M ER

correspondant à la fonction considérée, représentera la limite supérieure du rapport de la valeur d’une fonction entière de degré n pour + = Æ au plus grand écart de zéro de la même fonction entre x—-—h et x —=+h.

$ 2. Passant à la détermination de la fonction F{(x) sous les conditions mentionnées, remarquons qu’étant de degré » et se réduisant à Æ pour x = H, elle doit avoir la forme

A) F)—=(pe" + pe +... .+p,x+p,) (x —H)+ M,

Pis Passe Par D, désignant des constantes. Ces constantes dans la fonction considérée se déterminent d’après la condition que cette fonction entre æ = —h et x — + h ne surpasse pas les limites — Z et + Z, entre lesquelles ne peut rester aucune autre fonction de la même forme pour les mêmes valeurs de la variable. Pour déterminer les valeurs des constantes Pis Passe Ph P, d’après cette condition nous allons nous appuyer sur le premier théorème de nôtre Mémoire sous le titre: «Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions *). Ce théorème est applicable à la détermination des coefficients de la fonction F(x), cette fonction aïnsi que ses dérivées restant continues et finies entre a——hetx—+h.

En vertu de ce théorème et désignant par

les diverses valeurs de la variable +, pour lesquelles la fonction F(x) entre æ——h et x — + h atteint ses valeurs limites — Z et +- Z, nous concluons que le système de » équations

dF(x)

AF(æ2) Le.

dF'(x;) dF (32) dE (ty), __ Er eee re L +... Re Mn ce 0, aF (x) aF (x:) Pts ET À, + rs h+....+ %: À, = 0 aux 1. inconnues es FA fe Un, Ts À, doit avoir une solution où les valeurs des y inconnues À,, À,,...., ne

sont pas toutes égales à zéro.

En déterminant d’après (1) les valeurs des dérivées

dF(x;) dF(x) dF'(xy) "°°; d dF(x) dF(x) dE (ay)

dp, : De © 0e

0 0. ee

aF(x) dF(x) 4F(x) dPn 4 dpn °°° dPn

et les portant dans les équations précédentes, nous trouvons que celles-ci se réduisent au suivantes:

FH) ht (A) + (m,—H)a 2,0,

G—R)a + (a—H)a, he... + (x —H)2*.A,—0, D den de das sr mc en se see se us

@—H)\+(@—HA+....+(@,—Hà,=0.

$ 3. La quantité ÆJ étant en déhors des limites 4=—}, = +, entre lesquelles se trouvent toutes les 4 quantités

Dis Tyroeoe Le;

aucune des différences °&, — H, X— H,...., Met : (

ne peut se réduire à zéro. Cela posé, nous allons montrer que le nombre des inconnues À,, À,,.... À, dans le système d’équations trouvé ci-dessus doit surpasser le nombre » de ces équations, pour qu’on puisse leur satisfaire par les valeurs de À,, À,,.... À, différentes de zéro, comme cela doit nécessairement avoir lieu, d’après le théorème mentionné, pour la fonction F(x) que nous considérons.

En effet, si w ne surpasse pas », le produit (x —%3) (t—%).... (&—2,) se réduit à un polynôme de degré inférieur à », qui péut être représenté par

M + De +...

En désignant ce polynôme par o(x), nous remarquons, d’après sa décomposition en facteurs, que = — 1%) (Gi —1%)....(@ — 2);

Remontant aux équations (2), les multipliant respectivement par >. QE à AP ADETSE . d et prenant leur somme, nous obtenons l’équation ci-dessous: Cal (&) A+ (a — À) o (te) +... +, —H)o (x) A, = 0. En y portant les valeurs trouvées plus haut des fonctions |

? (t,), 9 (te), TRS 9 (x), nous remarquons que cette équation se réduit à

(x, — À) (t, — 3) (x, — 3)... (&, — æ,)À A À À d’où il suit À 9, parceque la différence x, — H, d’après ce qu’on a vu, est différente de zéro et les quantités x,, &,,.... æ, sont différentes entre elles. On démontrera d’une manière analogue que pour 4 <n les équations

(2) donneront Jo 6,, …, A,= 0.

On voit d’après cela que le nombre x, qui indique combien de fois la fonction considérée entre æ——h et x — + atteint les valeurs limites — L et + L sans les franchir, doit être plus grand que »; donc l’équation

doit avoir au moins n + 1 racines entre æ——h etx—+h. Parmi ces n + 1 racines il y en aura au moins »— 1 différentes de —% et de +4; ces n — 1 racines ne peuvent être racines simples, car, x passant par une racine simple de l’équation (3), F?(x) franchit la quantité L?, ce qui est contraire à l'hypothèse.

. En remarquant d'autre part que les racines multiples de l’équation (3) vérifient l’équation

de degré n — 1 d’après (1), nous concluons que l’équation (3) ne peut avoir plus de n— 1 racines multiples. En les désignant par FAR MENT RER

nous arrivons à la conclusion, d’après ce qu’on a dit plus haut, que le premier membre de l’équation (3) est divisible par le produit

D'ailleurs, il est facile de voir qu’il est aussi divisible par le produit (G—h) (x + h).

En effet, l'équation (3) ne peut avoir, comme on à vu tout-à-l’heure, plus de #— 1 racines multiples; or, entre = —}% et x — +}, d’après ce qui precéde, se trouvent au moins % + 1 racines, donc deux de ces racines doivent être simples. Mais, comme on a remarqué, les racines simples de l’équation (3) ne peuvent être que

= —h, = +h, ce qui entraîne la divisibilité de son premier membre par le produit (@—h) (x+h).

C’est ainsi qu’on s'assure que la différence

est divisible par

G—u) (a—2) (ù—2)....(@—x, et par (GG —h) (x+h)—2— 1,

cela veut dire, par leur produit

UNIVERSITY

Va te

Remarquant encore que d’après (1) ce produit est du même degré que la différence | F?(x) — L?,

nous en concluons que cette divisibilité entraîne l’égalité F?(x) — IL? — C& — 2%) (x—m)....(x—x,* (a —h, C désignant une constante. Cette égalité nous donne l’équation (4) F°(œ) —L'= (a — 1h) (x), D(x) étant une fonction entière, définie par la formule (5) D(a)= + VC(z— x) (&—%)....(t—2,),

où le signe du radical + VC se détermine de la sorte que le terme du plus haut degré de ®(x) ait le même signe que le terme analogue de F(x).

$ 4. En abordant la détermination de la fonction F(x) d’après l’équation (4), remarquons qu’elle peut être écrite sous la forme F?(x) — (2 — 1?) D (x) — L?,

d’où l’on déduit, en décomposant la différence

F?(x) — (x — 1h?) D (x) en facteurs (F(x) — D(x) Ve =) (F(x) + (x) Vr —H), l'égalité

F(&)— (x) Va — TR — F(x)+ D(x)Va?—h?

ce qui nous donne après la division par ® (x) l’équation

FO Lyme (6) D) Va —} — OGIF(G&) +0 VE]

A l’aide de cette équation, comme nous avons montré dans le Mémoire mentionné ci-dessus, l’expression de la fonction cherchée F(x) peut être obtenue par le développement de V4°— X? en fraction continue. Nousallons montrer maintenant comment cette fonction peut être trouvée sans le secours

des fractions continues. Remarquons dans ce but qu’en désignant par P, 5 Q les fonctions entières représentées par les égalités

| …. (x + Va? 5)" + (x — Var)" ue 2 ;

(D) | = (x + Var he) — (x — Va? — a À 2 Væx?—h?

on trouve

P—QVE—R—(x— Var).

Or, remarquant que le produit (œ+ Va) (x — Va) est égal à X?, nous aurons

x — Vai — h? —

x+ Va? —h??

en vertu de cela, l’égalité précédente donne

(x + Va? — =)

P—Q Va — I —

d’où l’on obtient, en divisant par Q,

NC SEE T- n2n + — VER ee

F{x) P I? pen

D (x) - D(x) [F(x) + D(x) Va té] cs Q(æ+ Va? —h)"

ce qui nous donne, en multipliant par (x).Q, l'équation

=. eo 110 + MMOG) Pa: PRE ET cuve (x+ Van)"

En considérant le second membre de cette équation, nous remarquons que les deux termes qui y entrent représentent des expressions de degrés négatifs, les fonctions Z?Q, k°" D(x) aux numérateurs étant de dégré n— 1, d’après (5) et (7), tandis que les fonctions F(x) + D(x) Va®—H, (@ + Var 7 12)" aux dénominateurs sont de degré », d’après (1) et. (5). Par conséquent notre équation, dont le premier membre représente une fonction

entière, ne peut être satisfaite que dans le cas où l’un et l’autre de ses membres se réduisent à zéro, c’est à dire, lorsque

On trouve de là

F(x) __ D) — CL

et remarquant que d’après (4), (5) et (7), la fonction F(x) n’a pas de fac-

teur commun avec ®(x), non plus que P avec Q, nous concluons que F(x) ne peut différer de P que par un facteur constant; donc