FONCTION QUI RESTE TOUJOURS POSITIVE
(TRADUIT PAÎl ». SÉI.XVAWOï'^.)
(Lu h 9 octohre 1890.)
mo-paji, ocmacfiioJi' noAOcàyu/mcji'bHOio.
(npHJioa:9HJe ki. LXIV-uy TOMy SanHcoK* IlianepaTOpCKofl AKaneuiM HayK-E, M T, IS91 r.)
Sur les sommes composées des valeurs de m.o-
nômes simples multipliés par une fonction qui
reste toujours positive.
§ 1. Eu développant uhc fonction f(x) suivant lea puissances asceudantes de la différeuce
on obtient une formule servant à exprimer approxiinativ ement la fonction f{x) sous la forme d'uu polynôme dont les coefficients se déterminent par les valeurs de la fonction primitive
et ses dérivées
rw, rw
pour 3;=:X Eu développant f{x) eu uue série de forme plus compliquée
où
sont des fonctions de la variable x indépendantes de f{x\ on obtient pour la détermination dos coefficients
des formules pouvaat généralement être présentées sous la forme suivante
Les fonctions
TûW, <P,W, Î,W,
qui y eatreut, et les valeurs de la variable x, aux quelles s'étendent les sommes, dépendent de lu nature des fouctions
servant à la formation de la série (1).
Dans les cas singulièrement simples, quand les fouctions
?o(^)> =pi(^), 92(^)>
sont des polynômes des degrés
ces sommes se décomposent en sommes élémentaires
(2) y. K fi':,), ^"tfi'^.l 2vfw ;
et alors les expressious approximatives de f{x) données par la formule
(3) f(x) = Ka U^-i- K, U,~i- K^U,-i-
s'obtiennent à l'aide des sommes (2) formées avec les valeurs de monômes
multipliées par f(x^).
Les expressions approchées de la fonction f(x) ainsi obtenues diffèrent essentiellement de celles qu'on déduit par le développement de la fonction f{x) suivant les puissances de la différence x — X et qui donnent des polynômes les plus rapprocliés à f{œ) dans le voisinage de x:=X.
Ayant un moindre degré de précision, quand il s'agit de calculer f{x) dans le voisinage de x=:X, ces expressions approchées donnent en certains cas une meilleure représentation de la fonction f{x) pour les valeurs de X variant enti-e des limites plus ou moins étendues.
Ainsi il résulte de notre Mémoire «Sur l'interpolation par la méthode des moindres carrés»*), que la série (3) avec les fonctions
déterminées par le développement de la somme
eu fraction continue, et avec les coefficients if„ K,, K,
composés linéairement à l'aide des sommes
donne l'expression approchée de la fonction f{x) sous forme d'un polynôme du degré plus ou moins élevé se distinguant de tous les autres polynômes du même degré par la moindre valeur de la somme qu'on obtient en additionnant les carrés des écarts des valeurs de ce polynôme des valeurs de f(Xf) servant à développer f(x) en série (3). Eu passant à la limite, quand toutes ces valeurs f(x^) se confondent avec f(X), ce polynôme se réduit à l'espressioB approchée de la fonction f(ai) qu'on obtient en développant cette fonction en série suivant les puissances ascendantes de la différence X — X. Cette expression représente f{x) avec la plus grande approximation pour X infiniment voisin de X.
On obtient une formule plus générale pour le calcul approché de la fonction f(x) au moyen des sommes
par la méthode que nous avons indiquée dans le Mémoire «Sur les fractions continues» *). Cette formule se présente sous forme d'une fraction
dont le dénominateur Ff^{x) est une fonction arbitraire positive pour toutes les valeurs x = xf, le numérateur F(œ) est un polynôme du degré plus ou moins élevé. La fraction ainsi obtenue pour l'expression approchée de la fonction f(x) se distinguo de toutes les autres fractions ayant le même dénominateur F^{x) et le numérateur F(x) du même degré par la moindre valeur de la somme
Il en résulte que les sommes de même que les dérivées
rw, f'(x), f"{x)
peuvent servir à déterminer la valeur approchée do la fonction f{x) pour les valeurs de la variable x contenues entre des limites plus ou moins éloignées.
*) T. I, pag. 20a— 330.
D'après ce que nous avons indiqué *) sur les intégrales I f{x) duc, f xf(x) dx, I x^ f{x) dx,. . . ., aux quelles se réduisent en limite les sommes
on voit que ces sommes, de même que les dérivées
fi"), rw, rw
peuvent servir à la résolution des questions concernant la fonction f{x), essentiellement différentes du calcul par approximation des valeurs de ia fonction pour les différentes valeurs de la variable x. Les résultats obtenus ont lieu aussi pour la fonction discontinue f{x)] il est cependant nécessaire que cette fonction ne devienne pas négative pour les valeurs considérées de la variable x. Cette condition se trouve réalisée dans plusieurs questions des Mathématiques pures et appliqués présentant, à cause de la discontinuité, des difficultés insurmontables pour l'application du calcul différentiel. Pour cette raison les sommes
formées des produits des quantités positives
rw, f(x,), ax,\....fK-,)
et des différentes puissances des quantités réelles
sont bien dignes d'attention. Nous allons montrer maintenant, comment, eu connaissant les valeurs de ces sommes, on peut déterminer la limite inférieure de la plus grande des quantités
et la limite supérieure de la plus petite de ces quantités.
En supposant données les limites entre lesquelles sont contenues 1 quantités
*) Sur les valeurs Imites des intégraks. T. II, pag. 18S — 185. Sv/r la re^iréseiitation, des valeurs limites des intégrales par les résidus intégraux. T, II, pag, 421 — 440. Sur les résidus intégraux qiti donnent des ■oaleurs approchées des intégrales. T. II, pttg. 44S — 478. Sur les soui' mes composées des eoéfjicients des séries à termes posit^s. A Iëi Sa du T. II.
nous ferons voir, comment par les valeurs de ces sommes on peut déterminer les maxima des sommes qu'on obtient par addition des termes de la
A^o), A^i), n<^ù fK.),
correspondant aux. termes consécutifs de la série
n'atteignant pas plus ou moins l'une de ses limites. D'après les formules pour ces maxima on obtient facilement les valeurs limites de l'intégrale
f" / (x) dx
dans le cas, oii l'on connaît les valeurs des intégrales
f{x) dx, xf(x) dx,. . . . \ x' '■ f{x) dx,
la fonction f{x) ne deveuant pas négative entre a; = o et a; = & et la quantité u étant supérieure à a et inférieure à h. § 2. En posant
^x,^ax,)=C,, y^xj{x^)=a,, ^x,'f{x^)=C,,....^xl-'f{x,)=C,^,
on trouve que les quantités
ï/oî Vi, %' Vn-i
sont liées par l relations
où, d'après le g précèdent, les quantités
ne sont pas imaginaires et les quantités
î/o = fi^o), Vi = fi^i), y-, ^ fi^z), ï/n-, = /"K-i)
ne sont pas négatives.
En développant la somme
suivant les puissances descendantes de x, ou obtient l'égalité
qui prend, au moyen des équations (4), la forme suivante
2?/i Co c, 0/i 1 "v ;
x — Xi X il?- ffl a:'-+-i -^ * ^'
II en résulte clairement que pour satisfaire aux équations (4) par des valeurs de
^0) iïj, ^g ^n—\l
y», Pn y^, — y^-i
il est nécessaire et suffisant que la somme
soit égale à l'expression
au terme contenant — près.
D'autre part, à cause des propriétés indiquées des quantités
y<,^ y„ y^^ — yn-^^
dans l'intervalle de 3: = — 00 à x = -t-o<D devient infinie pour n valeurs
en passant toujours de — co à -1-00.
En se servant de la notation de Caucliy *) on obtient
Eu appliquant la méthode de Caucliy pour la détermination de l'indice
et remarquant que la somme
se réduit à une fraction avec le dénominateur du degré «, on conclut que cet indice pour les limites x^ — 00 eta^^co ne peut atteindre la valeur w, égale au degré du dénominateur, que si dans la fraction continue
provenant du développement de cette somme, tous les quotients incomplets
Qi, Q2> îsj
sont des fonctions linéaires de x avec des coefficients positifs.
Donc la condition nécessaire et suffisante, pour qu'aucune des quantités
ne fût imaginaire et les quantités
^0- Pi, Vi^ J/n-i
fussent positives, peut être représenter par l'égalité
2yi ^ 1 , X — Xj a, a; -+- p, — —
*) Journal de l'École Polytechnique. Cahier 25.
réunie avec les inégalités
«i>0, a^>0, oL^>0, «„>0.
11 résulte de ce que nous avons dit plus haut sur les équations (4), que les quantités
%» Vu Vi^ Vn-^
ue peuvent satisfaire à ces équations que dans le cas, où la fraction continue
provenant du développement de la somme
^tL^œ — Xi
représente l'expression
au tenne de l'ordre — près.
Par cette raison, en connaissant le développement de l'expression
Or, 0. Oo C/,
en fraction continue
il est facile de déterminer les premiers quotients incomplets de la fraction continue
qui résulte du développement de la somme
si les quantités
y contenues, satisfont aux équations (4).
§ 3. Eu désignant par k ie nombre entier obtenu par la division de l par 2 et arrêtant la fraction contimio
au quotient incomplet
on obtient pour elle l'expression approchée
exacte au terme de l'ordre —j^ près.
Avec le même degré de précision la fraction ci -dessus représente l'expression
car, d'après ce que nous avons dit, cette expression ne diffère pas de 1 fraction continue
par les termes de l'ordre plus élevé que -^^ir'''^ étant égale à 2ft ou2^-h1, suivant que l est divisible par 2 ou non. Il en résulte que la fraction continue 1 ^
avec k quotients incomplets doit donuer l'expression
gy ' ~ ' • , exacte jusqu'aux termes de l'ordre —^ inclusivement; cela suppose les relations suivantes
Si toutes ces équations out lieu, la fraction continue
donne l'expression
exacte jusqu'aux termes de l'ordre -^ inclusivement, quels que soient les quotiens incomplets qui suivent
dans les fractions continues provenant du développement de cette expression et de la somme
Pour l pair, d'après ce que nous avons dit sur le nombre Je, ou a j^ j
Il en résulte que pour un tel l la fraction continue
provenant du développement de la somme
2 y/ X — Xj'
donne l'expression
exacte jusqu'au terme de l'ordre -^ inclusivement et par cette raison, d'après le § 2, les équations (4) doivent êtres satisfaites par les quantités
contenues dans la somme
g 4. En passant au cas de l impair, quand ï ^= 2ft -h 1 , ou remarque que, à cause des relations (5), la différence des fractions continues
provenant du développement des fonctions
ce xi x^ ad
i degré que l'expression
Il en résulte que cette différence peut être du degré moins élevé que — l, comme cela doit être d'après le § 2 pour satisfaire aux équations (4), seulement dans le cas, oii la différence
est du degré zéro et par conséquent, quand le quotient incomplet î**"^'* contient x en première puissance avec le coefficient égal à a^^,.
Si cela a lieu et si les relations (5) sont satisfaites, la différence des
2yi X — Xt'
pour Hmpair ^ 2ft M- 1 est du degré inférieur à — ^ et par conséquent, d'après le § 2, les équations (4) sont satisfaites. Ainsi par le développement de l'expression
en fraction continue
on détermine les premiers quotients incomplets de la fraction continue
égale à la somme
les quantités
Vo, Vi^ 2/2, y„t
satisfaisant aux équations (4). Mais pour qu'aucune des quantités
ne fût imaginaire et que toutes les quantités
%, Vi, 2/3, — y„^.
t positives, il faut et il suffit, comme nous avons vu (§ 2), que les quantités
soient plus grandes que zéro.
En parlant des solutions des équations (5), nous avons supposé que la fraction continue
provenant du développement de la somme
ai — Xf '
contient le quotient incomplet
pour l pair = 2h^ et le quotient incomplet
pour î impair = 2fc-i- 1. Puisque le nombre des équations (4) est l, égal à 21c ou 2/1; -I- 1 , et le nombre des inconnues
%, Vi, Vi, ï/„i
est 2», cette condition a toujours lieu, si l, le nombre des équations (4), ne surpasse pas 2«, le nombre des inconnues y contenues.
Dans le cas contraire ces équations ne sont possibles que si les valeurs
Co, C,, 6;, C;,,
satisfont aux certaines conditions. Pour déduire ces conditions et indiquer les singularités que présentent dans ce cas les solutions des équations (4), nous remarquons que, d'après le § 2, ces équations étant satisfaites, la fraction continue
provenant du développement de la somme
doit produire l'expression
exacte jusqu'au terme de l'ordre — inclusivement.
Cela n'est possible pour « < g- que si l'expression ci-dessus est développabie en fraction continue
la quantité (^f"'^'' étant du degré supérieur à l — 2w. C'est précisément la condition de possibilité des équations (4) pour l > 2w. Puisque dans ce cas se déterminent complètement et le nombre n, et les quotients incomplets
de la fraction continue provenant du développement de la somme
les équations (4) auront une solution unique.
Dans tout autre cas ces équations, si elles sont possibles, admettent une infinité de solutions se distinguant et par le nombre des inconnus
.%, y,, Vi y„,
et par les limites entre lesquelles les quantités
sont contenues.
§ 5. En supposant les quantités
rangées dans l'ordre croissant, nous indiquerons maintenant, de quelle manière on obtient les solutions des équations (4), dans lesquelles x^ a la plus grande valeur on a;^^ la plus petite valeur. En désignant par
qu'on obtient en arrêtant la fraction continue
an l-er, 2-me, 3-me . . . ., n-me,. . . . quotient incomplet, on aura
*„(.r) — a, 3, + Pi-
Par cette raison, les équations (4) à 2n inconnues
Vo, iJi, y^^ Vn-,
étant résolues, l'équation
sera satisfaite d'après le § 2.
Il en résulte que dans cette solution les inconnues
X^, 3îj, x^,. . . .x^^ sont racines de l'équation
par conséquent la moindre racine de cette équation donne la valeur de x^^ et la plus grande celle de x^^. Pour obtenir les conditions dans lesquelles
3;o atteint la plus grande valeur ou \^ la plus petite, nous remarquous que, d'après les propriétés des réduites, les fonctions
dans le cas considéré, sont déterminées par les équations
(7) +^^, (^) = {«^.,. a; -f- p,„^,) '!-,„ (:«) — 4'^„. (:c), et d'api'ès le § 2 on a
La première de ces équations fait voir que l'équation
a une solution
En portant cette quantité dans la seconde équation et remarquant que
on obtient
Mais en posant consécutivement
X =^ — oo, x^~t- oo,
et remarquant que d'après les conditions (8)
aj>0, oc^>0, on trouve
4^3 (— oo) = -^, 'la (-*- ^) = -*-•
On voit d'après ces valeurs de la fonction '|a(^) pour
a; = — oo, x=^ '-, x:=-t~oo
que x=- -, racine de l'équation
est conteiiue entre la plus grande et la plus petite racine de l'équation
Pour étendre ce raisonnement à toutes les équations formées de deux fonctions consécutives de la série
i|/,{fl;), ^3(3;), lm,N, i'^i^), '\>„,^,i^), ,
nous allons maintenant démontrer que toutes les racines de l'équation
sont contenues entre la plus grande et la plus petite racine de l'équation
si cette propriété a lieu par rapport aux équations i|;^i (iC) = 0, ^^^{x) = 0.
Eu effet, en désignant par /i,, la plus petite racine de l'équation
et par li la plus grande racine et supposant démontré que toutes les racines de l'équation
sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de l'équation
^^(a;) — 0, on remarque que l'équation
ne contient pas de racines ni entre a;^— 00, x=Jia, ni entre x = '^-ocl, x = h et que par conséquent les valeurs
sont de même signe que
Cela étant, de l'équation (7), en y posant successivement x = \, x = h,
et remarquant que
d'après la définition des quantités ît^ et h, on trouvera les valeurs de
avec des signes contraires à ceux de
Puisque ces quantités, d'après les relations (6), (7), (8), outl signes que les quantités
on conclut que dans l'hypothèse admise la fonction 'I'bm-iC^) change son signe entre (b = — oo et x = hf„ ainsi que dans l'intervalle x = h et iC^co; par conséquent, l'équation
a une racine inférieure à Aoi la plus petite racine de l'équation
et une racine supérieure à h, la plus grande racine de cette dernière équation. Il en résulte que toutes les racines de l'équation
sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de l'équation
si cette propriété a lieu par rapport aux équations
Cela posé, en passant successivement c
'\,^(x) = 0, 4'a(r&) = 0 aux équations
on remarque que généralement avec l'augmentation de l'indice v la plus petite racine de l'équation
diminue et la plus grande racine augmente.
§ 6. Cette propriété de l'équation
permet sans difficulté d'indiquer la conditiou dans laquelle, en résolvant les équations (4), on obtient la plus petite valeur pour œ^^ ou la plus grande valeur pour sc^.
Nous avons vu (§ 3) que dans la résolution des équations (4) il est nécessaire de distinguer deux cas: le cas de l pair et celui de l impair.
Dans le cas de l pair, en posant l=2k, nous avons montré que les solutions des équations (4) résultent de l'égalité
où les h premiers quotients incomplets
sont les mêmes qu'on obtient eu développant l'expression
eu fraction continue
le nombre des autres quotients incomplets et leurs valeurs restant arbitraires; d'après le § 2 il est cependant nécessaire que tous les quotients incomplets soient des fonctions linéaires en x, aus coefficients de x positifs.
Il en résulte que dans le cas considéré le nombre n ne peut pas être inférieur à 7c.
Puisque d'après le § 3 la quantité Xf^ est la plus petite racine de l'équation
et x„i la plus grande racine, et puisque, comme nous l'avons démontré tout à l'heure, Xg diminue et x^^ augmente, lorsque n augmente, on obtient la solution des équations (4), où x^ a la plus grande valeur et it;^j a la plus petite valeur, en admettant que « a la plus petite valeur possible, qui est égale à ^, comme nous l'avons vu. Cela posé, en désignant par Mf, la plus petite racine de l'équation
et par M la plus grande raciiie, on a dans les solutions considérées des équations (4) ^
quel que soit le nombre n.
En passant au cas de l impair, on remarque, d'après le § 3, que pour i! =s 2A -t- 1 la fraction continue, servant à obtenir les solutions des équations (4), ne peut pas être arrêtée au quotient incomplet
Pour cette raison, d'après ce que nous avons dit sur la détermination des quantités
et sur la variation des racines limites de l'équation
quand n augmente, dans le cas considéré, où w > &, auront lieu les inégalités
Il est facile de démontrer en outre que pour l^2h-t-l les quantités Xg , ir„, satisfont à l'inégalité
Pour cela remarquons que d'après le § 5 pour n>&-i- 1 ni l'équation
ni l'équation
n'ont pas de racines hors des limites des racines de l'équation 1^ (3;) = 0.
Puisque la plus petite racine de cette équation est Xg et la plus grande
n'ont pas déracines ni entre x= — oc, x^x^, ni entre x=Xj^^^, 3^ = 00; par conséquent, la fraction
