Si l'on suppose pour rc <; fl, et

pour x > (i, nous trouvons que la somme

iog 2 f{2) -t- log 3 f(S) -+- log 4 /'(4) -H . . .

se réduit à la somme des logarithmes des nombres 2, 3, 4, . . . . E(ay, et alors notre formule (D) donne la décomposition de cette somme en plusieurs sommes composées des seuls nombres premiers, décomposition qui était la base des recherches faites sur les nombres premiers par A. de Polignac et moi.

5. En donnant d'antres valeurs à la fonction f(x), on obtient de nouvelles formules, qui peuvent avoir d'utiles applications. On trouve, par exemple, que la somme

croît indéfiniment, quand c tend vers zéro.

Comme les termes de la série, pour c^=:0, se réduisent à ±1, selon que les facteurs correspondants ont la forme 4«. -i- 3 ou la forme 4w -i- 1 , on est conduit à cette conclusion: Il y a une différence notable dans la répartition des nombres premiers des deux formes 4n-i~ 3, 4n-i~l: la première forme en contient beaucoup plus que la seconde.

Bur la eoupe des vêtements.

(AsBociation française pour l'avancement des sciences. 7 session. Paris. Séance du 26 août 1878).

Après avoir indiqué que l'idée de cette étude lui est veuue lors de la communication faite, il y a deux ans, au Congrès de Clermont-Ferrand, par M. Edouard Lucas, sur la géométrie du tissage des étoffes à fils rectilignea, M. Tcliébichef pose les principes généraux pour déterminer les courbes suivant lesquelles ou doit couper les différents morceaux d'une étoffe, pour en faire une gaine bien ajustée, servant à envelopper un corps de forme quelconque.

Eu prenant pour point de départ ce principe d'observation que dans la déformation d'un tissu on ne doit considérer d'abord, dans une première approximation, que l'altération des angles respectifs formés par les fils de chaîne et les fils de trame, sans tenir compte de l'allongement des fils, il donne les formules qui permettent de déterminer les contours imposés à deux, trois ou quatre morceaux d'étoffe pour recouvrir la surface d'une sphère, avec la meilleure approximation désirable. M. Tchébichef présente à la section une balle de caoutchouc recouverte d'une étoffe dont les deux morceaux ont été coupés suivant ses indications; il fait observer que le problème différerait essentiellement si l'on remplaçait l'étoffe par une peau. D'aiHeurs les formules proposées par M. Tchébicbef donnent aussi la méthode à suivre pour la juxtaposition des pièces par la couture.

Conformément à la volonté de Tchebychef, l'étude aSur la coupe des habits» trouvée dans ses papiers ne doit pas être imprimée, car le manuscrit ne porte pas l'inscription: nimprimer».

Sur les parallélogrammes les plus simples symétriques autour d'un axe.

(Association française pour l'avancement des soiences. Congrès de Paris. Séance du 29 août 1878 IIlKOJia MaTeiaaTHKH hhctoH h npmtJia«Ho8 1885).

§ 1. A l'Exposition universelle on peut voir actuellement les différentes applications d'un parallélogramme articulé, que j'ai trouvé d'après un théorème sur les fonctions qui s'approchent le plus de zéro. Ce parallélogramme, ne contenant que trois tiges droites, donne le mouvement rectiligne avec une approximation très-notable, qui surpasse celle qu'où obtient par les parallélogrammes composés des mômes éléments, c'est-à-dire par le parallélogramme simple de "Watt et le mécanisme d'Evans.

§ 2. Ce parallélogramme est composé de deux tiges ÂCf -^jCj, d'i longueur, qui tournent autour de deux points fixes G, G^ et sont reliées à leurs bouts A, A^ par une troisième tige AA^ (fig. 1). C'est le milieu M de cette dernière tige qui décrit une ligne droite avec une précision considérable, toutes les fois que les longueurs des tiges AG, AiCi et la distance CGi des points fixes G, G^ remplissent les conditions suivantes:

1. La distance GGj doit être rigoureusement égale au tiers de la s de lignes AG, AA^, AjG^.

3. La longueur de la tige AA^ doit surpasser le guo/rt de celle des tiges AG, Afi-^ , mais ne doit pas différer notablement de cette limite.

A mesure que la différence AA, — x AG tend vers zéro, la longueur de la portion sensiblement rectiligne de la courbe décrite par le point M diminue, mais en même temps la rigueur avec laquelle elle représente une ligne droite croît plus rapidement que ne diminue sa longueur.

§ 3. Je vais moutrer maintenant les résultats auxquels je suis parvenu n N ^ en examinant un mécanisme un peu plus compli-

Z~^ que que le précédent. Ce mécanisme est com-

^ posé des mêmes éléments, cependant le point

y qui décrit sensiblement une ligue droite ne se

\ trouve plus sur la ligne AA^, mais sur une per-

\ pendiculaire NM, menée de son milieu (fig. 2).

\ D'après la méthode que nous venons de

*"' *-'' mentionner, on reconnaît que pour la précision du

jeu de ce mécanisme, il est indispeusable que c=iH?faitIa valeur suivante:

•^^^ ^=7^ [(I r cos cp — a) sin y — (r cos ^ — a) |/^'" ^^'^ ^Z^] •

Dans cette formule r et o désignent les longueurs des lignes ÂG=A^O^ et AA^, et cp la valeur commune des angles AGC\, A^O^O, A^AC, AAfi^ dans la position moyenne du mécanisme.

§ 4. Toutes les fois que le lieu du point M est choisi conformément à la formule (1) et que la différence

ne s'éloigne pas trop de zéro, ce mécanisme donne le mouvement rectiligue avec une précision notable. Cette précision croît à mesure que la différence (2) s'approche de zéro, mais eu même temps la longueur de l'arc qui jouit de cette précision diminue.

Dans le cas oii l'on a rigoureusement

-2 sin tp = 0,

cette longueur se réduit à zéro, et alors la courbe décrite par le point M a un contact du 5™ ordre avec une ligne droite.

Nous allons nous arrêter sur ce cas-limite, vers lequel converge notre mécanisme à mesure que la précision de son jeu va en augmentant, et dont il diffère peu, si cette précision est suffisante.

§ 5. Pour ce cas-limite, d'après les équations (1), (3), nous trouvons:

O 2 co3^ :p CQ9 2<p ^. ^ ^ CQ3^ <f C03 2<f tang 3y ^ COS 3f ' coa Sf

En partant de ces valeurs de AA^ = o, MN= c et remarquant que Fou a AG^ A-fi^ = r, on trouve au moyen des triangles CDC^ et ADA^ la formule suivante pour la détermination de CC^ = 1, h savoir

, sîn^ 2a

Ces expressions des quantités a, h, c ne changent de signe que pour Jes valeurs de l'angle cp qui annulent

sin 2ç, cos 2fp, sin 3;p, cos 3ç et qui seront

d'où il suit que notre mécanisme ne peut clianger d'aspect entre les limites indiquées, c. h d.

de ç= 0° jusqu'à ç = 30°; de 9^45° jusqu'à cp ;= 60°; » ç = 30°, B 9 = 45°; « <p = GO° » 9 = 90°.

Pour rendre bien compte de toutes les modifications que ce mécanisme peut subir, nous avons calculé, d'après les formules précédentes, les éléments pour quatre valeurs de 9, prises à égales distances de ces limites, savoir;

Les figures (3), (4), (5), (6) représentent notre mécanisme avec les éléments qu'on trouve comme nous le venons de dire, et en prenant r égal à 0.05 mètre.

Toutes ces modifications donnent le mouvement rectiligne avec le même degré de précision; notamment la courbe décrite par le point M a toujours un contact du 5° ordre avec une ligne droite. Sous ce rapport, toutes ces modifications sont également bonnes; mais on remarque une grande différence entre elles, quand on passe au cas où l'on cherche à obtenir le mouvement rectiligne pour une course plus ou moins grande.

8 6. Dans le cas où la différence

- sin 2ip,

ne se réduit pas à zéro, mais en diffère peu, le mécanisme articulé, pour lequel c a la valeur (1), donne le mouvement rectiligne avec une grande précision, et cette précision aura lieu le long d'une courbe d'une certaine longueur, La détermination de la longueur de cette courbe se fera de la manière suivante. Eu posant

Vf

et en désignant par t celle des racines de l'équation

2 sin t[)(l -i-0-h^(3h-0 — (1— ^') ^=0,

qui se rapproche le plus de 0, on cherche l'angle «^ d'après la formule cos a = 1 ^ t' - ^''' r/iH-aum,-.-i^ Y -1

Cet angle, pris avec les signes -t- et — , donne les inclinaisons-limites de la ligne AA^ sur la ligue CC, pour le commencement et pour la fin de la course en question. Ayant trouvé l'angle «j, nous aurons la longueur de la course cherchée par la formule

-,, , 2 (2— r«) rr— ain 9 2 (1 -f- 2( 3itnp-i-(') H

Le long de toute cette course, les écarts de la courbe tracées par le point M d'une droite restent comprises entre -t- E et — E, la valeur E étant déterminée par la relation

§ 7, Dans le cas où l'on se propose d'obtenir une précision et une course préalablement données, on prendra pour a, r, 9, c des valeurs qui satisfont au£ équations (1), (4), (5), et dans lesquelles ï, £ doivent avoir

rp '2ril-i-2tsia<f-t-t^)t^

' (2 ain ç -»- 3t -+- 2(« sin f -+- t^f

des valeurs données. Comme l'ou doit vérifier seulement trois équations, on pourra choisir l'aDgle tp à volonté. Dans ce cas, en donnant à l'angle 9 les valeurs que nous avons indiquées ci-dessus, on aura les quatre formes différentes du mécanisme que nous avons déjà vues. Toutes ces formes jouiront de la même précision le long de la même course; mais elles différeront notablement entre elles par la longueur de leurs éléments et par leur disposition.

§ 8. Pour comparer entre elles ces quatre modifications, nous allons chercher les expressions approximatives de leurs éléments, en supposant

que le rapport y a une valeur très-petite, ce qui a lieu toujours dans les mécanismes à grande précision.

En cherchant, dans cette hypothèse, le développement de *■, a, 6, c en série, on trouve que ces développements, arrêtés aux premiers termes, donnent:

^ î coa 39 ,y 2coa3(p ^T.

8 aiii 2? Y cos f . cos^ 2f E '

" 4 taag 2tp

g l cos' ip . tang

8 tang 2ip

coa ç . coa^ 2;? E "

Les figures (7), (8), (9), (10) représentent les quatre formes du mécanisme en question avec leurs éléments déduits des formules précédentes en j faisant

ç = 15°;. 37° 30'; 52^ 30'; 75° et en posant

Théorème relatif a la courbe de W^att.

(Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, II série, T. V, 188], p. i

Si deux sommets A, A^ du triangle AA^M glisseut respectivement sur deux circonférences de centres C, C^ , la courbe décrite par le sommet M ne peut avoir avec sa tangente un contact d'ordre 5 (limite qui ne pourra ja-

mais être dépassée) que dans le cas où les angles CAA^, G^A^A ont les valeurs