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pour des valeurs de ç, qui se trouvent entre ç = ?o et (p = Çi, nous devons opérer de la sorte que la fonction

s'écarte le moins possible de zéro entre x= sin^ '^, ^ = Pour cela nous appliquons à la fonction

le tliéorème concernant eu général les fonctions, qui s'écartent le moins possible de zéro, que nous avons démontré dans le Mémoire sous le titre: Sur Us questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions*). En se fondant sur ce théorème et désignant par

*) T. I, pag. 273-378.

— sosies valeurs limites de la fonctiou

entre

x=:mn^'^, rc = sin^^i

nous concluons qu'elle doit au moins quatre fois atteindre les valeurs limites — X, ~i-L, quand les valeurs de x ne sortent pas au delà des limites ic = sin^ ^, a: ^ sin^ y.

Nous allons montrer à présent, de quelle manière la fonction

iî>i 3; -H 1) y~^-t-p^x-i-ps

peut être déterminée d'après cette propriété.

§ 5. Remarquons pour cela que toutes les valeurs de œ, pour lesquelles la fonction

où l'ou a

a;<siû^Y' 3:>sin^~5

atteint les valeurs -t-L, — L sans les surpasser, doivent être égales aux racines multiples de l'équation

[iPiX-i-l)y^—^-i-p^x-i-Ps — i] ^cc — siu^^] = 0.

En effet, on voit de la forme de cette équation qu'elle est satisfaite par des valeurs de œ qui donnent:

{p,(c-i-l)y^-t-p^x-^-Ps = ~L, ou

Si cela a lieu pour x ;= sin^~ ou a; ^ sin^ Y' ^^^^^ ces valeurs, comme on voit aussi de la forme de l'équation, seront ses racines multiples. Quant aux racines de cette équation qui sont entre sin^ ^ ot sin^ ^, elles aussi ne

peuvent pas être des racines non multiples, car pour des racines simples des équations

(p^ rc -H 1 ) y i-=^ -t- i9, a; -+-Î33 -I- i = 0,

(PjX-t- 1) y -~^ -*" i\x -^ p^ — L = 0 la fonction

après avoir atteint les valeurs -t- L, — L, franchit ces limites.

On voit de cela que dans le cas considéré l'équation (8) doit avoir au moins 4 racines multiples, qui ne sortent pas hors des limites

mais cela ne peut avoir lieu que dans le cas, où l'équation a quatre racines doubles se trouvant entre les limites

o^^sin^yï a;^sin^^:

car cette équation, après avoir été réduite à la forme rationnelle, sera du gèmo ^ggj-é Deux de ces racines sont évidemment, d'après la forme de l'équation,

X = sin^ ^1 x = sin^ ^■

Quant aux deux autres racines, comme elles sont limitées par les valeurs sin^ ^, sin^ ^, elles peuvent être i

où Çj, ^3 sont des angles, qui sont enfermés entre ç^, -ç^.

§ 6. Montrons à présent, comment on peut trouver les fonctions

étant donnés les angles