EW
+iW
del
'expression
1 Cl
Cî
Cî,
ont toutes leurs racines i
réelles et positives.
En désignant par
les racines de l'équation
par
les quantités
et posant
(6) (7o=<!,— e„ Ci=c,-i-e,, f7j=ea— e^,. . . C,,,,==c,j,H-e^j„
nous obtenons, d'après ce qui a été dit au § 1, les équatioiis suivantes:
k (Xf ) y^ — c^k-r^ ^2k-i-
Or, d'après les limites entre lesquelles doivent être comprises les quantités
et en vertu des équations (6), on voit que les limites supérieures des quantités
sont égales à
J- Il ]^ ^"^"^ Ho' Uo' s,'' " Eo '
et les limites inférieures sont égales à
i ft jfï ftaft-i
Bo' i/o' -Ho' " ' -«0 '
En désignant par
a:,,', ir/, x^',. , ■ic's i,
les valeurs des inconnues
dans les équations (7) correspondant aux valeurs limites e^, c,, e^,... e^t—o ^* P^''
ï/o", < V^',..-v"k-i les valeurs respectives des inconnues î/u'"', î/j'"', j'^'''', . . . y'"i i , nous obtenons d'après (7)
i ft ft
(î») '^yi"=<^o-^Tk' 2*ïV— C,-;|-^, 2(<)'y/— ^2-^So'"*'
Vf. ■',.'- „"-c -it:;.
Ces équations jointes aux équations (7) vont nous servir à déterminer le maximum et le minimum de la somme
pour la solution des équations (7) auxquelles se réduisent les équations (2). Et, cette somme-là, comme nous l'avons vu, pour [A=è, (A=e-Hl, va nous fournir les limites entre lesquelles reste comprise la somme
s équations (1), quelque grand que soit
pour toutes les solutions réelles c le nombre des inconnues.
§ 4. Pour trouver le maximum et le minimum de la somme
composée des quantités y* , î/'"' ,,. . .î/°'^, données par les équations (7) pour Êp, Éj, ^a, , . .Cjj i qui restent entre les limites
Ho Hq ^0 -So
cherchons la différentielle de la somme
par rapport aux quantités e^, ej, e^, . . ■%i;^.
En désignant par u un des nombres 0, 1, 2,. . .2k — 1, nous voyons que les équations (7), différentiées par rapport à e^, nous donnent les égalités suivantes
des
des
2^(^,<.>)-.-^2('-^i)!'.-'"'WT^=o, 2¥(V»')"'---2(2*-i)y/°'(V"'r'-ï!^=o.
En multipliant ces équafious par les constantes arbitraires
et les additionnant, nous trouvons
-H2wniAH-2w»>-H. . .-.-(2*-i)x,,,(^,r-']^=-(-i)«x„
ce qu'on peut présenter, plus succinctement, comme il suit
à l'aide de la fonction entière 6 {%) définie par l'égalité
e{^ = \^\x^\^-\-. ..-^ \^^ a^*~\ Pour déduire de là l'expression de la dérivée
d[g(0)^-y(oV^,-<-... + y{'»^i]
donnons aux constantes arbitraires de telles valeurs que la fonction
satisfasse aux 2k conditions qui la déterminent complètement
(10) f>'(fl:of»)}=^/{a:W) =. . .^6'(x\^)=0,
(1 1) ^ K'"') = 0 (x,^') =...^0 (:c!«'^.) = 0, (Î2) dixj:''^) = 0 (rt^o)^.) = . . . = ô\x^''\^) = 1.
Toutes ces conditions remplies àl'égard de la fonction 6(x), l'équation obtenue ci-dessus se réduira à l'égalité
qui donne l'expression de la dérivée cherchée d'après un des coefficients de la fonction entière
0{x) = \~^n\x-^.,.~\- \^^ ai'*~\
déterminée par les équations (10), (U), (12)*). Pour déterminer le signe de cette dérivée, défini à l'aide de celui du coefficient \ de la fonction â (x), remarquons que d'après (10) on satisfait à l'équation
â'{x) = 0 par les h quantités
De plus, on y doit satisfaire par certaines autres quantités situées dans chacun des ja — I intervalles entre
et dans chacun des fc — [j. — 1 intervalles entre
car d'après (11), (12) on a
Û (iTo'"'} = â (rc/^') = 0 (xj'") = ... = & (x^\;), 6 (ic'oy = e [é'\^>, = 0 (x<*"^^^) =.... = tf (a; V,)-
En remarquant que le nombre de ces intervalles plus le nombre des quantités
^ (OJ ~ (0) ^ (0) JO)
donne la somme 2k — 2, égale au degré de l'équation
nous en concluons que
1) toutes les racines de l'équation
6'{x) = (i ont de valeurs réelles;
2) toutes ces racines sont simples;
3) h de ces racines sont égales aux quantités
*) Ce polynôme b(x) peut être présenté par ta formule
^ ' ^ {X — Xii«)f [<P' (o;,-lo)j]« '
et h — 2 autres sont situées séparément dans chacun des intervalles entre les quantités
D'où l'on voit que l'équation
n'aura j)as de racines ni hors des limites
ni dans l'intervalle entre a:'"' , a;™ et, comme, d'après ce qui a été dit,
il s'en suit que toutes les racines de cette équation ont de valeurs positives. En s'appuyant sur ce résultat, il n'est pas difficile de déterminer les signes des coefficients
dans le polynôme
De'ce que l'équation
6'(x) = 0 n'a pas de racines entre
x = x''\^, x = xj;'>'>
il s'en suit que dans cet intervalle la dérivée 0'{x) ne change pas de signe; de ce que d'après (11), (12)
le signe constant de O' {x) dans cet intervalle doit être -h. D'où l'on voit que la fonction d'(x), en s'annniant pour ^^^a;'"' , va noua présenter la
variation de signes suivante: 1-.
II en est de même, lorsque x franchit
les racines simples de l'équation
car dans chacun des intervalles entre ces racines il se trouve une racine
simple de uotre équation. Ou voit de là que, x franchissant x = Xt), la fouction 6'{x) passe de — à -4-, et comme l'équation
n'a pas de racines hors des limites x^x^-'^\ x^x'-''\.^, il en résulte que la dérivée ù'{x) reste négative pour toutes les valeurs dea; inférieures à a;,,'"'. D'où il suit que la dérivée û'ix), pour ic=;0, a une valeur négative et que la fonction primitive â(x) décroit entre a!=0, a;^ic/*. Et cela, en vertu des égalités (11) qui donnent
6 (rcp'"*) = 0,
ne peut avoir lieu que pour Ô (o) >■ 0.
Après avoir établi ainsi que û'{o) < 0, Û{p) > 0, nous en concluons que dans la fonction
â (x) = Xq 't-\x ~t-X^x^ -t- .
le premier terme est positif et le deuxième est négatif. Quant à ses autres termes, leurs signes se déterminent aisément d'après celui de \ , en s'appyant sur ce fait que toutes les racines de l'équation
â'ix) = \-t-2l^x-¥'...-\-(2k~l)'K^^x'^-\
comme nous l'avons vu, ont de valeurs positives, et en conséquence la série
i que des variations de signes. Nous trouvons ainsi que le coefficient \, quelque soit u, doit avoir le même signe que ( — l)^
§ 5. D'après ce que nous venons d'établir à l'égard du signe de \, l'équation (13) donne pour toutes les valeurs de i
fl(y^(0)-4-^oV^,-.-...-.-!/M;i,)
D'où l'on voit que, lorsque les quantités e^, e^, e^, entre les limites c
diminue ; on trouvera doue son mininnim entre ces limites pour
1 ft ftî pft— i-
^0~^' ^l~flo' ^8~ffo'" ■ '^S*-'" ffo '
OU maxinmm pour
l^ h Tfi ^
Comme, d'après notre notation (§ 3),
donnent les quantités auxquelles se réduisent
!/o ) ifi ) ffa f • •if k—i pour
= îr, e,=
et
W. <> yî'^-'-y'k-i
ses mêmes quantités pour
1 7j ftî __ ft=^— 1
nous en déduisons, eu vertu de ce qu'on a établi à l'égard du maximum et du minimum de la somme
les inégalités
(1*) y'\-*- î/' V. -*-•■• -^ y"\-, > y'r -f-»',*! ■*■■■■->- »'.-!, (16) j,^<«i-^y;^,-H. . .H-;,<v,< Vh-ïV,*- • •--/.-,•
En passant aux solutions des équations (1) correspondant au nombre arbitrairement grand des inconnues, posons d'après (6)
sont des quantités comprises entre les limites indiquées dans le § 3. Comme, d'après notre notation, pour ces valeurs de
*?û> ^11 ^Sî' ■ •'^ïi— l
î/o=yoZ y,=yri 2/>.=<',...2/*.=A-p
nous eu concluons, d'après le § 2, que pour s < x^-"^ ou doit avoir
et dans le cas 3 > xJ-°^ on doit avoir
Or, eu remarquant que pour p.=i-f-l l'inégalité (14) donne
et pour }j. = i l'inégalité (15) donne
y m ^ ylO)^^^ -f- . . . -1- y\^ < y'\ -+- y".^^ -h . . . -t- y\^ , nous en tirons
\' -+- ^<'\^y -•-... -I- u%, > y'i^, -+- y'i^, -+-... H- y\^^ pour le cas
(16) \<''P, et
V-^ «',„-<-■ ••-!-«',.< y/' -^ »"(*,-*-•• ■-*-»"*, pour le cas
Mais, d'après ce qu'on a démontré à la fin du Ménaoire mentionnée dans le § 3, on a daus nos hypothèses, pour chaque l,
xP£xP, xl;'^>xp;
donc l'inégalité (16) aura lieu nécessairement pour ■î<ic/'; ainsi quel'iuégalité (1 7) pour z > x^.
Par conséquent nous aurons l'inégalité
toutes les fois que z < x^' et l'inégalité
dans le citô s^ > »/.
Ainsi, de la solution des équations (8), (9) aux 2& inconnues on peut déduire les limites supérieure et inférieure de la somme
composée des carrés des valeurs des inconnues
pour toutes les solutions réelles des équations, quelque grand que soit le nombre des inconnues. Les quantités données Co, G^, Gj,. . . G^^^ peuvent plus ou moins différer ici des quantités c^, Cj, c^,. . ,c^,j pourvu que les différences
Oi— Oo, G,-c„ C?,— e,,...q^— c^j,
restent comprises respectivement entre les limites
Ha Ho B(, Ha '
où h, H(, sont des quantités positives assujetties aux conditions énoncées dans le § 3. Quant aux quantités
elles s'obtiennent aisément, comme nous l'avons déjà dit dans le § I, à l'aide du développement des expressions
