B„ II

les différences

et par

*) T, I, pages 617—636.

les fonctions entières qu'on obtient à l'aide de la formule % = (— 1)""' E î„ («„ V — E Q„ V), nous aurons pour développer la fonction v d'après les valeurs

la série que voici

(6) t) = rj y -I- «j E, H- «g jÇg -I- Ug iïg -f- . . . .

où hj désigne la partie entière de la fonction, et oii l'on admet que m et « sont des fonctions développablea suivant les puissances entières et décroissantes de la variable a:.

Pour déterminer, à l'aide de cette série, le polynôme

y ^ Aq-i- A^x -i~ A^x^ -+- . . . .-^A^^^x^~^,

au moyeu duquel la différence

Il y — w,

est réductible à une fontion entière, exactement jusqu'aux termes en x^"* inclusivement, désignons par

le dernier dénominateur des fractions convergentes

Çi ' «2 ' "Ça ' '

dont le degré soit inférieur à m, et par

F^, F^^, F„ Fj,

les quotients et les restes obtenus par la division du polynôme y par Q , du premier reste r par Ç„j, du second reste par Q,^^, et ainsi de suite.

En égalant les dividendes aux produits des quotients par diveseurs ajoutés aux restes, nous obtenons une suite d'équations

En éliminant des équations les restes

et eu observant que le dernier reste r^, qu'on obtient par la division de l'avant-deruier reste par Qi = l est zéro, nous sommes conduits à l'espressiou de î/ que voici

Maia comme notre polynôme ciicrché

y = AQ-i-AjX--t-A^x^~t-. . . .■+- ^,„, a;'""' ,

ne sera jamais d'un degré supérieur km — 1, ii est évident que la fonction F , qui s'obtient par la division de y par Q^, ue pourra pas être d'uu degré plus élevé que celui de

et par conséquent son degré sera inférieur à celui du quotient

Q^ ' car, par hypothèse, Ç„^., est d'un degré supérieur à m — 1. Quant aux fonctions

leurs degrés serout inférieurs à ceux des quotients

car elles résultent de la division des restes

par

et ces restes eux-mêmes obtenus pai' la division de y par

et ainsi de suite, seront nécessairement de degrés inférieurs à ceux de

Q,„ 0„-„ Qi, «.-

Pour déterminer les facteurs

F^, i?'j^,, , F^, Fj

dans le développement de y par la formule

(6) !,=p^e^-t-F^,e^,-H....-t-E,ô,-HF,e„

nous observons que le binôme

uy — V,

devient, en y substituant pour y sa dernière valeur, et en y exprimant v par la formule (5),

d'où, en y remplaçant

par leurs valeurs déduites des égalités

\ = Qr.«-F^, «„~, = Q„--,u-p^^ ,

nous obtenons la formule que voici

uy-v=~'Ev^F,P,-^-F,P,-^. .... ^F„,P,.^,-^F^P^ -.-(-P,-»,) B,-i-{F,^u,) n,-t- H-

En examinant cette nouvelle expression de la différence

nous voyous que ses termes

forment une fonction entière, et que les autres, comme il est aisé de le voir, sont tous de puissances négatives qui vont en décroissant. En effet, conformément à notre notation,

i!; = 0,îi — P,, B,= Q,u—P, , a^, = «,,, 11 — P„^,,

et ces restes, d'après les propriétés des fractions réduites, sont de degrés égaux à ceux des fractions

En rapprochant ces considérations de ce qui a été dit, dans le numéro

précédent, sur les fonctions

et, dans le Mémoire cité, sur les fonctions

il devient évident que daus les derniers ternaes de la formule

{F, — Oi) B^ -+- (Fa — Ojj) Ba -I- -+- {F^^ — m^,) F<y^^

les facteurs de

seront des fonctions entières de degrés inférieurs à ceux de

Ç2 Qi Ç|^ Q^-^ V«

Donc le premier de ces termes {F^ — o,) B^ sera d'un degré inférieur ''' -^ TT ^ TT et ne sera pas inférieur à ^^ ; le second terme (F. — tj„) B, sera d'un degré inférieur à -^ 7^ = 77- et ne sera pas inférieur à 77-, .... ;

V2 Va Vï „ , Va

sera d'un degré inférieur à

9ii^ .

D'où il résulte que dans l'expression ci-dessus trouvée pour le binôme

uy — V

la partie fractionnaire sera exprimée par la série

(F^ ~~ Oj) i^^ ^ (iT — 03) iï, -)- -H (F^^ — (ù^;) B^^ -t-

(K-'^JK-'^.^.K^.- ;

où les puissances des membres vont eu décroissant. Donc le degré d'exactitude avec lequel notre binôme se réduit à une fonction entière sera déterminé par le degré du premier de ses termes qui ne devient pas zéro.

A l'aide de ce résultat, il nous sera aisé de trouver les valeurs des fonctions