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et que d’ailleurs, comme il est connu, dans l’intervalle entre cette racine et la plus grande racine de l’équation
la fonction X,,, conserve le signe —, et la fonction X, le signe +, ce qui “entraine certainement l’impossibilité d’une racine de l’équation
Xi Xp BR
supérieure à la plus grande des racines de l’équation
Or remarquant que pour cette racine la valeur de la fonction X,,, a le signe —, nous concluons que cette racine sera elle-même inférieure à la plus grande racine de l’équation Xi + XI 0 +1 L D'où l’on voit que la plus grande quantité de toutes celles qui satisfont à l’une quelconque des équations (13) est la plus grande racine de l’équation Xi + À —=0( æ+1l ?
qui, après la suppression du diviseur +1, qui n’influt pas sur la valeur de cette racine, se réduit à la suivante:
$ 11. De ce que nous avons démontré à l’égard des quantités les plus grandes de celles qui satisfont aux équations (12) et (13) il suit que la limite supérieure du rapport
Î Yæxdx Let | ?
Ydzx F7 le polynôme Y restant positif entre x = — 1 et x — + 1, sera égale à la plus grande racine de l’équation 2,5 = 0, ou de l’équation À; Æ X, FT 0,
selon que la limite supérieure du degré du polynôme Y est égale à 27 ou à 21 — 1. Remarquant que la formule
est également susceptible de donner des valeurs positives ainsi que des valeurs négatives nous concluons que les limites supérieures de sa valeur, déterminées de la manière indiquée, représentent en mêmes temps les limites supérieures de ses valeurs numériques.
D'ailleurs, le rapport
ne changeant pas de valeur par le changement de Y en —Y, on voit que les limites de ce rapport déterminées dans la supposition que Y conserve le signe + entre t——1 et &4—+ 1 auront lieu aussi dans le cas où conserve le signe — entre t—=—1 et x = +1, et par suite lorsque en général Y ne change pas de signe dans l’intervalle donné.
C’est ainsi qu’on obtient, en vertu de ce que nous avons démontré à l'égard de la limite supérieure du rapport
+-1 $ Yxdx ?
Ydz le théorème suivant: Théorème.
Si Y désigne un polynôme qui ne change pas de signe entre x = —1
et m—+1 et dont le degré ne surpasse pas n, la valeur numérique du rapport
ne Surpasse pas la plus grande racine de l'équation X,,, —=0 ou X,,, + X,—=0, selon qu'on a n— 21 ou n—21—1, où X,, X,,, désignent les fonctions de Legendre des degrés ! et 1+ 1.
$ 12. Nous allons montrer maintenant une application du théorème démontré. Soit ABC un arc d’une courbe parabolique dont l’équation en coordonnées rectangulaires est:
Si cet arc de courbe entre les points À et C va toujours en s’élevant ou en s’abaissant et n'offre point d’inflexions, il ne peut couper ni la corde AC, ni les droites AD, CD menées parallèllement aux axes de coordonnées par ses extrémités À et C; par conséquent le segment ABC représentera une partie du triangle rectangulaire formé par la corde AC et les droites
AD, DC parallèles aux axes des coordonnées. On voit d’après cela que le rapport
segment ACB
triangle ACD sera toujours plus petit que 1, quel que soit le degré de la courbe parabolique. D'ailleurs pour tout degré donné le rapport
segment ACB triangle ACD
aura pour limite une quantité inférieure à 1.
ÿ . œ 0 , C’est cette valeur limite du rapport segment ACB triangle ACD |
que le théorème démontré va nous donner, comme nous allons le voir tout de suite.
Désignant par Los Vos Lis Yi
les coordonnés des points À, C et remarquant que y — f(x), nous trouverons AD= 2, —%,, CD =y— y =f(&) —f(&), ce qui nous donne l’expression de l’aire du triangle ACD que voici:
ACD =" (f(x) — f(&),
ce qu’on peut représenter sous la forme:
Tj ACD = | f’(æ) dx.
To
Passant à la détermination de l’aire du segment ACB, nous remarquons d’abord que l’aire du trapèze 4, ACC, s’exprime comme il suit:
quant à l’aire limitée par l’arc ABC et par les droites 44,, 4,C;, CC, elle s’exprime par l'intégrale
Retranchant cette dernière aire de la première on verra que l’aire du segment ACB s'exprime ainsi: :
Ti ACB = (f(x) + (a) — | f(x) da, : Lo ce qui se réduit à
ACB — Tr L —%] dx, To
au moyen de l'intégration par parties, en posant Lo + X il dx = x — +:
D’après les valeurs trouvées des aires du triangle ACD et du segment ACB leur rapport s’exprime ainsi:
[ f'@) [ee | dx segment ACB x
triangle ACD — ?
Ti A | f' (2) de
ce qui se réduit à l'égalité
+1 f' (= ae ++) tdt 2 2 segment ACB ___ —1 triangle ACD ,, :
[Vi = Lo To + ( f ( 0 14% ) dt
en introduisant la variable # au lieu de x, au moyen de la substitution
ot bons PSP Ron 2
Pae 5
Comme la ligne parabolique considérée entre les points À et C va toujours en s’élevant ou en s’abaissant, son équation ‘étant
la dérivée
Li — Lo + f D L + : }
entre les limites é— — 1 et { — + 1 correspondantes à ces points, ne changera pas de signe, et par suite on pourra appliquer le théorème mentionné à l'expression
représentant la valeur du rapport
segment ACB
triangle ACD Or remarquant que la fonction entière f’(x) est ici de degré non supérieur à p— 1, nous devons prendre d’après ce théorème n—p—1. Ainsi en vertu de ce théorème nous arrivons à la conclusion que le rapport
segment ACB triangle ACD
ne surpassera pas la plus grande racine de l’équation
la courbe parabolique étant de degré non supérieur à 2/+ 1, ou de l'équation |
pes 7 X;= 0, si ce degré ne surpasse pas 2/. Posant / — 1, nous trouvons que la première de ces équations se réduit à celle-ci:
X,= 3 ad et la seconde à
ne 3 2 1 auete X,+X, = 5x — 7 +æ—=0.
Remarquant que la plus grande racine de la première équation est
+ à « . Dee .
V+ et de la seconde -, nous concluons d’après ce qui précède que la limite supérieure du rapport
segment ACB triangle ACD
pour les lignes paraboliques du second degré est = et pour celles du troi-
sième V= .
