenons
