M^CM= A^GA

En nous appuyant sur cette formule et posant OAa = OA = r, OG=d, AB = BM= BG= A^B^ = BJ\Î, = 5„G == 1, ABM^A^B^M,^(à,

cherchons àprésent lalongueur du rayon vecteur CM et l'angle de son inclinaison à la ligne CM,,, qui déterminent le lieu du point M pour un angle donné de l'inclinaison du rayon OA à la ligne des centres GOA^^. Ces quantités s'expriment très simplement par l'angle ABC Aont la valeur variable sera désignée par la lettre cp et à l'aide duquel il est facile de déterminer la position correspondante du rayon OA.

Dans le triangle isocèle CBM, où

(75=1, BM=\,

nous avons

(2) GM=2 sin^,

ce qui donne, d'après l'égalité

GBM = ABM— ABC= w — ç

la formule pour le rayon vecteur CM:

CM =2 sin^'f.

Passant à la détermination de l'angle de son inclinaison à la ligne GMq, nous trouvons d'après (1)

-MCWo=^CMo,

mais du triangle ACO nous tirons

par suite, on obtient pour l'augle MGM^ la formule

Eu remarquant que le triangle isocèle AGB, où

ÂB^l, 5(7=1, ABG=rf, donne

AG=2 sin-J' et que d'après notre notation

AO = r, GO~d, nous trouvons par cette formule

4aiiiî-|--i-(P — rï cos MGM^ = —

Dana cette relation le signe de l'angle iMGM"(, reste inconnu. Il est facile

de le déterminer, en remarquant que, d'après (1), l'angle MGM^ est égal à

l'angle AGâ^; mais l'angle AGA^ a une valeur positive ou négative selon

que le point A est situé au dessus ou au dessous de la ligne des centres

GOA(,. Par conséquent, à la même valeur de l'angle cp correspondent deux

positions tant du point A que du point M; dans l'une de ces positions le

point A se trouve au dessus de la ligne des centres GOA^ et le point M à

gauche de la droite GM^, l'autre position du point A sera au dessous de la

ligne GOAg et le point M se trouve à droite de la ligne O-Bf^. Quant à la

détermination de l'angle AOAf,, étant donné l'angle ly, on aura du triangle

AOG

cos AOA —^G'-^O'-Of^.

cos AUAa — 2A0.0C

En remarquant que

^O^âsiu-I-, AO = r, OG=d,

nous déduisons de la relation précédente

cos AOA, = ^^

Comme, d'après ce qu'on a fait voir plus haut, à la même valeur de l'angle cp correspondent deux positions tant du rayon OA que du rayon vecteur GM, qui diffèrent seulement par les signes des angles AGA,, MGM,, nous voyons que le point M décrira une ligne symmétrique par rapport à l'axe GMo, pendant que le 'rayon OA se tournera d'un même angle en haut

et eu bas de !a ligne des centres COA^. Représentant par a la valeur limite de l'angle AOA^ dans le raouveraent considéré et par

les valeurs de l'angle ABC= cp, qui correspondent à

^0^0 = 0, AOA„^±oi,

nous voyons que, pendant que l'angle AGA^ varie entre 0 et a ou — a, l'angle (p passe de la valeur cpo à Çj .

Eu appliquant la formule que nous venons d'établir au cas spécial

AOAa= «, ffl = cpj,

nous trouvons l'équation suivante entre les valeurs limites des augles ACA^ etABC=<a,:

d'où il suit

sm>-J = ;-, i.

§ 3. Passant à la détermination des conditions pour que la courbe décrite par le point M entre les limites indiquées s'écarte le moins d'un arc du cercle quelconque, nous observons que cet arc, de même que la trajectoire du point M, doit être symétrique par rapport à Taxe CM^^, et pour cela son centre doit être situé sur cet axe. En supposant que ce centre se trouve en 0-^ (fig. 4), déduisons à présent la formule pour déterminer la distance du point M au centre Oj , distance, qui aurait une grandeur constante, si le point M décrivait exactement un arc du cercle autour du point 0^ .

Du triangle OfiM nous déduisons

ce qui, après la substitution des valeurs pour le rayon vecteur CM et le cos MGMq, donne:

4 aiu' ^ -4- rfî — î-2

MO^^^Ofi^-t-A sin^^!^-^— 40iC'sin'^ —

4dsm-

En désignant par U le rayon du cercle, de l'arc duquel le point M

s'écarte le moins possible pendant le mouvement du système considéré, nous trouvons pour la différence MO^^ — M^ la formule suivante:

3Î0^^— ff = 0/J^— iï^-t- 4 siu^ -■=^ — 4 O^C sin~^ ^

Occupons nous à présent de la détermination des conditions, pour que cette différence s'écarte le moins du zéro, quand l'angle ç, comme nous Tapons supposé plus haut, reste entre les limites

§ 4. En posant dans la formule déduite

sin^-|-^a;,

nous remarquons qu'elle reçoit ia forme

(4) i¥0/— iï^^ K \ji>^x -t- 1) )/^ H-i),a! H-ijJ,

où

K, Pi, Pi, Ps

sont des constantes, dout les valeurs s'expriment par r, cl, <M, O.G, R

de la manière suivante :

sin|-(<l>-r')0,C (E= — 2 -t- 2 coa eu ~ 0,02) (i — Cl

r^) OtC

On voit de la formule (4) que pour la même valeur du coefficient K la différence

UO,'— m

reste d'autant plus près de zéro, que la fonction

(fti-t- l)|/i^''-i-i>,a;-i-ft;

s'écarte moins de zéro; par suite, atiu de diminuer autant que possible la valeur limite de la différence