PAR DES FRACTIONS SIMPLES
(XRADUXX PAR G. A. POSSÉ.)
(Traduit par A. Vasailîef, à Kasac. Annales scientifiçLues de i'Bcole Kormale supérieure. III série, XV, 1898, p. 463-480.)
ncpcMî&HHOû ■Z'Cpesii npocmuji dpoSii.
IIpHnoffleHie Et LXI tomj SanncoKii HanopaTopCKofi: AEafleiiiH HayKi., JVs ), 1889 r.)
(ÛbersetKt von O. Backlund. Acta mathumatica, XVIII, 1894, p. 113—133.)
Sur les expressions approchées de la racine carrée d'une variable par des factions simples.
§ 1. Daiis l'évaluation des quadratures on est souvent obligé de remplacer les fonctions offrant des difficultés à l'intégration par leurs expressions approchées. Lorsqu'une difficulté pareille provient de la présence d'un radical du second degré, on pourra employer très utilement l'expression approchée du radical
fi
par une fonction de la forme
qu'on obtient à l'aide du premier théorème démontré dans notre Mémoire, sous le titre: Sur les questions de minima gui se rattachent à la rq)rêsentation approximative des fonctions *). Quand on se propose de diminuer autant que possible la limite de l'erreur relative pour toutes les valeurs de 3;, de a; = 1 à a; ^ ft > 1 , la meilleure représentation du radical
par une fonction de la forme
sera celle, pour laquelle les rapports
s'écartent le moins possible de 1 entre a;^ I, a;:=/i.
Nous pouvons trouver une telle représentation du radical
au moyen du théorème mentionnée ci-dessus, en l'appliquant à. la déterraination des valeurs
A, B^, B^,...B^, Cl, G„...C„, pour lesquelles le logarithme du rapport
s'écarte le moins de 0, x variant de x = l à x^h. Supposant que dans l'intervalle a; =; 1 , ic = ft les valeurs extrêmes de ces rapports soient
nous nous convainquons, en vertu du théorème mentionné, de la possibilité d'approcher ces limites à 1 par un changement convenable des 2w-+-l quantités
A, 5,, B^,...B^, C,, Gi,...6;,
qui figurent dans la fonction
Bi B^ Bn
y^ — ' — jf ^=^^L^-*-cr?i^^----^(v^J'
si, dans l'intervalle de a;=l à x = Ji, elle atteint les valeurs extrêmes
moins de 2n -+- 2 fois.
Il eu résulte que la plus graude approximation des limites
— 545 ~ à l'unité ne peut avoir lieu que pour de telles valeurs A, B^, Ba,...B„, Cj, C;,...C„,
pour lesquelles la fonction
(1) y=yi[^-,-J^-gA H-...-HjJk]
dans l'intervalle
atteint au moins 2«-h 2 fois les valeurs /, -j-, sans les franchir.
Nous allons montrer' maintenant comment d'après cela se détermine la quantité l et la fonction ?/, qui donnent la solution de nôtre problême.
§ 2, Comme la fonction p, se réduisant à ï ou y pour une valeur de x entre w= 1 et rc = ^ qui ne rend pas
1 = 0 et qui est différente de
dépassera évidemment les limites l, y, ils doivent exister, d'après ce qui précède, au moins 2w -h 2 différentes valeurs de œ, dans l'intervalle de x=l k x = h, susceptibles à vérifier l'équation
(l'—f) il-Py')==0 en même temps que l'équation
dont les premiers membres représentent d'après (1) des fractions rationnelles au dénominateur commun
et aux numérateurs de degré 4n-t-2.
Or d'après la constitution de ces equations.il est clair que leurs racines communes autres que
doivent être racines multiples; par conséquent ces équations ne peuvent avoir lieu simultanément pour 2« -h 2 différentes valeurs de a;, sans avoir 4W-I-2 racines communes, égales ou inégales, ce qui suppose leur identité, car d'après ce qui précède, elles se réduisent à des équations de degré 4n-i-2. Or ces équations ne peuvent être identiques que sous la condition
où C est une constante; d'où il résulte l'équation différentielle: f2) ^^ ^ ^ — ^^
^ ' t/(1î — 2/2)(l — iîj/î) Va; (1 — a;) (fc — a;)
Parmi les diverses fonctions ;/, qui satisfont à cette équation pour des valeurs quelcouques des constantes l et C, il est facile de distinguer celle qui donne la solution de nôtre problème.
s dans ce but que d'après (1) l'égalité
se réduit à une équation de degré In, et par conséquent la dérivée ^ ne peut s'annuler plus de 2n fois, depuis a; = 0 jusqu'à a; = -*- oo.
Or d'après ce qui précède elle se réduit à zéro au moins 2n fois dans l'intervalle
donc elle ne peut point s'annuler dans les intervalles a: = 0, :r<l, a: >- ^, a; =: -*- oo,
tandis que dans l'intervalle
3;= 1, x^h elle doit s'annuler 2w fois.
En vertu de cela, l'équation (2) donne entre les intégrales définies
yœ(l— x)(A~a:)' /a; te — 1) (ft —
la relation suivante
§ 3. A l'aide de cette égalité il est facile de calculer la valeur de i d'après la valeur du rapport des intégrales
dx I dx
Vxil — x) Ih — x)' Vxix — l){h — x)'
Parmi [les diverses formules, dont on peut faire usage, uous allons choisir dans le cas actuel celle qui suit:
(A) ;* = 1 — 1 6 o'"-^' /i-H3>"^^^gi^''-^«-^-..Y
' ëîs ]
OÙ
} Vx{l~x)(h~x)
