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et comment trouver les angles inconnus f^, cpg.

D'après ce qu'on a remarqué plus haut sur l'équation (8), on voit que l'équation

[{2>, a;-«- 1) y ~ -+-^3 a^-H^jg-i-L] [(i), a;-t- 1 ) ]/i~ -Hiï, «-t-jjg— i] = 0

aura deux racines simples

sin^ ^, siu^ ^ et deux racines doubles

sin^^î sin^^'

Et comme cette équation se décompose en deux suivantes

qui n'ont pas de racines communes et se réduisent à des équations cubiques, chacune d'elles aura une racine simple et une racine double. Eu nous arrêtant sur l'équation

et admettant qu'elle a pour la racine simple

X = sin^ Ç et pour la racine double

ir=;sin^^,

nous remarquons que le produit des trois différences |/i^cotangf, cotang^ -Vx — V 1 — X, cotaug '^ 'V X — y 1 — X, étant égalé au zéro, donne l'équation

[j/^^— cotang^] [cotang| Vx — yi~-xj=0,

qui a aussi la racine simple siu^ y et la. racine double sin^ y. Mais cette équation dont la première partie représente une fonction de la forme

ne peut avoir trois racines communes avec l'équation

si elle n'est pas identique à la dernière, et par conséquent doit avoir lieu l'égalité suivante:

{y ~~^ — cotaog yj Icofaug ^ "/a; — V 1 — ai] . De même, nous trouvons

(l/-^ — cotaug^j (cotang^ViC — V 1 — x\ . En soustrayant ces égalités l'une de l'autre, nous recevons

I W^~r' ~ ^'^^^"^ ¥} (<="taug 5 V'x— V l—xj ! '-(l/''^~'^o'^"§^) (cûtangÇVœ— y 1— a^y.

Cette égalité, qui a lieu pour toutes les valeurs de x, donne, comme nous le verrons, des équations qui déterraineut les angles inconnus cp^, (p^.

§ 7. Eu chassant les parant hèses dans la dernière égalité et remplaçant les cotangentes par des quotients de cosinus et de sinus, nous trouvons qu'elle se réduit à

Vx(l~w)-t-—l--*-2^

D'où l'on voit que, pour qu'elle soit possible pour chaque valeur de x, il faut que l'ou ait

cosf^ça-t- -^j

Ces égalités nous serviront à déterminer les angles 9^, fOg. En divisant ces égalités l'une par l'autre, nous recevons

tang (çï-*- f ) — tang (cog-i- ^).

Et comme les angles c^^, y,, cp^, cp^ sont compris entre 0 et t., cette équation mène à une des deux conclusions suivantes: ou à l'égalité

ou à l'égalité

De plus, en remarquant que dans le dernier cas on reçoit, d'après(ll), l'équation

sin ^ sin^ ir= — sin -^ sin^ ^ 1

qui ne peut pas être satisfaite par des valeurs positives des angles Og, tpj, (pj, lyg, ne dépassant pas tc, nous concluons qu'il doit être

(12) ,p,-H|=ç.^a, et par suite les équations (1 1) nous donnent

(13) sin ^ sin^ f == «in | sin^ |-

Des deux dernières équations il est aisé de déduire des formules, qui servent à déterminer les angles 9^1 %■ Eu effet, d'après (12), nous avons

et par conséquent

sç3 = cos(ç,-H^^J^),

ce qui, après la substitution dans l'équation (13), donne

cil, ^ «ina iï = ^""'V''*' ^ „.„ il

d'où l'ou déduit, après avoir chassé les paranthèses et divisé par sin^ ^, l'équation suivante:

ains ïîLZiiL cotaag' f -t- sin ïe^ cotang | ^ -«- cos^ ^^^' = 0.

En résolvant cette équation par rapport à cotang ^ et retenant seulement la racine positive, uous trouvons

(14) cotang^

Ainsi l'angle cp^ est déterminé eu fonction des angles 90, tp^. Cet angle nous servira comme une grandeur auxiliaire pour simplifier les formules. Quant à l'angle tp^, sa valeur peut être aisément obtenu d'après (12), quand on a trouvé l'angle 93.

§ 8. Ayant les augles

?fl! ?i> Ta) ?3 on peut sans difficulté détermiucr les grandeurs

A Pl> P2< Ps^

qui entrent dans nos formules.

En posant daus l'équation (10)

ai^sin^ ^T nous trouvons

2L == [cotang ^ — cotang ~ j f cotang |? sin ^^ — cos ^ r, ce qui donne pour L la formule simple :

En remarquant que le produit

quand ou y a remplacé le cotaiigentes par les quotients de cosinus et c nus, se réduit à l'expression

nous concluons, d'après (9), que ^,, p^, p^, L out les valeurs suivantes:

r ici

La dernière égalité, après qu'on y a introduit la valeur trouvée de L, donne

»„ = — -TT—- — — cotatig^ — 2 cotaug^'

C'est ainsi que se déterminent les valeurs des coefficients

Pi> îh, P&> avec lesquelles la fonction

(^1 a: H- 1) "(/^ ■+- ^2 te H-2)3 s'écarte le moins de zéro entre

!C=:sin^^, 3; = sin^^- Eu même temps, comme nous avons vu, ies écarts de la fonction (^. œ -H 1) y^ H- l'a ^ -Hi^s de zéro ne sortent pas au delà des limites

■„ 90 — ^1 „;„i V^ — 9l ,:„ 9q — <t>t -„2 9; — Vl

et cette fonction atteint ces limites 4 fois: pour

a:=siii^Y, x — sm^"^

elle atteint ia première limite; pour

a; = sin^y, 3;^sin^^ la seconde.

§ 9. Passant à la détermination des expressions pour

telles que, d'après le § 4, la différence

Mo,^— m

se réduit à la fonction

K \{p^x-^ 1) "l/^H-i'aflîH-iJa], nous portons les valeurs trouvées des coefficients

Vi, Pi dans les équations (6), ce qui nous donne

(ds r*] OiCaia-

(d* — Î-») OiCsi

En outre, du triangle AgE^G (fig. 4), où

^o5o=l, GBa=l, A^B^C=%, aA^=GO't-OAa = d-\-r,

il vient

c?-Hr=2 sinÇ.

En résolvant cette équation simulfanément avec les deux précédentes par rapport à

r, d, Ofi,

nous trouvons

r =; sm -^ -

Ee introduisant ces valeurs dans l'équation (3), uous recevons pour la détermination de l'angle a la formule suivante:

Quant au rayon Jf?, il sera détérmiuô par l'équation (7), après qu'on y a introduit les expressions ci-dessus indiquées pour

p„ d, r, Ofi.

§ 10. Quand les valeurs de

r, d, Ofi, B,

sont ainsi déterminées, la différence

MO,'—B' se réduit à la fonction

K [()3,^-t- l)y ^^-i-Rir-i-ft],

oii, d'après (5),

par suite, selon ce qu'on a dit ci-dessus sur cette fonction, la différence

entre cp = cpo, cp = cpj ne sortira pas au delà des limites

■ ÎS.i

et atteindra la première limite, lorsque

^ ^ 0(, , 9 = cp^ , et la seconde, lorsque

ip=<pj, 0=(p3.

D'oii il est clair que, pendant le mouvement du système considéré entre les limites

le point M (fig. 5) ne s'éloigne pas du centre 0^ plus qu'à la distance M^,0^ ,

Fig. 5.

qu'il atteint pour cp = fflo, et ne s'approche de 0^ plus qu'à la distance

MjO^ , qu'il atteint, quaad <p — ^j . Par coiiséquent le point M restera entre deux circouférences concentriques décrites du centre 0, par les rayons

(17) Ba = M,0„ n^ = M,0^.

Ces rayons représenteront les grandeurs limites de la distance dupoint M au centre Op Comme, d'après ce qu'on a dit plus haut, la distance MO^ atteindra sa grandeur limite iîîo = ilf|,0,, sans la surpasser, quand

le premier cercle sera tangent à la trajectoire du point ilf en un point placé sur l'axe de symétrie CM^, où

et en deux autres points, de l'un et de l'autre côté de cet ase, où

Quant à l'autre cercle, nous remarquons, qu'il sera aussi tangent à. la trajectoire du point ilfen deux endroits, de l'un et de l'autre côté de l'axe

de symétrie, où

parce que pour cette valeur de l'angle ç la distance O^M atteint la limite B=:J/,Oj, sans la surpasser. Outre cela, sur ce cercle se trouveront les extrémités de la trajectoire du point M, où il arrive, quand cp atteint sa valeur limite cpii car pour cette valeur de ç la distance MO^ est égale à R^ = Mfi^. Quant aux rayons M^, B^, ils sont liés par une équation très simple, qui peut être aisément déduite de ce que nous avons dit sur les valeurs limites de la différence

En effet, on voit que, d'après les formules (§ 10) qui déterminent ces valeurs, entre 9 = ço 9 == tpi la plus grande valeur de la différence

et la plus petite est

- fi ,[„a fz — fi

(â*-r^O,CamY

2 3in

Çsin|.„.|

Mais, d'après ce qu

on a dit plus haut, on obtient la première valeur,

lorsque