DE TROIS ÉLÉMENTS QUELCONQUES

(TRADUIT PAR M. À. XIKKHOMANDRITYITKY.)

(puroxenie kr XXXVI romy Sanucoks Humneparopcrxoï Araremin Hayx®, X 8, 1880 r.)

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(Lu le 18 (30) décembre 1879.)

Fa ere

Sur les parallélogrammes composés de trois éléments quelconques.

$ 1. Dans le Mémoire sur les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par rapport à un axe, lu le 5-me décembre 1878, nous avons montré les conditions à remplir pour que de pareils parallélogrammes réalisent le mouvement rectiligne avec la plus grande précision possible. Ces parallélogrammes sont composés de deux droites (fig 1) AC, AC, qui

Fig. 1.

tournent autour des points immobiles C, C;, et d’une ligne A4, qui joint leurs bouts mobiles; un point Y, invariablement lié avec la ligne AA,, réalise le mouvement désiré.

Dans le cas, où AC=A,C,, AM — A, M, ce mécanisme devient symétrique par rapport à un axe perpendiculaire à la droite, passant par les centres C, C;. C’est ce cas particulier des parallélogrammes les plus simples qui à été l’objet du Mémoire cité. D’après les formules données dans ce Mémoire, on obtient les conditions, très simples, qui sont nécessaires et suffisantes pour que des pareils mécanismes réalisent le mouvement rectiligne avec la plus grande précision possible, lorsque leurs jeux sont infiniment petits. En con-

+) T. II, p. 285—297.

sidérant un parallélogramme dans sa position moyenne, lorsque les angles A,AC, AAC, sont égaux, ces conditions peuvent être exprimées ainsi:

1) Les angles 4.40, AA,C, sont égaux à =, À étant la valeur commune des angles A AM, AA, M, et n un nombre entier quelconque.

2) Le rapport de la longueur des droites tournantes AC, 4,C: aux côtés

AM — AM du triangle AA, M est égal à

cos? 39 cos 29. cos? 9?

o étant la valeur des angles 4, 4C, A4,0C,.

Dans le cas, où ces conditions sont remplies, le point A décrit une courbe qui a le contact du 5-me ordre avec une droite parallêle à celle qui passe par les centres C, C., et c’est la limite supérieure d’approximation à la droite des arcs infiniment pétits qui peut être obtenue dans le mouvement du mécanisme considéré.

Le cas des mouvements infiniment petits, pour lequel les formules générales, données par nous pour les parallélogrammes symétriques les plus simples, se réduisent aux égalités citées plus haut, est digne d’une attention particulière comme la limite, à laquelle s’approchent de plus en plus ces parallélogrammes, lorsque la longueur de la ligne, décrite par A pendant le jeu, devient de plus en plus petite, et du quel diffèrent peu les cas qui se présentent en pratique, où l’on ne cherche à rendre la plus proche d’une droite qu’une partie peu importante de la trajectoire du point A. Quant au passage du jeu infiniment petit du point A au jeu fini, on peut l’exécuter,

comme nous l’avons montré dans

le Mémoire intitulé: Théorie des

Fe mecanismes connus sous le nom

fe de parallélogrammes *), au moyen

des fonctions qui s’écartent le moins de zéro.

Fig. 2.

\ $ 2. Nous allons maintenant \ considérer ces mêmes parallélo- Lt grammes dans le cas général Ca g quand lesdroites tournantes AC, is A,C, et le triangle AA,M sont \ quelconques (fig. 2). Dans ce cas

général la limite supérieure d’approximation au mouvement rectiligne reste, comme il sera montré plus loin, le même, c’est à dire, les courbes

décrites par le point M ne peuvent avoir avec la droite de contact d’un ordre supérieur au cinquième. Les conditions pour qu’un tel contact ait licu, dans ce cas général, se ramènent, comme nous le verrons, aux égalités semblables à celles que nous avons obtenues pour les parallélogrammes symétriques, à savoir:

1) Au moment, où le point AZ arrive sur la droite FG, ayant le contact du 5-me ordre avec la courbe qu’il décrit, les angles 4,40, AAC sont déterminés d’après les angles du triangle AA, M par les égalités

MAO PRE AA OR IRE, où », n, sont des entiers quelconques, égaux ou non; 2) les rapports des lignes AC, A,C aux côtés AM, A, M du triangle AA M, sont déterminés par les égalités:

* Ÿ 6 RE cos? (3p +), A101 __ sp cos? (31 — Y)

5 cos? (o + +) ? 7 à cos? (91 — Ÿ) ?

AM cos (2 rt 2 — où

A AM + nr e= AAC= AT,

__A44,M+A2n,r | AA,C,— 3 ?

et y est l'angle entre la ligne AA, et la tangente FG au moment, où les angles 4, AC, AA,C, ont ces valeurs.

Quant à la direction de la droite FG tangente à la courbe décrite par le point M, cette droite F#G, d’après la propriété connue des courbes décrites dans le plan par des points en mouvement liés invariablement entre eux, doit être perpendiculaire à la droite AZS, menée du point M au point de rencontre des droites AC, AC; ce qui détermine complètement la diréction de cette ligne.

Pour embrasser tous les cas, où le triangle AA,M, dont les sommets A et À, se meuvent sur des cercles, décrit par le sommet M une courbe, ayant avec la droite le contact d'ordre 5, il faut donner aux nombres # et

n, les valeurs + 5 ep à

et on aura ainsi, d’après les formules écrites plus haut, neuf systèmes des valeurs pour les angles 4,40, AA,C. En déterminant pour chacun de ces 9 systèmes des angles 4 AC, A4,C, la direction de la tangente FG, nous trouverons ces deux valeurs pour l’angle y:

y = AGM; y = AGM +7,

qui donnent pour chaque système des angles 4, AC, A4A,C, deux systèmes des

droites AC, A,C,. Nous aurons donc ainsi en général 18 solutions du problème qui nous occupe, lorsqu’on considère le triangle AA, M comme donné.

$ 3. En déterminant l’équation de la courbe décrite par le point M, lorsque les points À et À, se meuvent sur des cercles, on remarquera que les conditions, sous lesquelles cette courbe aura avec la droite le contact d'ordre 5, sont représentées par un système de 4 équations de degrés plus ou moins grands. Vu la complication de ces équations, il serait difficile d'attendre qu’elles se réduisent aux égalités si simples, citées plus haut. On les obtient facilement, en remarquant que pendant les déplacements infiniment petits du triangle AA,M le sommet M se mouvera sur la droite FG avec l'exactitude jusqu'aux infiniment petits du 6-me ordre. Et par cela, avec le même degré de précision, le mouvement consideré du triangle AA,M pourra être déterminé d’après le mouvement des points AZ et À: du premier sur une droite, du second sur un cercle, et pendant ce mouvement, avec la même précision du 6-me ordre, la distance du point À, au point C, doit rester constante. En déterminant les conditions indispensables pour cela, on aura aussi un systéme de 4 équations. Mais ce système d'équations, au moyen des quantités auxilliaires, se ramène facilement à une équation du 4-me degré. La solution de cette equation nous donnera des relations, très simples, entre les quantités diverses de notre question; par là on aura les égalités mentionnées plus haut.

| Fes.

$ 4. En abordant (fig. 3) la détermination du mouvement du som-

met À, du triangle AA, M dans le cas, où le sommet A se meut sur la droite FG et le sommet À sur le cercle, décrit du centre C avec le rayon AC, nous prendrons ce centre C pour l’origine des coordonnées, la droite parallêle à FG pour l’axe x, la droite perpendiculaire à FG pour l’axe y.

Nous désignerons par «, B les angles variables formés par AM, AC avec l’axe Ox, et nous poserons

AC=7#r; CF=b; AA =a, AM=m, MAA, = À; MA,A = À,, CRD, Ch, En projetant la ligne brisée CA4, sur les axes des coordonnées, on

trouve pour la détermination des coordonnées du point À, pour les diverses valeurs de « et f les égalités

æ = Tr COS GB + a cos (A — &);

y=r sinf + a sin (4— a).

Afin de trouver la relation entre les angles «, 8, projetons la ligne brisée CAM sur l’axe y et, en remarquant que cette projection est égale à CF— b, nous en déduirons l'égalité:

b—7r sinf —" sin a, qui nous donne

(1) sing —"#2#+?,

cos = J/ 1 — ("AE

En portant ces valeurs de sin 6, cos 6 dans les expressions trouvées plus haut des coordonnées du point À,, nous aurons

œ = Vr?— (m sin « + b}? + a COS (A — a),

y = M Sin a + à Sin (À — à) + b.

En désignant par «, la valeur de l’angle variable « tout près de laquelle, selon ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent, les variations de la distance du point À, de C, restent infiniment petites d’ordre non inférieur au 6-me, et par r, la valeur de cette distance pour &« — «y, nous remarquons que l’expression de la distance de ces points

V{x Ur vUU);

étant développée en une série procédant suivant les puissances ascendantes de la différence sin & — sin &,, nous donne l'égalité:

(2) Ve — a) + (y—9) = 7, +XK (sin a — sin a) +. .

En prenant le quarré de cette egalité et s’arrêtant au 6-me degré de Sin œ — Sin &p, NOUS AUTONS:

@—x} +(y—y)=r + 2r, K (sin « — sin 5) +....

En portant ici les valeurs données plus haut des coordonnées du point À, on trouve l'égalité:

[V2 — (m sin a + bÿ + a cos (A — à) — x, f° + [mn sin « + a sin (À — à) + b — y, l

— + 2r, K(sina— sin «) +..... e

d’où, en ouvrant les crochets et divisant tout par 2rx,, on obtient l’équa-

tion:

a: « a Cos À m sin &« + b\2 (3) [1—< sin À une 2 cos & | pa

m sin À a (b — y) sin À — ax, cos À DUR ELLES dre 1. L Jcosa ri T&i Fes — bd A — ax, sin ÀA—m :

am cos À 9 __ 4 (y, — b) cos seed 71 sin œ Ta Fri Tr — 22 — y, (y, — 2b) — a? ° : :

2 r 1 Yi (a ns PR tn 1 K (sin « — sin &) +. . 2ræ, Ta

$ 5. Nous donnerons à notre but, en posant

cette equation la forme plus commode pour

; de +1 SIDA —= — ) £2+d où (4) d = sin «.

Pour cette expression du sin æ&, on trouve

de +1 a RD EST 2?

cos & — V1 — sin? «= y/1—| (ES) =" Dette 2PTRETS

Sin 4 — Sin &, —

z2+d 2+d 5 Vi—( m sinaæ+b\2 Vr?(z + dj — [(md + b) 2+ (m + db)f? ( ) ei r | = r (z+ d) pas rd — m — db rd + m + db TT r(e+d) ( nel ee à

— (md + b} r (2+- d)

V(G—gÿ—h?,

où nous avons posé

rd— m — db vd + m + db 7 — md — b r+ md+0b

(+ }= (e—g—1) (e—9+h) = (eg) 7.

En évaluant d’après ces formules les expressions des différents termes de l’équation (3), après y avoir remplacé sin & par Le. , et divisant tout par le coëfficient de

2 VE — g} — h,

nous remarquons que cette équation prend la forme:

(6) (e+A+uVr— 1) Va —gÿ—R—(P,+ Pi) VAT +P,+Pr+ PET. A En vertu de cette égalité, d’après laquelle l'expression (P, + P,4) Var P, — Pt — Ps

doit donner la valeur de la fonction

(++ u Va 1) VE gr avec l’éxactitude jusqu’au terme en +; il est aisé de trouver les valeurs des coëfficients 2, P,, P,, P,, P, en fonctions de À, L, g et k, et une équation entre ces dernières quantités *). Afin de trouver les équations qui déterminent les coëfficients Pi; É) Fe F3, re

nous développons le premier membre de l’équation (6) suivant les puissan-

à OP |

ces descendantes de z et égalons à zéro les termes en DEEE LE y ee

Cela nous donne 5 équations linéaires par rapport aux quantités P,, P,, Py Py Ps Qui les déterminent complètement. En les résolvant, on trouve:

= Q he + REX + (RE — 1) gu;

P = Ag + hf + Ag + (42g + (12 — 1))u.;

= — 5 (Ag 8 — 1) NE — (ON — 1) à — À (agp + 78 — 3) Hu; PR + 1)g + (2 — 1) à + qu;

1, = EG + RE — 1 + Ag) + (49° + 2 — 2) lu.

*) On reçoit tout cela immédiatement par le développement en fraction continue, comme nous l’avons montré dans le Mémoire sous le titre: «Sur les expressions approchées linéaires par rapport au deux polynomes». T. II, p. 245.

En portant ces valeurs de Pos F3 Pos Per Pi dans la formule

(eu V2) VE —(P,+ Pa) V—1+P.+Ps+P#, et en la développant suivant les puissances descendantes de z, on aura la série

ne | 89 + 4 (3R — 1) 9 + Ré — 7 + (89° + GR? — 4) à | ; 161 + (8gf + 4 (8h? — 2) 9? + (2 —1}) pu 24

qui nous donne, en la comparant avec l’équation (6), les égalités: (7) (+ 3h —1)g + (49 + —1)1-+ (49 + 3 — 3)gu = 0;

8g% + A (3h? — 1)? + hf — 7? + (89° eme .

—ÿ + (894 + 4 (8h —2)9° + (2 — 1})u ee

La première ègalité présente l’équation, à laquelle doivent satisfaire les quantités À, 1, g, h, d; la seconde nous servira, comme nous le verrons plus bas, à déterminer la grandeur de la déviation de la voie rectiligne du sommet M de triangle AA, M, lorsque les sommets À, À, se meuvent sur des cercles.

$ 6. Pour passer des valeurs

P; F,; Pas Ps; ls

que nous avons trouvées tout à l’heure, à celles qui entrent dans notre question, nous remarquons que, d’après ce qu’on à montré plus haut, la formule (6) doit se réduire à la formule (3), lorsqu'on y porte la valeur de z

tirée de l’équation : de +1 SN 4 = ——e 2+d

Comme on trouve par cette équation que

ne | — à sin = TN enr l __sina—d —sina—d , d(sin ur à AO z2 l—dsinx 1—d (1 — dd} ie ———— — dance —fain à — di RE | Var di V(1— d sin &) (sin à — d) ee v1 PA sin « — d sin &œ — à ?

R?2—(9+-d)? . g+{(g?2—h?+-gd+-1) d\?

h (1—d?) V:- Re . hÜ—d)

( —gÿ —h? Va —(g+ 4? sin 4—d

nous remarquons, en comparant la dernière égalité avec l'égalité (5), que

+ (92? —12+ gd +1) d h (1 — di 4

Ve — 9} —— h (1 — d°) y: ed

R? — (g + dÀ sin « — d

M P-gvrer & (8) É

En vertu de ces égalités la formule (6), après y avoir porté 1— dsinax sin 4 — d au lieu de z, se réduit à celle-là:

h (1 — d?) EE — VE — (g + dÀ (sin «à — d} r Pi — Pod + (P5 — P;d) sin « Vi LD cos & (sin « — df

(Ps — Pad + P,d?) sin? à — (2 P,4 — P,(1+ d)+2P,d) sin « (in « — dÿ

sa Pad Fe Liéina—df..

(sin «x — d} (1 — d?}+ xs

En divisant cette équation par

h (1 — d?) 1 — dÀ Ve = g+ 4; Ena—d}?

et la comparant après cela membre à membre avec la formule (3), on trouve les égalités:

— d (8) — a AT; a __BV1— d?

am sin À ___P5— P,d Vh?—(9+df.

Me Led ii ?!

a (b — y) sin À — ax, cos À __ P, — Pod Vh?— (y + df, ra role 1Vi- dd ?

am C8 À P, — Pd + P,d? Vh?— (9 + d$.

CL RER 1 — dÀ VIi=& ?

a (y, — b) cos À — ax, sin À — my, __ 2P,d — Pa (1+ d)+2P,d Vh? —(g9 + dP. TT DES 1 — dÀ AE 2rx RUES 1 — dÀ h (1 — d?) (10) "X

__ LVP—(g+df Fe (dpi

En divisant la première de ces équations par la 2-me, et la troisième par la 5-me et la 1-ère, on trouve les égalites:

À —d DS À = ——— (11) ta g À Re va:

ECS fans A D 53. pe” m ee ne VR? — (9 + d?

Fr * À — d Vi.

En éliminant tang À entre les deux premières égalités et en portant la

valeur de = d’après (8) dans la troisième, on obtient les deux équations:

À—d Po — P,d (12) LT DE — Par PE (13) CU ART PT P,

qui relient entre elles cinq quantités À, 11,9, k, d. Ces deux équations, combinées avec l'équation (7), permettent de déterminer trois de ces quantités d’après les deux autres.

Comme les expressions de

Li; FE); Es; Ps; P,

sont des fonctions linéaires des quantités À, 14, l'équation (13), ainsi que l’équation (7), seront du premier degré par rapport à ces quantités. En déterminant d’après ces équations les quantités À, & et en les portant dans

l’équation (12), nous aurons une équation qui ne contiendra que trois quantités g, k, d.

$ 7. L'égalité (13), après y avoir porté les expressions de P,, P,, nous donne l’équation:

gha—1e (agen) dd VERT + [ie — agde + VETEE|à + [Qu —1) g—(@— 1) + age) d | u = 0.

En résolvant par rapport à À—d et a cette équation conjointement avec l’équation (7), on trouve

(14) 1—d= À, pi, où N = (89 —2(k— 1)) gd + (49° + 12 —1)g