y-r=Zd

à laquelle doivent satisfaire les valeurs de r, d, pour que le système considéré, étant composé de trois droites, pût donner un mouvement assez proche du mouvement rectiligne entre les limites plus ou moins larges. Comme le centre Oj pour

s'éloigne à oo, les arcs des cercles concentriques, entre lesquels, d'après § 10, restera le point M dans sou mouvement, deviennent des droites pa-

rallèles, perpeDdiculaires à l'axe de symétrie Cili^ et doat la distance mutuelle est égale à la grandeur tiroite de

Bg B^

potir

CO, = oo.

En déterminant cette limite au moyen de l'équation (18) et remarquant (fig. 5) que le rapport

OiÇ OiC 0,0

Ma ~~ MaO^ ~ OiG - CM„

pour

0,0 =oo

se réduit à 1 , nous trouvons que cette limite est égale à

Isinî^

Donc, représentant par D la distance mutuelle des parallèles, entre lesquelles est enfermée la trajectoire du point M dans le cas considéré, nous trouvons pour I) la formule:

qui, après qu'on y a introduit les valeurs de w, ^3, r, d ci-dessus indiquées, devient

Quant à l'angle a, nous recevons de l'équation (21), en y mettant g- au lieu de fa -h y, l'expression

(25) sins-|= — ? — ^.

§ 12, Les formules trouvées contiennent outre l'angle cp^, qu'on su] pose donné, encore l'angle cpi , qui doit être trouvé.

Afin de déterminer cet angle nous déduisons des égalités (22), (12)

ce qui donne

1 3in & 1 gin ?i ^'" T— 2^~ 2 ' ^^"^ "2"— 2 — 2 '

Eu portant ces valeurs de

dans la formule (13), nous recevons l'équation

sinf(l siB|) = sm|(l-sina), d'où il suit

sin^ = l~sinf-

En nous fondant sur cette égalité et sur l'équatiou (23), qui donne

nous trouvons

mais d'après les égalités

nous recerons

cos| = |"|/a— r)(2-i-r), cos | = iy'(5 — 2r) (1 -i- 2r),

cos»i.=l— 2 sirf%='

D'après ces égalités et d'après les équatious (26), qui donnent l-sinS^=2i=i, l-i-Ein5 = 2Î^', sin| = 2^-',

nous pouvons représenter la formule (24) comme il suit:

"(2-K.).in:

-fo-*-2f.

OÙ le numérateur ne contient pas les angles cp^j Çi- Afin de les éliminer du dénominateur, nous remarquons que

siQÎo^. sin.iLZl^|±^=,lsinî^ [l-cos"-'^°-'^^]

= 1 [sinf-sin^f-H2sin''|] cosf -i-| [l -^-siuf] sinÇ cosf ;

d'où, après avoir porté les valeurs ci-dessus trouvées de

siu^, sm^, cos^, cos-|nous déduisons

^27^ [)/ (5 — 2rf (1 -H 2r) H^ 4 |/(2^r)«(l— r)]; par suite, l'expression précédente de D se réduit à la formule

(2 -I- r) [V^5-2T)^{l-^-2r)-^- 4 V(2^r}Hl-r)]

On détermine ainsi la distance mutuelle des deux parallèles, entre lesquelles reste le point M pendant le mouvement du système considéré, quand l'angle cp ne sort au delà des limites cp = (p^, <:p ^ ç^. Dans ce cas, comme nous l'avons vu, la valeur limite de l'angle A^OA se déduit de l'équation (25). En y introduisant les valeurs ci-dessus indiquées de

et ayant égard à ce que, d'après (26),

bin 2 — 3 !

nous trouvons l'équation suivante pour l'angle a, la valeur limite de l'ang! A^OA:

On eu voit que dans le système considéré le rayon r doit surpasser Y^ et qu'à mesure que r s'approche de y^, la valeur de l'angle de rotation du rayon OA, pour laquelle le point M reste entre les parallèles ci-dessus indiquées, décroit. De plus, comme on voit de la formule, qui détermine la distance D, ces parallèles se rapprochent rapidement, et par suite les déviations limites du point M de la ligne droite décroissent aussi rapidement.

§ 13. Passant à la supposition

nous remarquons que pour cette valeur de a. les positions limites du rayon ÂO de !'uu et de l'autre côté de la ligne des centres COAa coïncident avec cette dernière (fig. 6) ligue, et par conséquent les positions limites du point M sur chaque côté de l'ase de symétrie GM^ doivent coïncider sur cette axe. Comme, d'après le § 10, les extrémités de la trajectoire du point M

Fig. 6.

se trouvent sur le cercle décrit du centre 0^ par le rayon R^ = Mfi^, leur coïncidence doit se faire sur ce cercle et en ce point le cercle sera tangent à la trajectoire. A cause de cela et tenant compte de ce qu'on a dit en général sur la trajectoire dans le § 10, nous concluons que dans le cas particulier, quand

le point M décrira une courbe fermée, restant entre deux cercles concentri-

ques décrits du centre 0^ par les rayons Bi=M^Oj, Mf,=Mf,Oj; d'ailleurs on aura sur chacun d'eux trois points de tangence: «n point sur l'axe de symétrie MOo et deux points de l'un et de l'autre côté de cet axe. Il est facile de voir que cette courbe ne peut s'éloigner du cercle décrit du centre Oj par le rayon ~~^ ■■'■ plus qu'à la distance ■ °~ % et sera par conséquent peu distincte de ce cercle, si °~--' diffère assez peu de zéro. Pour appliquer à ce cas les formules déduites dans le § 11,

Pour cette valeur de a l'équation (21) donne

d'où il suit

[ain» ^ sin ^^^ sin ?^] sin^ (ç, -h |) = sin* 5

En y mettant au lieu de

sin ?4^ sin ^' la différence

sin^ Y — ^"^^ ^ on reçoit l'équation

sin''|-siu^(93H-f) = sin^f,

qui donne l'une des deux relations: ou

Cette dernière égalité donne, d'après (19),

et alors le rayon r ne peut pas accomplir un tour complet autour du centre O; on doit donc admettre la première égalité;

en remarquant que, d'après (12) et (13),

■ Il ■ V

on reçoit l'équation

En s'appuyant sur les deux dernières égalités, ou peut trouver sans peine une formule pour déterminer l'angle

(29) 6l = î,-*^|=.p. + f d'après l'angle

(30) ^.= -!oil!,

au moyeu duquel, comme uous le verrons, on reçoit des expressions très simples de toutes les grandeurs qui se présentent dans le cas considéré.

En effet, les équations (27), (28), après qu'on y a introduit Û au lieu de

et

au lieu de ©a, 93, douneut

(siulsiD fl=sirf(-î- — t)'

Ism|sm«=sm'(|-a).

En soustrayant ces égalités l'une de l'autre, uous trouvons (siu I — siu I) sin û = siu^ {y-t}- s*"^' (t ~ t)' ce qui se réduit à

(siu ^ — si"^) sin (^ = (cos y — •^"s^J cos â. Il s'ensuit de là que tang â =

où n est un nombre entier. Pour déterminer ce nombre remarquons que, si îo' 9u ?3i îs ^™* positives et ne surpassent -k, l'angle

est compris entre 0 et -|^ , et l'angle entre 0 et -^ ; par conséquent la somme

doit être comprise entre 0 et 2i<: et dans l'égalité déduite le nombre n ne peut avoir d'antre valeur que celle-ci

n=l; donc

ce qui se réduit, d'après (30), à l'égalité

En revenant aux équations (31), divisons les l'une par l'autre, après y avoir remplacé

par

Nous trouvons ainsi

d'oii il vient

sin ^ — sin -^ = cos (â — f) sin y — cos (â — ^) si ==T [siii(É^ — T,)~Bin((9 — cpj],

sin -

ce qui doune

cos Ml = cos {â - ^') cos ^' .

Et comme, d'après (30) et (32),

cette égalité se ramène à la suivante:

sin <\/ = siu S'\> . cos '^""T"'^' >

d'où nous trouvons

( cos^^^^^-^, (33) ^

1 sin 'PP-^' — l/ i ^'"■"'^ — S'" aj- ^2 cog 2.];

[Sin ^ —y ^ aia^S^— sin 34-

§ 14. Afin de déterminer les valeurs de

r, d, Ofi

remarquons que dans le cas considéré en vertu de l'égalité (27), les i tiens (19), (20) donnent,

r = sin ^ — siu -^ =; 2 cos

fo-^fi t

^ = siu I -^ sin I = 2 cos 22^ sin ''-^ , CO^ = — (sin 5 -+- sin |) tang ^ = — 2 cos ^^ sin ^^ tang 0; d'oij, après avoir introduit les valeurs ci-dessus trouvées de ^, ?i^i, cosfc^', sin*^^,

il résulte

2 dn'l' aina-J/Va coa 2ji , __ sin 24- ^-^ 2 eo£ ii>

sin 341 ' sin 3't' ' 1 ain S^J-

La dernière formule détermine la position du centre 0, des deux cercles conceutriques, entre lesquels est enfermée la trajectoire du point M. Les rayons iï^, R^ de ces cercles ont, d'après le § 10, les valeurs suivantes

En remarquant que dans le cas actuel (fig. 6)

0^M„ = CO, — CM^, f\M^ = CM, — 00„ nous déduisons de ces égalités

ce qui nous donne

Eu y introduisant la valeur de CO; ci-dessus indiquée et remarquant que les triangles OB^^M^^, CB^M^, dans lesquels

CB, = B,Mo = GB, = B^M^ = 1,

CB,Mç,= ^~A^BaG=T.— <f„, GB,M, = %—A^B,G=Tz — ff^, donnent

GM^ = 2 cos I , CM, = 2 cos |- , nous recevons

^^. = cos|-cos|=2 sinî^:^ sin?^,

2 ~iirs4; — '^'^^ "2 "^"^^ ¥ — iuh — 4 i

Après qu'on y a introduit les valeurs de

ces formules se ramènent aux suivantes:

Bq-i-Mi 2 C03 4i ain 2i|j V2 cob 2^ Bp — i^t 2 cos 2^;^ ,

2 iïûtî ' 2 sin 3* '

d'où l'on voit que l'angle | ne doit surpasser ~, et que les valeurs de

iJQ — i?!

ainsi que de

diminuent, à mesure que l'angle ij' s'approche de -|-.

D'ailleurs la première grandeur s'approche du zéro beaucoup plus vite que la seconde; donc, à mesure que 4^ s'approche en croissant de—, le rapport de la première grandeur à la seconde tend au zéro; à cause de cela la trajectoire de M, pour des valeurs de '^i assez proches de ■—-, représente une courbe, qui diffère peu du cercle. À mesure que l'angle 4' devient plus petit, le rapport

augmente, et îa trajectoire du point M se modifie, passant d'une courbe, qui est peu distincte d'un cercle, à une courbe cordiforme (fig. 7).

§ 15. Nous avons montré dans les derniers §§ quelques applications des fonnules générales aux cas particuliers, quand la ligne brisée ABM devient une droite. Occupons-nous à présent de l'application de ces formules aux différents cas, où la ligne ABM reste une ligne brisée, et commençons par supposer que

ce qui a lieu, d'après (15), lorsque

Après avoir introduit cette valeur de u { nous trouvons

i les formules (15), (16),

où Çj est un angle auxiliaire, qui peut être exprimé en fonction des angles cpo, Çi par les équations déduites dans le § 7. Supposant en particulier

portons cette valeur de a dans la formule (36), ce qui nous donne

Cette équation est identique à celle que nous avons trouvée dans le § 1 3 pour le cas w = tu, et au moyen de laquelle noua avons déduit des formules générales les relations

sin|sin(9,-Hf) = sin^|, ^ = ç^-^.^ = |-H^,

''"^ i 3in 3J. ' Sm ^^ ^^^ ,

OÙ

nous concluons donc que ces égalités auront lieu aussi dans le cas actuel. En vertu de ces égalités ou reçoit, d'après les équations (34), (35):

les positions limites du rayon OA, lorsqu'il tourne dans l'une et l'autre direction, coïncident, sur la ligue du centre OC (fig. 8), et par conséquent les extrémités de la trajectoire du point M coïncident à présent, de même que dans le cas précédent, sur l'axe de symétrie GM^, et cette trajectoire représente uue courbe fermée. Il est clair, de cequ'on amontré dans le § 10, que cette courbe est limitée par deux droites parallèles, provenant, d'après l'égalité

G'Oi = co,

des arcs circulaires décrites du centre Oj par les rayent R„, B^, et que chacune de ces parallèles est tangente à la trajectoire du point M en trois points: sur l'axe de symétrie OMt^ et de chaque côté de cet axe. Cette courbe est d'autant moins dilïérente d'une droite, quelesparailèles, entre lesquelles

elle est enfermée, sont plus proches l'une de l'autre. Pour déterminer leur

distance mutuelle, remarquons qu'elle est égale à la distance des points M^,

M^ de l'intersection des parallèles avec l'axe de symétrie CM^, où ces parallèles sont tangentes à la trajectoire considérée. Des triangles isocèles GBoM^, CB^M^, où

CEo = 5oM„ = GB^ ^ B,Mj = 1 , GB^M^ = 0) A^B„G=^ w — cpo, GB^M^ = w — A^Bfi = co — <pj , ou a (37) GM„ ^ 2 siû ^^ , GM, = 2 sin '^^■,

donc la distance des points M(,M^ se détermine par la formule ifo>ii = GM, — CiM"o=2 sin !^^~2 sin ^^^,

qui se réduit à

M,M, = 4 cos (I- —52^) sin ^ ;

d'où, après qu'on y a introduit les valeurs ci-

On voit de cette formule que l'aagie 4* ne doit surpasser -^ et qu'à mesure qu'il s'approche de -^, la distance mutuelle des parallèles, entre lesquelles s'accomplit le mouvement du point M, quand le rayon ÂO tourne autour du centre O, diminue ; à cause de cela, le point M, quand <]> est assez proche de ~, s'écarte peu de la droite, qui se trouve entre les parallèles à la même distance de chacune d'elles.

§ 16. En parlant du cas, où le rayon AO accomplit un tour complet autour du centre 0, nous avons fait des suppositions particulières concernant l'angle entre les deux parties de la ligne brisée ABC, ou la distance des centres C, 0^. Nous allons montrer maintenant l'application à ce cas des formules générales, en ne faisant aucune hypothèse spéciale. Les équations qu'on reçoit ici seront plus compliquées que les précédentes; mais elles se présenteront sous une forme, qui est commode pour le calcul.

Afin d'appliquer les formules déduites dans le § 9 au cas, où le rayon AO accomplit un tour complet autour du centre O, posons

Pour cette valeur de a l'équation (16) donne

En déterminant d'après cette équation la valeur de nous trouvons

Et comme, d'après (1 5), pour une valeur pégative d(

il Tient

ce qui empêche au rayon r d'accomplir un tour complet, nous conservons dans l'égalité obtenue seulement le signe -h et prenons

En introduisaut cette valeur de siu f w nous trouvons

- sin ^ = 2 sii

l'équation (15),

(i = smîf-

iï = 2s

Ofl--= 2 -

où cp^ est un angle auxiliaire, dont la valeur peut être déterminée d'après les angles «o, Çj par les équations données dans le § 7, tandis que l'angle (0 se détermine par l'équation (38). Et comme pour l'angle w toutes les valeurs entre 0 et Stc sont possibles, oii reçoit d'aprèscette équation deux valeurs de w, dont l'une donne

tandis que l'autre fournit

Pour ces deux valeurs de w on obtient deux systèmes, dans 1 trajectoire du point M reste entre deux cercles concentriques décrits du centre 0^ et tangents à la trajectoire en trois points. Mais ces trajectoires représentent des courbes de forme différente, selon que

cos(to — 9j — Ç)< 0, ou

cos(»-ç,-|)>0.

La diversité de forme de ces courbes apparaît clairement, quand on détermine la position du centre 0^ par rapport aux points de leur intersection avec l'axe de symétrie (JMs,.

§ 17. Pour évaluer la différence

qui détermine la position du centre 0^ par rapport au point M„ (fig. 9), nous Fig 0.

déduisons du triangle isocèle CZyifo, où

CB,M, — A,B,M„—A„Bfi— w — ?„ Oilf, = 2sinï^«.

Cette égalité jointe à la valeur de (70, donne, d'après (39):

la formule

co, — caf,=-

- — 2 sin -

Pour simplifier cette formule, remarquons que

2 sin ï^« sin (?>-!-? — y) = "î* (" — ?2— ?•) — "" îs

= cos(u — tp, — ^) cos Ç -H sin (o) — <p, — f ] sin* — cos cp,

2 sin 'îii* cos î!!^=:sin f H-sin J;

ce qui la réduit à la forme:

co, — caf,=-

d'où, remplaçant, d'après (38),

nous trouvons

sin^ ^ -t- C08 9

Ofi— CM, =

et 6

(40) Ofi— OU, — -

De la même manière nous trouvons