TC

qz=e J 1 Va; (X — 1) (ft - a!)

Cette formule fait bien voir avec quelle rapidité, lorsque le nombre n augmente, les quantités l, y s'approchent de l'unité, et par suite l'erreur relative de la formule

qui donne la valeur approchée du radical

dans l'intervalle de a; = 1 k œ^h, diminue.

Désignant par â une quantité moyenne entre 0 et 1 , noua trouvons pour représenter toutes les quantités renfermées entre i!, y la formule l^~^ ; par conséquent, d'après ce que noua avons montré à l'égard de la fonction

on aura l'équation suivante pour la détermination du radical l/— ;

§ 4. Les quantités

qui figurect dans cette formule se déduisent facilement de l'expression de l'intégrale de l'équation (2), qu'on obtient supposant que l'équation (3) ait lieu.

Eeprésentant cette intégrale sous la forme

nous trouvons que les quantités

A, B„ B„...B„, Cj, G,,.. .C„, se déterminent à l'aide des fonctions elliptiques au module

par les formules suivantes A

L 2» -1-1 2«-l-l 2ii-i-IJ

iVhd:

imK

Remarquant que la fonction

se réduit à l'unité pour m=0 et ne change pas par le cliangement de m en — m nous pouvons représenter la somme

1 -+- 2dn ^-^ j- -+- 2dn „^^ ^^ -i- . . . -i~ 2dn 2~~i; sous la forme

le signe de la somme étant étendu sur les valeurs

D'après cela nous aurons A =

IVh y dn

2, 2mK m , „ 2inK 'V , 2mE

dn ïstfi T > an

2Vh dn -

2mK " 2n-i-i

*2n-i-l -/ft

Comme l'expression

.^ 2in- 1 2n -I- 1 2n -)- 1

se réduit pour m = 0 à

iVh y dn -^

ce qui est égal à A, et ne change pas de valeur par le changement du signe de m, on voit qu'en prenant la somme de ces expressions pour les valeurs suivantes de m :

on obtient l'expression de la somme

Par conséquent, d'après (5) ou aura la formule suivante pour l'évaluation du radical

; les limites x^l et a; = ft:

§ 5. L'égalité que nous avons obtenue donne le moyen de déduire facilement une formule qui fournit les limites de la valeur de l'intégrale

à l'aide des intégrales contenant la fonction V hors du signe du radical.

H est nécessaire pour cela que les fonctions U, V restent positives pour toutes les valeurs de la variable sur lesquelles s'étend l'intégration.

Désignant par

les limites que la fonction V ne peut franchir, nous remarquons que l'ex-

restera entre les limites

' Ma

et par conséquent entre les limites

1, h, si

D'oîi l'on voit que pour les valeurs de n, sur lesquelles s'étend l'intégrale

]yv l'égalité (7) est applicable à

'" = 15' en supposant

En substituant ces valeurs de a; et ^ dans l'égalité (7) nous obtenons

■Tir î's»^ — — + J/c»a ____

2mK * 2n-i-l

551 — ce qui donne après la réduction du facteur commun VM^,:

~ -\- Mcrii --

2mK

D'aiEeurs la fonction V restant, par supposition, positive pour les valeurs de u sur lesquelles s'étend l'intégrale

r Vdu

on aura, d'après l'égalité précédente, où â est une quantité inconnue entre 0 et 1 , la formule

„ f VMdn ^^ mu

Cette formule a été obtenue en supposant

par suite d'après (6) nous aurons

Ce qui noua donne une relation entre les quantités M, M^ que la

fonction F ne doit dépasser dans les limites de l'intégration, et le module h, dont on se sert pour former la formule (8) et l'équatiou (4). Désignant pour abréger

2mS'

sn r-

par s^ nous trouvons

et d'après cela, en posant

(10) S=l-t-2yi— fc's,'-H2 yi— ^i' V-i-----f-2 yi— *?s,'

nous aurons en vertu de (8):

(12) r^ = i[i?(0)H-2F(»,) + 2ii-(sjH-,..-H2i?(s.)].

La quantité ô étant comprise entre 0 et 1, cette égalité donnera pour (9 = 0 et ^ = 1 les deux limites de la valeur de l'intégrale f --=: du:

\~du^ ^(0) H- 2F(Sj) -I- 2F{s^) H- ... -I- 2F{s„),

où l est une quantité déterminée par l'égalité (4) dont la composition montre que l s'approche rapidement de l'uuité lorsque le nombre n augmente.

§ 6. Passant aux applications des formules que nous avons déduites, commençons par le cas:

U=\> V=\ — X^sitf M,

où A < 1. En prenant 0 pour limite inférieure dans l'intégrale

C Udu f du

J "^^ J l'i-J'^sm^M'

noua trouvons que la plus grande valeur de la fonction

F= 1— X^ sin^" M

dans les limites de l'intégration est 1, et par suite d'après notre notation nous pouvons prendre

Pour cette valeur de M l'équation (9) donne ilf(,= l— ftS M^ étant la limite inférieure de la quantité

F=l— X=sin=M, que celle-ci ne doit dépasser pour que la formule (12) soit appliquable.

Or la fonction F ne devant pas franchir la limite Mq pour tontes 1 valeurs de m sur lesquelles s'étend l'intégrale

Vi — Xî sia^ u

pour toutes ces valeurs de u, on doit avoir

1— X^sin^M>l— ft*, et par conséquent

= k Bin II ^ y

cette condition sera évidemment remplie pour toutes les valeurs réelles de *(; donc dans le cas de

on pourra appliquer la formule (12J à l'intégrale

M étant aussi grand qu'on le veut.

Quant au cas de

la condition précédente ne sera remplie que pour des valeurs de u qui l

par conséquent dans le cas actuel nos formules ne sont applicables à l'intégrale

f dît

yi — À2 sia* M

que sous la condition

î(<arcsiu y

Substituant dans la formule (11)

t^=l, F=l— XHiu^M, M—X,

et prenant 0 pour limite inférieure de l'intégration, nous trouvons que dans le cas considéré

. . Vl—lf!' s^ l du

■^>~ s n-X^sui^u)e^-t-l-

Vl - l^ S3

arc tang {Vl — X^ .

A l'aide de cette fonction et les quantités

qui se déterminent (§ 5) par la fonction elliptique au module ft, nous obtenons d'après (12) une équation donnant les limites de la valeur de l'intégrale

qui se rapprochent rapidement lorsque le nombre n augmente. § 7. En nous arrêtant à la supposition particulière

nous trouvons

et par conséquent l'équation (4), qui détermine la valeur de l pour valeurs de n, se réduit à la suivante :

Cette équation pour

«~1,2,. .., donne

D'où l'on voit avec quelle rapidité se rapprochent, pour des valeurs croissantes de n, les deux limites de la valeur de l'intégrale

fournies par la formule (12).

En posant dans cette formule w ^ 1 , nous obtenons

•'o L'équation qui détermine S se réduisant pour

à l'égalité

S=lH-2|/l— |V.

snÇ = s, = 0,9002272, nous trouvons

en vertu de quoi, d'après (11), pour fc = l/y il résulte

"1/ 1 — — «î arc tang {Vl—l^s^ tang m) F (s) = I ^=

^ ' 2,5424598 v'i — Xa «a

En faisant ici

s=0, s = Si = 0,9002272, nous trouvons

0,3033401 arc tang (1/1 — 0,6104089 X' tangw)

1/1—0,8104089 Xs

ce qui, étaut substitué dans l'égalité (12), donne la formule suivante pour l'évaluation de l'intégrale

f aw

i/l— 0,8104089 Xî

Posant n^2, nous trouvons que dans le cas considéré l'égalité (12) se réduit à la suivante:

J-r ^" ■=^-^ ï-^^-^w arc tang {fij tang «)-h^ arc tang {B^ tangw) 1

iïj=yi — 0,4262988 X^; JJ^^ Vl —0,9313131 X^ Des formules semblables par rapport à l'intégrale

s'obtiennent de l'égalité (12) en y posant

U=-, — ■ . „ ; F= 1 —A" sm^ u.

§ 8. En substituant dans l'égalité (12) au lieu de i7 et F diverses fonctions, nous obtenons des formules qui donnent les limites des valeurs des iDtégrales de la forme

dont l'évaluation présente souvent de grandes difficultés. Ainsi, posant

V~l—J? sin^ u; V~0 (tang m), où 0 (tg m) est une fonction qui conserve le signe -+- dans les limites de l'intégration, nous trouvons

rT- 1 yi — k^ s' (P(tang «) du,

Ces formules, d'après ce qu'où a remarqué dans le § 6, auront lieu pour toutes les valeurs de u, si

En supposant cette condition remplie et prenant ^ pour ^^ limite Bupérieure de l'intégration, nous tirons de ces formules:

fw^mf. = w [m + m^,) ^ 2^(s.) + . . . -H 2i^w],

Posant dans la dernière intégrale

tang u^s, nous trouvons qu'elle se transforme eu

(11), qui déter vante

i formule qu'on

j 0 (taog m) du Vl - V ain* M ' >^0

aies de la forme r (P (g) ds

en vertu de quoi l'égalité (11), qui détermine la fonction F (s) dans le cas considéré, se réduit à la suivante

D'où l'on voit que la formule qu'on obtient pour l'évaluation de

l'intégrale

ne contiendra que des intégrales de la forme

dont la valeur est connue pour certaines formes particulières de la fonction

Ainsi, dans le cas où

0(g)^s^-\ 0<p<l, nous trouvons

et d'après cela, en déterminant l'intégrale

0 (tang m) du " t&ngP — • m du

l'i— Xïsin»« Vl— 1» Bina M

au moyen de l'égalité (12), nous aurons

par conséquent cette égalité dôme

Vl — X= si

;2»Si

d'où, en substituant la valeur de S, tirée de (10), nous obtenons

P taagP—' uda

PT^ 1 h2 /l — ftas,ï-4-...-i-2/l — F V

Dans le cas particulier, où l'on prend k = l/y et n^l, cette égalité, en y portant la valeur

s^=snÇ= 0,9002272, donnera pour la détermination de l'intégrale

yi — XîaiuÏM

pourX^|/y,

la formule suivante :

où ^^= 09993549.

Posant w ^ 2, pour la.méme valeur du module k, nous trouverons pour l'évaluation de l'intégrale

pour ?^<|/^, la f

où ;2= 0,9999988.