CAA

où n, »i sont des nombres entiers quelconques.

Avec ces valeurs des angles OAA^, C{AiA le contact est toujours de l'ordre 5 lorsque les rayons AC, A-^Gj des deux cercles ont les valeurs suivantes

cos 2

cos* {SCAAi -t- t)

i IT

cos^ (30,^,4 -Y)

hO,A,A-k\ "'■IC,A^-Y)

^,0, = ^,3f, où Y est l'angle sous lequel se coupent la ligne AA^ et la tangente eu M.

Sur les expressions approximatives des Intégrales définies par les autres prises entre les mêmes limites.

H npoiOKOjzH sacÈ^aHifl uaTeuaTHiiecKaro oSmecTBa npii ÏÏMnepaTOpCKOMi» Xapt- KOBCKOHT. ynHEepciiTeTi 1882 r-, II, cip. 93—98.

{Traduit par M. A. Tichomandrifcsky).

Lorsqu'on coanait les valeurs de la fonction F{x) pour toutes les valeurs de la variable x ^& x^a jusqu'à a; = 6, la dernière des formules que nous avons déduites dans le Mémoire Sur les fractions continues *), après le changement des sommes en intégrales, donne le développement de la fonction F{x):

où ô est une fonction quelconque, continue ou discontinue, qui conserve le signe ■+- entre les limites x = a, x = b, entre lesquelles sont prises toutes les intégrales, et (l'a, '\'i, ^'j? ■ ■ . • sont les dénominateurs des réduites qu'on obtient, en développant l'intégrale b

en fraction continue.

En développant d'après cette formule deus fonctions quelconques m, v, et en intégrant le produit uvi^dx depuis x=:a jusqu'à x = b, on trouve que l'intégrale

1 uv&dx se ramène à une série composée de termes de la forme;

oii les nombres m, n prennent toutes les valeurs depuis 0 jusqu'à ™.

*) T- r, pag. 203—23

En remarquant que par la propriété connue des fonctions ^poi ^n '\'i^■—

s'évanouit pour des valeurs différentes de m, n, on déduit de cette série le développement suivant de l'intégrale ^uv^dx:

En arrêtant cette série sur le terme

Jw^-n^i Mx . J Bijin—i Mx

et en désignant par R^ le terme complémentaire, nous aurons l'égalité:

f , { ui/d^dx . { vi/„^dx { u^„^.Mx . { v^„,^dx „

uvMx = •■! p- — ^ — -+- H- ~- — î^-4 — — — — ^ 1- iî„ .

J J V^'ïi' i^'^n—i ^^«^

En déterminant l'expression de U^ dans ce développement de l'intégrale juvbdx, nous avons trouvé qu'il possède les propriétés suivantes: 1) Sa valeur t

JK^

m A, B, sont les plus grandes valeurs numériques des dùivées %^, .— ^ entre les limites d'intégration.

2) Si entre les mêmes limites les dérivées 3-^, -s-^ ne changent pas de signes, le reste R„ a le même signe qus le produit ^ • j-s-

Pour en faire une application, considérons le cas de n ^ 1.

Comme les premières réduites de l'intégrale

qu'on reçoit par son développement en fraction continue sont

0 J*te

1 ' j^âx .x — jxbdx'

les foiictious i}o, '\i^, qui entrent dans nos formules, seront 1}/^=: 1; '\i^^j&dx.x — jxMx.

En posant dans nos formules

et eu y portant ces valeurs des fonctions 4*01 'ki ^^^^ obtenons l'égalité

uvMx = ^ T— =^ t-Mj^

j itdx

et pour la limite supérieure de valeur numérique du terme complémentaire l'expression

où A, B août les plus grandes valeurs numériques des dérivées ^, ^

entre les limites d'intégration. Dans le cas, où les dérivées j|, ^ ne changent pas de signes entre les limites d'intégration, le reste B^ aura, d'après ce que nous avons dit plus haut, le même signe que le produit ~ • ^. Eu posant a = 1 et en prenant 0 et 1 pour les limites des intégrations, nous aurons par la formule trouvée plus haut l'égalité

J uvdx^j udx. t vclx -H JS,, 0 00

où la limite supérieure de la valeur numérique du reste R■^ sera

Pour une autre application considérons le cas, où

et les limites des intégrations sont — 1 et -+- 1 . Dans ce cas les fonctions 1^0) 'I'd 'l'a) • • ■ ■ se réduisent, comme on le sait, aux fonctions Zq, X,, Xj,.... de Legendre, en vertu de quoi on obtient d'après uotre formule l'égalité;

\uX(, àx , f vXf, dx \ ''^^n 1 ^^ ■ f *'^n i ^

uvdx = — :^ — — — — — -I- . . . . -+- ~ —^ — H B^,

JZa^dx j:K\^idx

d'où l'on tire, après y avoir porté les valeurs des

J Xg^ dx, J X^'dx, J X\^ dx,

la formule

-^1 -t-i -Kl -+1 M-l

luvdx = ^\uX^dx.\ vX^dx-i-...-^ ^p^ f uX^^dx .\vX^^d3>^R^. -1 —1 -1 -1 -1

En rémarquant que dans le cas considéré on a

f ']?Jdx = { X\ dx = :r-^'

nous trouvons, d'après l'expression ci-dessus de la limite supérieure de la valeur numérique du reste R^, que dans le développement trouvé par nous de l'intégrale

J uvdx

la valeur numérique du reste ne surpassera pas la quantité

où A, B sont les plus grandes valeurs numériques des dérivées j-^, ^ entre a;^ — 1 eta; = -i-I. Quant au signe du reste, il sera certainement le même que celui du produit ^ï^ • ^.si les dérivées ^j^, ^ ne changent pas de signes entre x=: — 1 eta! = -i-l.

Remarquons en terminant, que ce que nous avons montré par rapport au reste du développement de l'intégrale

J uv^dx

peut servir à la détermination du degré d'exactitude, avec laquelle le développement cité de la fonction F{x\ arrêté à un terme quelconque, donne la valeur de la fonction.

Sur la reetifleation des courbes.

Association française pour l'avaucemeut des sciences. Il Session, La Rochelle. Séance du

M. Tchebichef montre dans cette communication le parti que l'on peut tirer, pour la rectification des courbes, de l'emploi des points dont les ordonnées servent à trouver l'aire d'après la méthode de quadrature qu'il à communiquée au Congrès de Lyon, méthode qui vient d'être enrichie par les recherches très intéressantes de M. Kadau. En traitant de cette façon le cas le plus simple, on parvient à reconnaître que l'arc d'une courbe peut être représenté, avec une approximation notable par la somme des deux côtés égaux du triangle isocèle construit sur la corde de l'arc comme base,

et ayant pour hauteur les (I/y)'^"'*^ de la flèche élevée perpendiculairement au milieu de la corde jusqu'à sa rencontre avec l'arc.

Une machine arithmétique à mouvement continu.

La Bevm Seientifigue de la France et de l'étranger. Troisième Série. Tome IV [XXX de la colleclJon). Numéro ]3 du 23 septembre 1882.

Quelque simple que soit la règle de l'additiOD, il n'est pas facile de l'effectuer par des moyeus mécauiques. La difficulté que la mécanique y reucontre vient du changemeut brusque des chiffres de la somme, qui ne peut être réalisé qu'à l'aide des organes compliqués et délicats. Les nombreuses tentatives, faites avant le docteur Roth pour construire une machine pouvant produire le changement brusque de plusieurs chiffres dans la somme, et la machine du docteur Eoth elle-même qui a pu le faire, ont montré clairement combien il est important, pour la simplification des additionneurs, de les délivrer de la nécessité de changer brusquement leurs indications. Il n'y a aucun doute que ces machines, aussi bien que toutes les autres machines arithmétiques qui ne font que répéter l'addition ou la soustraction, deviendraient bien plus faciles à exécuter, si l'on se contentait des changements continuels dans leurs indications. Mais la lecture des chiffres devenant alors plus difficile, il se présente la question suivante: N'est-il pas possible d'affaiblir l'inconvénient provenant de la continuité des changements des indications dans l'additionneur au point où il peut être admis sans risques, en raison des avantages que cette continuité otfre pour la construction?

Dans la machine à additionner que j'ai eu l'honneur de présenter au congrès de Olermont-Ferrand, et qui est maintenant complétée par un mécanisme pour opérer la multiplication et la division, cet inconvénient est presque écarté. Dans les lucarnes de cette machine on voit les bandes

blanches, parmi lesquelles ou distingue aisément la principale qui parait dans toutes les lucarnes. Comme dans la première lucarne à droite il n'y a que le commencemeut de cette bande, il est facile de la suivre en allant de droite à gauche. C'est cette bande qui contient tous les chiffres de la somme.

Passons maintenant aus conditions qui doivent être remplies par le mouvement des tambours qui portent les chiffres de la somme. Nous nommerons réceptrices les roues dentées que l'on tourne pour ajouter des nombres et dont chacune correspond à l'unité d'un certain ordre. Conformément à la règle de l'addition, le mouvement de chaque tambour doit être composé de deux autres: du mouvement déterminé par le chiffre du rang correspondant du nombre ajouté et de celui déterminé par le report des chiffres des rangs inférieurs. La vitesse du premier mouvement doit être en rapport constant avec celle de la réceptrice correspondante; ce rapport sera égal à celui du nombre de dents de la réceptrice et du nombre total des chiffres gravés sur le tambour. En vertu du second mouvement ce tambour tournera d'un angle égal à la distance de deux chiffres, quand le tambour qui le précède tourne d'un angle dix fois plus grand. Donc, dans le cas du mouvement continu et uniforme, ce mouvement d'un tambour quelconque doit être dix fois plus lent que celui du tambour qui le précède. Par conséquent, la vitesse de chaque tambour doit être composée de la vitesse de la réceptrice correspondante, multipliée par un coefficient constant, et de la dixième partie de celle du tambour précédent Or, le mouvement des tambours composé de cette manière est facile à réaliser au moyen des trains épicycloïdaux, si toutes les roues réceptrices et tous les tambours sont montés sur le même axe et si chaque roue réceptrice se trouve entre le tambour qui lui correspond et celui qui la précède. Pour y parvenir on n'a qu'à faire porter à chaque roue réceptrice un train épicycloïdal dont les roues engrènent avec les roues solidaires aux tambours entre lesquelles elle est placée.

D'après la propriété de ce rouage on trouve que pour donner aus tambours une vitesse, composée conformément à ce que nous venons de voir, il est nécessaire et suffisant de remplir ces deux conditions:

1) Le nombre de dents sur les roues réceptrices et celui des chiffres des tambours doivent être dans le rapport 9 à 10.

2) Le rapport des nombres de dents des roues qui composent chacun des trains épicycloïdaus doit être dix fois plus grand que celui de dents des roues avec lesquelles elles engrènent.

Ces conditions sont très faciles à remplir. Dans la machine que j'ai fait construire, la première condition est remplie, eu donnant aux roues réceptrices 27 dents et en gravant trois fois les dix chiffres 0, 1, 2,, , ., 9

sur les tambours. Conformément à la seconde condition, les roues composautea des trains épicycloïdaux ont 48 et 12 dents, et les roues avec lesquelles elles eugrèueût portent 24 et 60 dents. De cette façon les échappements qui produisent les changements brusques des chiffres de la somme provenant du report sont remplacés par les trains épicycloïdaux qui produisent le même effet graduellement,

La différence entre la vraie valeur du report et celle que donnent les trains épicycloïdaux étant toujours au-dessous de 1, les écarts angulaires entre la position des tambours dans cette machine et celle qu'ils occuperaient dans une machine à mouvements brusques restent plus petits que la distance de deux chiffres. Par conséquent, en faisant les lucarnes assez grandes pour qu'on puisse y voir à la fois deux chiffres du tambour, il est certain que les vrais chiffres de la somme ne peuvent manquer d'y paraître. Qnaut à l'ambiguïté qui se présente toutes les fois qu'où voit dans la même lucarne deux chiffres, elle est aisément écartée, comme nous l'avons dit, au moyen des bandes qui sont tracées sur chaque tambour, en ayant égard ans écarts angulaires dans la position des chiffres du tambour suivant.

Telle est la partie essentielle de la machine h additionner. Les organes accessoires sont les suivants:

1) Des arrêts avec des ressorts qui obligent les roues réceptrices do revenir toujours dans leurs positions normales et d'yrester jusqu'à ce qu'on les fasse tourner, ce qui est important pour la justesse du jeu de la machine.

2) Une barre munie de griffes qui arrêtent successivement tous les tambours sur 0, en commençant par le premier à droite, et qu'on fait agir en ramenant vers soi le bouton que l'on voit au côté gauche de la machine. On s'en sert pour réduire à zéro le nombre que l'on lit sur les tambours, après quoi on doit pousser le bouton en arrière pour rendre mobiles tous les tambours et toutes les roues réceptrices.

En considérant le mouvement des tambours nous n'avons parlé que de l'additton; mais il est clair que pour opérer la soustraction ou n'a qu'à tourner les roues réceptrices en sens inverse.

En complétant cette machine par un mécanisme qui ferait ajouter ou soustraire le nombre donné autant de fois que l'on veut, on pom-ra s'en servir pour opérer la multiplication ou la division. Un tel mécanisme est facile à composer à l'aide des roues dentées qui peuvent engrener avec les roues réceptrices, eu montant sur les prolongements de leurs axes des pignons qui peuvent glisser le long de ces axes et qui, à leur tour, suivant la place qu'ils occupent, engrènent avec les roues munies de 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3; 2, 1, 0 dents et collées ensemble, de manière à présenter un cylindre denté. Il est clair qu'eu faisant tourner ce cylindre une fois dans l'un ou

l'autre sens, ou ajoutera ou on soustraira le nombre dont les chiffres do différents rangs sont égans ans nombres de dents qui pousseront les piquons

Pour l'exactitude du jeu de ce mécanisme il est important que les pignons s'arrêtent aussitôt que les dents du cylindre cessent de les pousser. En chercliant à rendre absolument impossibles les fautes qui naissent de ce que les pignons ne s'arrêtent pas toujours assez vite, même sous l'action des ressorts, nous avons donné aux dents des pignons et du cylindre une forme telle que les pignons ne restent jamais libres et, par conséquent, cessent de tourner au moment où les dents du cylindre ne les poussent plus.

Sur les fractions algébriques qui représentent approximativement la racine carrée d'une variable, comprise entre les limites données.

Bulletin de la société mathématiiiue de Fraace. T. XII, 1884, p. 167—168.

Quaud on cherche parmi toutes les fractions de la forme

f(x), F{x) u'étant pas d'un degré supérieur à m, celle dout le logarithme, depuis a; = -^ < 1 jusqu'à x^a>\, s'écarte le moins du logarithme de Va;, on trouve une fraction qui peut être présentée de la manière suivante:

où ç (ic) est une fonction d'un degré m, qui, à un facteur constant près (tout à fait arbitraire), peut être déterminée à l'aide de cette équation

ç (yi-ax) 9 (-i/l-a^)

Ainsi, en prenant m=\, on trouve, pour l'expression aproximative de 'Vx entre ic ^= --, a; :^ o, la fraction

où Je est une constante dont la valeur est donnée par l'équation

fc* 6^^— 4 (ra-H-i-) A — 3 — 0, et d'oij, en posant

vab y B

ou tire, pour l'expression approximative de VZ outre Z=A, Z= B, cette formule

■VJb ^^--^g.

Z-i-kVAB

Sur la transformation du mouvement rotatoire

en mouvement sur certaines lignes, à l'aide de

systèmes articulés.

ciété mathématique de France, T. Il, 1884. p. 179—187. Uluojia MaTeMaTHKH yiicioR II npiiKjiaatîOH. 1885,

1. Soient (fig. 1) ABC, ABM deus triangles isocèles, ayaut un côté commun AB, égal aux côtés AG, AM. Si l'on fait mouvoir les sommets A, B du triaugie ABM sur les cercles décrits du sommet G du triangle ABC et d'un point quelconque G^ pris sur son côté BG, le sommet M du triangle ABM décrit, comme il n'est pas difficile de s'eu assurer, une courbe symétrique autour de l'axe passant par les points M, G. Si la ligne BG^ n'est pas trop longue, elle peut faire uu tour complet autour du centre G^, et alors le point M décrit une courbe fermée, symétrique autour d'un axe, comme nous venons de le dire. Ceci nous présente uae transformation très

simple du mouvement rotatoire en mouvement sur les lignes fermées, de formes très variées et symétriques autour de certains ases. Une telle transformation du mouvement rotatoire pourra être avantageusement employée dans la pratique, si l'on trouve les conditions sous lesquelles la courbe décrite par le point M s'approche suffisamment près de celles qui donnent la solution de quelques problèmes cinématiques. C'est ce que nous allons faire maintenant pour les cas les plus simples et les plus fréquents dans la pratique: à savoir, quand on cherche à avoir le mouvement sur un cercle ou sur une ligne droite.

2. Arrêtons-nous d'abord au cas où le poiut M doit décrire approximativement le cercle complet, quand la ligue BG-^ tourne une fois autour du centre C, . Nous supposerons données les longueurs AO = AB, BG^ et la distance 6'C, des centres C, (7j , et nous chercherons le cercle duquel, par uu chois convenable de l'angle BAM, s'approche le plus la courbe décrite par le point M. D'après l'expression de la limite des écarts que présentera cette courbe avec le cercle duquel elle s'approche le plus possible, il sera aisé de voir les conditions que doivent remplir la longueur des lignes AG=ÂB, BG-^ et la distance des centres C, Cj, pour que ces écarts soient admissibles dans la pratique.

Pour y parvenir, nous calculons d'abord les inclinaisons de la ligne AG sur CG^ (ligue des centres O, G^ pour deux positions qui correspondent aux moments où le point B se trouve sur la ligne GG^ ou son prolongement.

En désignant par (pj, œ les angles de ces inclinaisons, ou les trouvera à l'aide des formules

ce, -1- ne. . OG, — BC,

'^"^¥= \aC ' ^°Syi= 2AC

D'après les angles ç, (f^, on cherchera deux angles auxiliaires Ô, vj^, qui se déterminent ainsi:

Au moyen des angles cp, !p, , &, 'j- on trouve aisément tout ce qu'il est important de savoir:

1) L'angle BAM avec lequel le triangle ABM, par son sommet M, décrit la courbe la plus proche possible d'un cercle; 2) le rayon du cercle auquel s'approcbe le plus cette courbe; 3) la distance de son centre du point C; 4) enfin la limite des écarts de ce cercle et de la courbe décrite par le sommet M. On y parvient à l'aide des formules suivantes:

£^M = 2ir — 2^— 9 — ij/, , as — $1 -4- ij/ E == ^ BC, ,

zl ^-^9-4^ ■^'^'^'

. 4'-*-fi — 28 . 20-1-9-1-4'