RESUME

de la thèse sur l'intégration à l'aide des logarittimes.

Dans la théorie de l'intégration des différentielles irrationnelles, la première place appartient aux différentielles qui contiennent rationnellement la racine carrée d'une fonction rationnelle.

Si ces différentielles ne s'intègrent pas sans l'aide des logarithmes, on ne possède aucun procédé général d'intégration dans l'état actuel de l'Analyse.

Un tel procédé est indispensable pour le perfectionnement de la théorie des fonctions d'Âbel.

11 exige la solution de lacLuestion suivante: trouver des nombres entiers sous la condition que la somme de leurs produits par des quantités données (irrationnelles ou imaginaires) soit nulle, si c'est possible; dans le cas contraire, démontrer l'impossibilité.

Dans l'état actuel de la Théorie des nombres nous ne pouvons résoudre cette question que dans certains cas particuliers.

Cotte question étant résolue, l'intégration se ramène à la détermination de fonctions h, l'aide d'équations indéterminées.

La solution de ces équations par la méthode des coefficients indéterminés présente de grandes difficultés.

La solution s'obtient h l'aide des fractions continues.

Le rapport des intégrales, à i'aide desquelles Jacobi détermine les indices des fonctions inverses d'Abel et d'autres de la même espèce, peut avoir une valeur irrationnelle et réelle.

St.-Pétci-abourg, le 8 (20) mai 18-17 r

DES MAXÏMÂ ET MÏNÏMÂ DES SOMMES

COMPOSÉES DS VÂIiSURS D'UNE FONCTION EKTISRE ET DE SES DERIVEES

(ïKADuxx PAR M. ys. »:e kkawxxoï'.)

(LioEvilIe. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIII, 1 p. 9-42.)

cccmaÔAetmhtx's use anazemù utsjioû (fiyufwiiu u e^ npousêoSuitx's.

(UpHaoatenie Et XI[ louy 3anHCOK'& HuiiepaTopcKoB: AEajieMiH HayKi., J* 3, 1867 r cip. ]— 47.)

Des maxima et mlnima des sommes composées de valeurs d'une fonction entière et de ses dérivées.

§ 1 Le calcul des variations bous donne le moyen de déterminer les valeurs maxima et minima des intégrales uniquement dans le cas, où la forme des fonctions inconnues, renfermées sous le signe de l'intégration, est supposée entièrement arbitraire. Mais si, d'après la nature de la question, la forme de ces fonctions inconnues est limitée par quelques conditions, leur détermination, en vue de rendre maximum ou minimum une intégrale, ou eu général une somme quelconque de leurs valeurs, exige des procédés particuliers.

Nous nous bornerons ici à considérer le cas le plus simple de ce genre de questions; savoir, celui où la fonction inconnue est supposée entière et d'un degré déterminé, et où tous les termes de la somme pi'oposéc s'expriment au moyen de cette fonction, de ses dérivées et de la variable indépendante, et forment une fonction également entière et de forme déterminée.

Ce cas mérite une attention particulière à cause de ses applications, qui comprennent, entre autres, la solution de la question de l'interpolation parabolique d'après la méthode des moindres carrés.

§ 2. Soit

Fix, y, y\ y", )

une fonction donnée et entière de la variable indépendante x, du polynôme inconnu

y^Ai,~\-A^x-i-,...-\-AiX-i- ...~t- ^m—i ^'""~'

et de ses dérivées

UEO série de valeurs quelconques de la variable indépeiidaute x, que pour plus de simplicité nous supposerons différentes entre elles, et par

^F{x^,iJi,y!,yî\ )

la somme des valeurs de la fonction

pour ces valeurs de la variable x. La valeur de cette somme dépendra de celle des coefficieuta

^, Ji,. ... .4p. ... A^^ du polynôme

y^A^-i-A^x-i-.. . . -+- ^; 3;' -H . . . . -^Ajj^^ a;*""', et les valeura de ces coefficients qui reudrout la somme '^F{x^,y^,y:,y^',... .)

un maximum ou un minimum, d'après les principes du calcul différentiel, seront données par les équations:

d2Fixi, yi,yi',yi",..

àlF{iei,yi,yi\yi',..

d2f(3;j, yi,yi,yi",-.

dA,

d2Flf,,,„,,i',y,':..

Mais comme les quantités

n'entrent pas dans la formule

idamment des fonctions ^, y, y", . . . . , la dérivée de cette somme par rapport à Â^ s'exprimera en j

d^F{xi,yi,yi',y^',....) \>;^ àF{xi,yi,yi', yf,. . . .) dAi ^ dlf^

2dF(xi,yi,!/i',yi" ) âj/j ^ -y ^ F(a^,-, y^, y/, y/',. . . .;

] dyl

2d F(xi, yj, Vi', yj",. . . .) dyj" ^ àyf âAi ■

Or la forme de la fonction

y ^ A^-i- A-yX -\- . . . . ~t- A^x^ -t- . . . .-t-A^^^x'^~^

et de ses dérivées

y =:\ .A^-i-. . . .-h-lAiJ"^ -t-. . . .-t-(m — 1) A^^x"^~^, i/"= 1.2 A^-i- .... -^ 1(1 ~~ 1} A^x^-'-i- .... ~t~{m — l}{«î— 2)^,„,3;'"~',

nous donne

£-;=-/> g;=te,'-',i'='('-i)-/-"..-.-

En mettant ces valeurs des dérivées

âyi dy^ dyC

dAi' dAi' dAi ' ■ ■ ' ■

dans l'expression trouvée pour la dérivée

fl^F{xi,yi,yi' y/',....) dAi

et en désignant, pour abréger, les valeurs des dérivées

dF{x,y, y', y", ) dF(x,y,y\ y'\....) dF{x,y,y',y'\. . . .)

dy ' dy' ' dy" !■■■■)

pour X quelconque par

M, N, P,...., et pour x^Xf par

M^, N^, Pf, ,

nous aurons

En déterminant, à l'aide de cette formule, les valeurs de la dérivée

dAi

pour

uous verrous que les équations qui déterminent les valeurs des coefficiens du polynôme

y:^Af,-t-Aj^x-i--, . . , -I- -4,,^j a;"""',

qui rendent la somme

un maximum ou un minimum, se réduisent donc à:

i i ^^^ il '

2M,x?-t~S2N.x.-i-yi.2 P,xf> = 0,

§ 3. Faisant, pour abréger,

et désignant par

les fonctions entières qu'on obtient eu divisant les produits

M<^'(x), Nf'(x), Pq)'(3;),

par ç (x), nous remarquons que les fractions

transformées eu fractions simples, s'expriment ainsi;

mM-u-i-'s^^- ^^^^=r^y^^- ?^^=w-t-y-^^-. .-

où, d'après notre notation (u* 2)

JM,. *,, p,

désignent les valeurs de

quand on y fait x^oif, et les sommations doivent être étendues à toutes les râleurs de x, depuis x = x^ jusqu'à x = x^.

Si, à l'aide de ces formules, nous déterminons la valeur do l'expresion

9 (ar) dx rfa;^ . . . . ,

nous trouverons qu'elle se réduit à

où les termes

expriment une fonction entière. Quant à la somme

2/ Mi Ni 2 Fi \

\a: — Xi [x~ xî)^ {S! -^ Xi)3 J »

api'ès y avoir transformé les fractions

Mj Nj %Fi

x — Xi'' (x^Xif {x~xij^^ ' • • •

eu séries

Mj œfi Ml Xi Ml Xi^

Njxf 2NiCCi SNiXf''

l.i.PjXf 3.8 FjXj S.4:.PiXi^

et après y avoir réuni les termes de dénominateurs communs, elle nous donne la série suivante:

2.MiX^ 2 Mi Xi ■+■ 2 Ni Xi'> 2, MiXi^ -^ 22 NiXi-^- 2 1.2 Pj Xf"

Donc il résulte que les sommes

^MiX,''-'-i-'^{m—l)N,x,—'-i-'^(m—l){m — 2)P,x'-'-i-

sont les coefficients de

JL i- i. L

dans le développement de l'expression

9 (a) âx dx" - ■ ■ -

selon les puissauces décroissantes de la variable x. Mais nous savons, d'après le n" 2, que ces sommes forment les premiers membres des équations qui déterminent les valeurs des coefficients du polynôme

y^Âf^-^-A^x--^-. . . . -+- Â^^^ a;*""',

pour lesquels la somme

devient un masiraum ou un minimum, et nous concluons que ces équations s'obtiennent en réduisant à zéro les coefficients de

dans le développement de l'expression

V[x) dx dx^ ■ • ■ ■

suivant les puissances décroissantes de la variable x. Partant sous cette condition:

L'expression

ilftp' (œ) y (X) (p (g)

avec tme approximation poussée jusgii'aux puissances x~'"^ inclusivement, est égale à une fonction entière où M, N, P, . . . . sont, comme nous l'avons ru dans le n" 2, les dérivées partielles de la fonction F {x, y, y, y", ....), prises par rapport à y, y, y", ....

§ 4. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que les coefficients du polynôme

■ étaient entièrement arbitraires: examinons maintenant le cas où le chois de ces coefficients est limité par plusieurs équations de la forme

où

sont des fonctions entières quelconques de x, du polynôme y et de ses dérivées y, y", .... Nous supposerons d'abord que les sommes que nous venons d'écrire s'étendent aux mômes valeurs de la variable x

ainsi que la somme

'^ft,(^i,yi,yi>yî', — ),

dont on cherche la valeur maximum ou minimum.

Par les propriétés connues des maxima et minîma relatifs, les valeurs des coefficients

A, A, A,---- ^m-U qui rendent la somme

'^f^i^i^yvyivï, — )

un maximum ou un minimum sous les conditions exprimées par les équations

se déterminent en égalant à zéro les dérivées partielles prises par rapport à Ati, Al, . . . . , A^ de la somme

2^0 (^.- ' y» ' y/' yî'y ■)'*"^i2'^o ^^^ ' ^' ' ^'■'' ^'"'* ■ '^"^^aS-^ *^^'- ' ^* ' ^i' ï'/'' ■■■)+•■■ -, où les quantités \,\,.... sont des facteurs constants. Cette somme se ramène à la suivante :

qui peut être remplacée par

en supposant que

F{x,y,y\y'\...)= f^{x,y,y\ïJ\..)-^\ f^{x, y, ij , y' ...)-^\f^ix,y,y\y'' ,...)+...

Ainsi, d'après ce qui vient d'être exposé dans les d"" 2 et 3 concernant les équations

d'EF(xi,yi,yi;yt",--

dAi

d2.F{Xi,yi,yi',yi",..

nous concluons que, dans le cas actuel, les équations propres à déterminer les coefficients du polynôme

y = A^ -+- A^x -t- A^x^ -\- . . . .-t-j4jjj j3;'"~',

se réduiront à la condition trouvée à la fin du n" 3, en ne perdant pas toutefois de vue que la fonction

Fi^, y, y, y", — )

doit être remplacée par la somme

oii ïij , \, . . . , sont des facteurs inconnus constants. Cette condition nous donnera les moyens de déterminer les coefficients du polynôme

en fonction des facteurs Xj, Xg, . . . . En mettant enfin ces coefficients du polynôme y dans les équations (2), nous aurons autant d'équations qu'il y a de facteurs \,\, . . . ., d'où nous obtiendrons leurs valeurs.

§ 5. Passons maintenant au cas oii il s'agirait de rendre maximum ou minimum une somme

étendue aux valeurs

mais de façon que le chois des coefficients du polynôme

soit limité par les équations de condition

2*1^^*^' y^ y'^ti\ ) = «!>

oïl les sommes s'étendent respectivement à toutes les valeurs de x :

différentes entre elles et différentes aussi des valeurs

Pour réduire ce cas à celui que nous venons d'examiner dans le numéro précédent, nous remplacerons toutes ces sommes, étendues à différentes valeurs de la variable x, par des sommes étendues aux mêmes valeurs de la variable indépendante. Pour y parvenir, nous poserons

(x — (ïj) [x — a^) {x — fflg) . . . . = If u [x],

(x — c^) {x — c^) {x~ c^) = cpg (x),

et

<PoW<PiWt,W' •■■ = <?(»:) = {x—a^)(x — a^)(x — a^)..,,{x — \){x~b^)(x — \).,..(x — c^)(x — c^) (x — Cg)

Puis nous déterminerons des fonctions entières

S„ S\, S,,...., T„ T„ T„...., de manière à ce qu'elles satisfassent aux équations

( f'ix) S, = ^(x) T,-ht;(x) fjx) %(x)

f'W S, — <f{x) î;-t-tp,'(a;) <p,(i) 9,(1)

9(1) «1 = 9(3!) î;-4-9/(ai) f,{x) 9,(2!) ,

Ces équations auront toujours uue solution, car, par hypothèse, les racines de l'équation '^{x) = 0, égales k a^, o^, , . . ., 6,, &j, . . . . , c,, Cg , . . . . , diffèrent toutes entre elles; donc la fonction 9 (x) n'aura pas de facteur commun avec sa dérivée 9'(a:). Il sera aisé do montrer, à l'aide de ces équations (3), que les sommes

y^S^%ix,^,?/', /,....), ^S,^^{x,y,y\y",...\ '^8^^^{x,y, y, y",. ...),....,

étendues à toutes les valeurs de

x = a^, a^, a^,. . . . , fc,, b^, l>^.... . , Cj, t'g, Cg,. . . . ,

se réduiroût: à la s

étendue uniquement aux valeurs de x ^= a,, a^, a^, . . . . ; k la, somme

Va-iCa;, y, y\ y", ),

étendue uniquement aux valeurs de ^ = ô,, 63, &3, .... : à la somme

étendue uuiquement aux valeurs de œ^Cj, Cj, Cg, . . . ., et ainsi de suite. Pour le faire voir à l'égard de la somme

nous remarquons que, d'après l'équation

^'{x) So = 9{^) yo^-W(^) 91(3;) 9A^)

et d'après la manière dont les fonctioiis

9(^1 %i^), <Pi(^): ?2(^X ■ ■ • -,

sont formées, la fonction S^ deviendra zéro pour x = bj, h^, b^, . . . ., "n ('ai ^3) ■ ■ • ■ ; c'est-à-dire pour les racines comrauues aux équations

car, pour ces valeurs de la variable œ, la dérivée 9' (a;) ne pourra pas devenir zéro, n'ayant pas, comme nous venons de le dire, de facteur commun avec (f(x).

D'un autre côté, pour

x=aj, «g, fflg, . . . . , racines communes aux équations

<^(x) = 0,%ix)^0, nous voyons que la dérivée

= 9o'(ic) 9i{3;) ?3(a^)....H- 9i'{3;) %{x) %{x).... -+- <^^{x) if,(a;) ^.(a;)....-»- ... se réduit au produit

et par conséquent, en vertu de l'équation

<p'(3:)S'a=tp{a;jro-^-9«'(3^)9i(^)9a(^) ■ • ■ -, pour ces valeurs de rc, ou bien pour a; = Oj , «^ , «g , . , . . , on aura

— u — D'où il est évident que la somme

2-50*0 (a', 2/, ï/', y, •■■■), étendue à toutes les valeurs de la variable x,

«; = 0j, flg, «3, . . . ., fcj, Z»2, &3, ■ . ■ -, Cj, Cgj Cg, . se réduit à la somme

étendue uuiquomeut aux valeurs de

Nous trouverons de même que les sommes

étendues aux valeurs de la variable a;,

a; = ffj, «3, flg, ....,&,, &g, ig, ...,, Cj, Cj, Cg, . Se réduisent à la somme

étendue seulement aux valeurs de

à la somme

étendue seulement aux valeurs de

:r = c,, Cj, Cg, . . . . , et ainsi de suite.

En remplaçant, d'après ce qui vient d'être dit, les sommes

'^S^^ix, p, y, y", ....), 2'S'i'ï'i(a^, î/, y, y", .■■■),

éteudues chacune à des valeurs différentes de la variable x, par les sommes étendues aux mêmes valeurs de la variable x données par l'équation

9(rc) = 0,

nous concluons que dans ce cas les coefficients du polynôme

se détermineront par la méthode indiquée dans le numéro précédent, quand ou remplacera dans les formules de ce numéro les fonctions

j^(«, y^ y\ y", ■■■■), fS^^ y, y\ y", ■■•■), 4(^' y^ y'^ y",. . ..),... .

par les produits

-Sq *û {^, 2/> y\ y", ■■■■), 6', 'l\ {X, y, y, y", ....), S^ % (x, y, y, y", ....),....

et par conséquent ils se détermineront par la condition établie à la fin du n" 3 si l'on y pose

F{x,y,y',y\....) = S^^Jx,y,y',y\....)-\-\8,^^{x,y,y',y",....)

H- Xg Sg (tg (iT, Î/, y , Î/", . . . . ) -^- . • ■ . ,

où \, Xg, . . . ., sont des facteurs constants, mais inconnus.

En déterminant, pour cette forme de la fonction F [y, y, y, y\ ....), la valeur des dérivées

dF{cc,y,y',y",....)

dF{x,y, y\y",....)

dF{x,y,y',y'\ )

et en désignant les dérivées partielles des fonctions

prises par rapport à

par

Donc l'expression (1), qui d'après le u" 3, doit être égale, pour la valeur cherchée du polynôme

à uue fonction entière, avec une approximation poussée jusqu'à la puissance x~^ inclusivement, s'exprimera ainsi:

ce

9 (je)

Mais les équations (3), qui servent à déterminer les fonctions S^, S^, 5^, . . . ., nous donnent

■pW — -"«^

En remplaçant, dans les seconds membres de ces équations, <^{x) parie produit

nous aurons

9 (a:) « tpo (a

le les fonctions

ne diffèrent entre elles que par des parties entières. Donc, si dans l'expression (4) nous mettons ces dernières fonctions à la place des premières, nous ne changerons que la partie entière de cette expression; quant au degré d'exactitude avec lequel cette formule représente une fonction, il restera le même, et par conséquent elle pourra toujours servir à déterminer le polj'uôme

En exécutant cette substitution nous obtenons l'expression suivante :

tte^

Cette expression, d'après ce qui vient d'être exposé, doit se réduire à une fonction entière, qui la représentera exactement jusqu'à la puissance — m de la variable x inclusivement, toutes les fois que le polynôme

y = Afj-i- A^x -+- A^x^ -i- . . . ■-»-^„,i **""'; aura des coefficients voulus pour que la somme

devienue uu maximum ou un minimum, sous les conditions

Nous sommes parvenus à cette conclusion en supposant que les séries

ne contenaieiit pas des termes égaux entre eux; mais, par la méthode des limites, il nous serait aisé de l'appliquer aussi au cas où ces séries auraient des termes communs,

§ 6. Nous avons établi, dans ce qui précède, la condition qui sert à déterminer la valeur du polynôme d'un degré donné y, qui rend la somme

un maximum ou uu minimum, et nous n'avons fait que deux hypothèses concernant les coefficients de ce polynôme. D'après l'une, leurs valeurs étaient supposées arbitraires, et d'après l'autre, elles devaient satisfaire aux équations

Dans ce dernier cas, la condition qui sert à déterminer le polynôme cherché contient des constantes inconnues \,\, . . . .^ dont les valeurs se trouvent par les mêmes équations de condition auxquelles doit satisfaire le polynôme y, et qui sont en nombre égal à celui des inconnues \,\, . . . ,

La détermination du polynôme ï/, limité par la condition de rendre la somme

uu maximum ou un minimum, a de l'analogie avec la solution des questions semblables dans le calcul des Tariations. Dans le cas particulier, quand cette somme se réduit à une intégrale, le polynôme y, déterminé comme il vient

d'être dit, peut être considéré comme une valeur approchée de la fouctiou qu'on obtient à l'aide de la méthode des variations. Mais dans le calcul des variations la fonction cherchée, étant déterminée par une équation différentielle, s'obtient en l'intégrant par les méthodes connues, taudis que, dans le cas que nous examinons, la détermination du polynôme y exige des procédés spéciaux, car elle se réduit à une condition qui ne se laisse pas expiimer par des équations de formes connues.

Pour montrer comment des polynômes peuvent être déterminés à l'aide de ces conditions, examinons le cas très-simple où les fonctions

*i{a:, y, y, y", — }, ^aCic, y, y\y'\ — ),

ne contiennent y qu'à une puissance qui ne dépasse pas la seconde, ses dérivées

à une puissance qui ne dépasse pas l'unité, et avec des coefficients qui ne dépendent que de la variable x.

Dans ce cas les dérivées

j^ __ ^^oi'x, y, i/\ !/",■■■■) jyr __. d'i>i(a;,y,î/',/',..-.)

ne contiendront pas y, y", .... , et y ne s'y trouvera qu'à la première puissance. Quaut aux dérivées

j^ <i^o(3^,y,y',j;",....) ° dy' '

rf*,

âi\

fe

elles ne contiendront pas du tout î/, y', y\ .... Partant l'expression

1 Ji ».' W

dx

ix'

qui d'après le n" 5, moyennaut le polynôme cherché

doit devenir égale à une fonction entière jusqu'au terme en rc^*" inclusivement près, se réduira au binôme

dans lequel îi et v sont fonctions de la seule variable indépendante x. Ainsi, dans ce cas, la recherche du polynôme

assujetti à la condition de rendre la somme

on maximum ou un minimum, se réduit à la détermination d'un polynôme y, de degré m — 1, tel que le binôme wj — v, jusqu'au terme en ic~™ inclusivement près, soit une fonction entière. Nous allons montrer que les polynômes qui jouissent de cette propriété s'obtiennent facilement à l'aide de la série que j'ai publiée dans mon Mémoire intitulé; Développement des fonctions en séries à l'aide des fractions contimies *).

§ 7. Nous avons établi dans ce Mémoire, qu'en développant une fonction quelconque u en fraction continue

So->-

désignant, de plus, par

^2 Ps

fractions réduites, par