LORSQUE LA FONCTION SOUS LE SIGNE EST DÉCOMPOSÉE EN ; DEUX FACTEURS

(LRADUXX PAR C. A. POSSÉ.)

(Lu le 10 mai 1883.)

Os oOnoms padr,

docmabrnoueme npedsmnua berrun unmespasobe npu pasaogceniu nodksunmeparruoÿ pynhuiu na mnoumeau.

(Ipuroæenie x XLVII-my rouy Sanucorr Huneparopcxoë Arxaremin Hayx®, X 4, 1883 r.)

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Sur une série qui fournit les valeurs extrêmes des intégrales, lorsque la fonction sous le signe est décomposée en deux facteurs.

$ 1. Dans une Note sous le titre: Sur le développement des fonctions à une seule variable *), nous avons indiqué plusieurs séries pour le développement des fonctions, qui résultent de la formule générale d’interpolation par la méthode des moindres carrés que nous avons donné dans le Mémoire sous letitre: Sur les fractions continues **). Les termes de ces séries se composent des polynômes déterminés par le développement en fraction continue

d’une intégrale de la forme b

JE ds:

les dénominateurs des réduites qui s’obtiennent dans un tel développement sont justement ces polynômes suivant lesquels les fonctions se développent en séries, dont il était question dans notre Note.

Nous allons montrer maintenant une série d’un autre genre renfermant les mêmes polynômes. Cette série ne donne pas des valeurs approchées des fonctions sous la forme des polynômes, comme le faisaient les anciennes, mais elle fournit des expressions approchées, avec des termes complémentaires, des intégrales définies, ces expressions étant formées des intégrales plus simples sous certain égard, savoir: pour l’évaluation d’une intégrale de la forme

b [ RG) A) (x) dx,

où figure un produit de trois fonctions |

Lx), A (@), (a),

on obtient une expression approchée composée d’intégrales où figurent sous le signe d'intégration séparément les fonctions

(x) (x), 1) (x), (x), multipliées par les polynômes mentionnés ci-dessus.

$ 2. Cette série, ainsi que son terme complémentaire, se déduisent facilement en considerant l’intégrale multiple

(1) T1 | 2990 dd de les fonctions 0; run do: S;

étant déterminées par les formules:

tem fo (Xo) Jo (2) Jo (Zn)

(2) tu Go + gen Tom) — fo , fi (@) Ji &n)

D ED. PE) + + d'a)’

La dernière égalité, après la substitution des valeurs de o (Go), o LR SEE o'(x,), se réduit à celle qui suit:

(3) Fee Lo — 2) (x, —2)....(m —2,)....(0,. — x) |.

Les limites de toutes les variables dans les intégrales que nous considérons sont les mêmes, savoir: a et b.

Remarquant d’après la structure des fonctions 5,, S, que leur produit est égal à une somme de termes de la forme:

Jo UE ñ (24), o' (xs) ?’ xp)’

où io, iris.

ke: 1,,.,:%,

nous concluons que l'intégrale (1) se décompose en une somme d’intégrales:

AE pe ies P,0 dr dr. .. dx,

?’(xi) 9’ (xx)

Cette somme renferme des termes de deux genres, à savoir: 1) ceux dans lesquels i— #, 2) ceux dans lesquels à diffère de k.

Les indices 2 et 4 ayant dans cette somme toutes les valeurs de 0 à », il y aura n +1 termes du premier genre et (n + 1) x termes du second genre. Or, d’après la symétrie par rapport aux variables

Lo, Dj... d,,

les termes du premier genre auront la valeur commune

Jo (to) li (to) É RUE P,0 dr, dx, .. -..dæ,,

représentant le terme qui correspond à 2—0, k— 0, et les termes du second genre auront la valeur commune

a (co) fi (y) J£e D) Po 06 dde + + 2,

représentant le terme qui correspond à 2 —0, £— 1; donc l'intégrale (1) que nous considerons se décompose de la manière suivante:

ÊrE- Ar n|$e 0 (0) = . ? P,08 drodx,.….…. da

9” (to) n

Jo (Xo) fi (21) 2 +(n+ ln | RE ITS P,0$ dx, dx,....dx,.

| $ 3. Pour simplifier la première des intégrales qui entrent au second membre de cette égalité nous introduirons des nouvelles fonctions 4, ®, P,, en posant f 0 (x) 4(x,)....0(x)= 0€, (5) À (c—2) (œ—x)....(x—2,) = D(»),

| D'(x,) D'(x.)..... D'(x)= EP

Comparant ces égalités aux égalités (2) nous remarquons que 0, = 0,°0 (&;)

Lo) =(&—2,) D(a)

Si l’on différentie la dernière égalité par rapport à x, nous aurons:

g (x) = D(x) + (x — 2e) D'(&); d’où, en faisant