CO,, CM^, CM
nous receTons d'après (37), (39)
o ,[n ^Û + fl ,,„, '?0-'Pl ,i
-sm — ^ — sin -
i = sm — T-^ — sm -
ce qui se réduit aux formules suivautes:
Nous les avons trouvées en supposant que les points M^, M^ sont situés plus bas que le centre O^ . Dans l'hypothèse contraire, nous recevons les mêmes formules, mais accompagnées du signe — . Donc, pour embrasser les deux cas, prenons les formules avec le double signe zt. Dans les formules
^tfS = ± 2 sin îlfîl cos (S- - filii!),
ainsi obtenues il faut garder l'un ou l'autre signe, ce qui se détermine par la condition que la demi-somme
ne peut pas être négative.
Passant au cas
cos((o-9,-Ç)>0,
quand, d'après le § 17, le centre Oj est situé entre les points M^, M^, et supposant (fig. 9) que le point M^ est au-dessous du point M,^, nous trouvons
0,Mo = 00^ — GM^ , O^M^ = CMi ~ CO^ , et par suite, d'après le § 10, nous aurons
M^ = GO, ~ CM, , S, = GM^ — CO^ , ce qui donne
Bp-i-S, CM, - C3Ig ^0 — El ^^ CMo-t-CM,
Si nous comparons ces égalités avec celles que nous avons reçues pour le cas
cos(,.-T,-f)<0, nous remarquons qu'ici on a pour la demi-somme
la même expression, qu'on a trouvée plus haut pour la demi -différence
et vice-versâ. Donc, en appliquant les formules ci-dessus trouvées au cas considéré, nous aurons
Ces formules concernent le cas, où le point M^ est situé au-dessus du point Mç^. Pour la position inverse des points M^, M^ on reçoit les mêmes formules, mais avec le signe — ; et par suite uous aurons en général
^:î:^ = ±2sin ïi=i^ cos f^ — ^^liil
où il faut retenir celui de deux signes ±, qui donne pour
une valeur positive.
Les formules déduites contieunent, comme cas particuliers, les formules que nous avons trouvées dans les §§ 13 et 14, en supposant que l'angle ABG est égal aux deux angles droits, et dans le § 1 5, où nous avons supposé que la distance O^G est infinie. Les premières de ces formules proviennent des formules générales, qui ont lieu pour
cos(«.-cp,-f)>0,
et les autres dérivent des formules obtenues dans le cas
cos(a, — 9^~-f)<0.
On retrouve les premières formules pour
et les secondes pour
Nous avons vu que dans ces cas particuliers la trajectoire du point M présente deux formes différentes (fig. 6, 8). Dans le cas général on obtient aussi des trajectoires de deux formes différentes, selon le signe de cos(<.-ç,-f). Si
cos (oi ~ ^, — I) > 0,
la trajectoire a la forme de la courbe, dont uous avons parlé dans les §§13 et 14. Mais si
cos (<o — ç, - f ) < 0,
la trajectoire sera une courbe semblable à celle, dont nous avons parlé dans le § 15, mais avec cette différence, qu'ici (flg. 10) les droites parallèles
sout remplacées par des arcs des cercles conceutriques, décrits du centre Oj avec les rayons Rg, i?,.
§ 19. Dans les §§ précédents nous avons considéré le cas, quand l'angle ÂtfiA varie entre les limites les plus larges, passant de — tc à -+- tî.
Occupons nous à présent du cas contraire, en supposant que l'angle A^OA reste eutre les limites infiniment proches de zéro. Supposons pour cela que a, la valeur limite de l'angle Â^pA, reste infiniment petite. On voit de l'équation (16) que pour une valeur infiniment petite de a la dififérence
est aussi infiniment petite; donc, en négligeant les grandeurs infiniraent petites devant les grandeurs finies, noua aurons dans le cas considéré
et par suite
parce que, d'après le § 5, l'angle ç^ ^^^^ ^tre compris entre les angles cp^, tpj. Substituant ces valeurs de cp^, cp^ dans les équations (15), nous recevons pour r, (î, CO, les formules suivantes:
2 m Si c».
G'Oj= —
.in /ïîS il^
Si nous remarquons que pour ces valeurs de ç^, tp^ il vient
!.m" »-»,f -sin<= sin'î
!îoV
nous déduisons de l'équation (16) la relation suivante entre les augles iufinimeut petits a et ç^ — ^^:
.K,ta, „"4S
ce qui donne
(42) îo — ?i =
t à la détermination du rayon Sa d'après le § 1 0 et supposant . Il) que le centre 0^ est au-dessus du point M^^, nous trouvons que
iîo = Oiilio = 00, — CM^ .
Fig. 11.
Introduisant ici la valeur de CO^ ci-dessus trouvée et changeant, d'après (37), GMq en 2 sin *" "T"''^^, nous recevons
-Bo =
\^-%^'^\ir'-
li^Kiz!!)
Nous avons déduit cette formule, en supposant que le centre 0, se trouve au-dessus du point M^, Dans l'hypothèse contraire, uous trouverons la même formule, mais avec le signe — , de sorte que pour embrasser les deux cas, nous écrirons cette formule avec le signe double.
Dans la formule
iîo = ± 2 sin -
ainsi obtenue, il faut cocserver le signe, qui douue pour Sg la valeur positive.
Ayant le rayon Bg, on peut, d'après la formule (18), déterminer le rayon B, par l'équation
It^^ = It.^ ^ ? ^ ^.
Dans le cas considéré les différences ipo — ç^, ^^ — (p, ont des valeurs infiniment petites. Pour trouver leur rapport, posons
ce qui donne
I = A, (Do — 9, = A, ,
et par conséquent, on reçoit, d'après (14), réqiiation suivante entre les grandeurs iniiniment petites A et Aj :
cotang ïai-pi
Déi'eloppaut suivant les puissances de A, A^ et nous bornant aux infiniment petites du premier ordre, nous recevons de cette équation
ce qui, d'après notre notation, donne
Substituant cette valeur de Çg — cpj dans l'expression
î 'Pa — 9i
" (d^ — r^i COi
ai. f .i. a .i„. ï et remarquant, d'après les valeurs ci-dess
s trouvées de 9^, Çj, r, d, 00^^ que
nous trouvons, exactement jusqu'aux puissances de fo~-?i ^i" troisième degré inclusivement,
aitt -Tji Ein ^
par suite l'équation, qui détermine B^\ donne avec la même exactitude
, (90 - ?])' aia V 1 (9o^=Pi)' sii ^
Il suit de la dernière i
Bo — Bi,
ce qui présente la limite supérieure de la déviation du point M du cercle décrit par le rayon ■ "^ ' et ayant pour centre 0^ dans le mouvement du système considéré, quand l'angle « reste entre cp = t[)g, cp=:cp,.
Substituant ici la valeur de ç^ — ^^ d'après (41) et la valeur du rayon Bg d'après (43), nous trouvons pour cette limite Texpression suivante:
oil a est la valeur limite de l'angle Af^OA. D'où l'on voit, qu'à mesure que l'angle a tend à s'annuler, ces déviations diminuent très rapidement, et par suite pour de petites valeurs de « la trajectoire du point M diffère très peu de l'arc du cercle décrit du centre 0^ par le rayon ""T '.
Les formules que nous avons démontrées représentent la limite, à laquelle s'approchent les formules générales, quand l'angle « tend à s'annuler et peuvent servir à la résolution approximative de diverses problèmes qui concernent le système considéré, quand l'angle a est assez petit.
