TT, À, L
et remarquant que d’après (5) les valeurs æ—%,, &,,....4, annulent la fonction ® (x), nous déduisons
(7) g (&)=D (o), g (&,)=(t —%o) d (x), …..) g (x,)=(&, —%o) D (æ,). En multipliant ces égalités, nous trouvons:
g'(&) (x) sx)... 9'(x)= Gé — 2) (y — 29). - - . (5, — %0) D (60) D) Dm)... DC).
Comme on à d’après (5)
(t, — 2%) (ts — 0)... (x, —%)=(—1) (x), Dr) D'(v)....DG)=Er, et d’après (2) ? (Zo) 9 (x) ? (ts). ... CRÉAS l'égalité obtenue nous donne
Substituant les valeurs de P,, 4, ®'(æ) tirées de (8), (6), (7) dans l'intégrale
fase P,0 dx, dx, dx,....dx,, nous remarquons qu’elle se réduit à Ja suivante:
[— 1)" f(@&) f(@o) P, (x) 0° dx, dx, dx. . .. dx.
Les fonctions P,, @, ne renfermant pas d’après (5) la variable x;, cette intégrale se décompose en deux facteurs suivants:
[C—0" 2,04, dr... da, | f (0) fi (to) 8 (to) dr. En vertu de cela, désignant par C la valeur de l’intégrale [(— 1)" P,0/ dx, dx... dx,
indépendante des fonctions f, (x), f, (x), nous obtenons pour la détermination de la première des intégrales contenues dans l’égalité (4) la formule:
(9) Jées Le P,08 dx, da... de, = C| f(x) f (tr) (ro) dr
$ 4. Passant à la simplification de l'intégrale
fo (&o) f (æ) Jée Go) TG) @) P, 0 dx, dx, dx, dx,.... dx,
nous introduirons encore trois nouvelles fonctions, en posant [A(x,) 0()....0(&,)—=0,,
(10) À (t—%) (t—%)....(&—2,) = 9, (x), Das) Dr). ...8 (x) = P,
Comparant les deux premières des égalites (10) aux égalités corre-
spondantes (5), on déduit:
Cette dernière égalité étant différentiée par rapport à x, donne
D'(x) = D, (x) + (x —2,) D (x); d’où, en posant
ET MER HS RREL
et remarquant que la fonction ®,(x) s’annule d’après (10) pour x —=,, Lg, «..Æ,, NOUS Obtenons
(12) D(x,)}=0, (x), D'(x)=(x,—2,) D'(x),...., D'(x,)=(x,—2,) D (x,). Multipliant ces égalités, nous trouvons D'(x) D'(x) D'(x)....D'(x,)= (,— 2) (ty —%)....(&, —x) D,(&) D',(&,) D'i(xs)....® (x);
d’où l’on tire, en vertu des égalités (5), (10), l’expression suivante de la
fonction P,: 224 P,=(—1 "0 (2,)?,;:
et par conséquent l’égalité (8) nous donne Po= — D(a) D(x,)P,.
En y substituant d’après (12) ®’(x,) au lieu de ®,(x,) et remplaçant d’après (7) la fonction D(x,) par o'(x,) et la fonction ®'(x,) par =, nous obtenons
P,—=— jt. P..
Ti — Lo
Or en mettant cette valeur de P, dans l'intégrale
fo (ro) f1 (t1) É %) '&) 20 0 dx dx, dx, dx... .. dx,
et en y remplaçant d’après (6) la fonction 4, par le produit 4(x,) 4, et la fonction 4, d’après (11) par le produit /(x,)@,, nous trouvons que cette intégrale se réduit à la suivante:
fre ) A) À (0) P(x,) CPE) p 4% dx... ..dx,,
ce qu’on peut aussi représenter par — [ff (@)F (Go, 21) 6 (,) 67 (&,) das da,,,
où l’on a désigné par
Ft, 2) la fonction des deux variables %,, «,, déterminée par l'égalité (13) F(t, 2) — = | sfr rien EE P,0: dx, dx... da.
$ 5. En vertu de ces transformations des intégrales qui entrent au second membre de l’égalité (4), elle se réduit à celle ci
(14 = (n + 1) CT fi (&) fi (&) CP (Xo) dx, cr . . - J fo (Go) f (&) F(x; %) (Us (ti) Ca (x,) dx, dx, ;
T étant d’après (1) la valeur de l’intégrale [PR8,86dr,dr....dr,.
Nous allons montrer maintenant comment s’obtiennent les limites entre lesquelles se trouve renfermée la valeur de cette intégrale. D'après (2) les fonctions S,, S, se déterminent par les égalités: -
__fo(to) , fo (mi) Jo fo (&n), PE el de) te Ji __Jfi(xo) , (tr) fin).
= 9 (&o) g’(æ) ah ?'(£n)
En mettant ici d’après (7) Do), (1 —%) Pr)... (2, —%) D'(x,)
au lieu de (Go), 9 (&),.... 0 (x),
nous remarquons que ces égalités peuvent être représentées sous la forme
TER Re D (xo) fo (2) GE RC D (x) fo (Zn)
(15) | = 55 LED — ma) de" —" men d'en) dit arr D (to) fi (&1) ______ 2 (to) fi (En)
# ” 2(&) Ch (&o) (&o — 2) D'(x) vf sd (Zo — Zn) D’ ea) s
Si l’on considère la première de ces égalités, où d’après (5) D(x)=(c—2,) (x —2x,)....(æ—2,),
on remarque que l'expression renfermée entre les parenthèses | | représente la différence entre la valeur de la fonction f,(x) pour x —x, et la valeur que donne la formule d’interpolation de Lagrange pour la détermination de f, (x) d’après les valeurs de f,(x) pour = %,, %,,....4,.
Le rapport de cette différence à la valeur de
(to — L3) (Xp — 3). + (0 — Xn) LAS EN ;
ne sort pas, comme on le sait, des limites dans lesquelles reste renfermée la dérivée d" fo (&) dx"
POUT & = Lo, T1 La, . . ., et pour les valeurs intermédiaires.
Remarquant d’ailleurs, d’après ce qui a été admis à l'égard des limites d'intégration, qué toutes ces valeurs se trouvent entre «a et b, nous concluons que ce rapport est égal à une certaine quantité M,, moyenne entre les va-
leurs de la dérivée an fo (x) dx"
dans les limites a et b. Par conséquent, d’après l'égalité (15), nous aurons
gs =") (Go %2)... (20 — En) Mo PE ER” D (to)
En remplaçant ici d’après (5) le produit (Go — &;) (&o rs La) « (To — 4)
par ®(x,), nous trouvons l’expression de $, qui, étant simplifiée, se réduit à la suivante:
On trouve d’une manière analogue
M, = Re HR M, étant une moyenne entre les valeurs de la dérivée an f, (x) da"
dans l’intervalle x = a, x = b.
En vertu des égalités que nous avons déduites à l’égard des valeurs
des fonctions S,, S, dans l'intégrale
T=|S,S P0/ da de... 22
et remarquant que le facteur P,6$? d’après (3) n’y change pas de signe, nous concluons que pour certaines valeurs M,, M, ne sortant pas des limites entre lesquelles restent les dérivées
dE), A0
dx" dx"
dans l'intervalle de x = a à & — b, aura lieu l'égalité suivante: (16) T— ms /r 0 dx, dx,....d2,.
$ 6. Substituant cette valeur de 7 dans l’égalité (14) nous obtenons l’équation Ta = an fr dr de... dx, =(n+1) CT] f, (&o) fi (&) Pt) dr,
—(n+ bn [| fe) AG) F2) x) da de, d’où il résulte la formule suivante pour l'évaluation de l'intégrale [ fo) fi (@) (0) do:
F'(&o; (17) Jr (to) f, (@o) ° (&c) dt =f£ &)f,(@) Et) 62 (x,) C (x,) de, dr,
(1. RE CES 1e] ;
C’est de cette formule que nous tirons la série qui fait l’objet de cette Note, en développant la fonction + F(&o; 4)
suivant les termes composés des polynômes qui s’obtiennent, comme on l'avait dit au $ 1, au moyen du développement de l’intégrale
62 (2) dz x—2
en fraction continue et que nous désignerons par
bb) Ut), Lt)...
D’après la propriété connue de ces polynômes, en vertu de la formule (17), il est facile de faire un tel développement de la fonction
sans qu’il soit nécessaire de déterminer la valeur de l’intégrale
Fi P,02 dx, dr... .dæ
(to — M)
qui donne l’expression de la fonction | F(&; &).
d’après l’équation (13).
Nous ne ferons que remarquer d’après cette équation que F(x,, x.) est une fonction entière de degré inférieur à #, tant par rapport à æ, que par rapport à æ, comme cela résulte de ce que d’après (2) le produit o'(&) o’(x,) est divisible par (x, —x.,} et ne contient des puisances ni de %, ni de +, supérieures à n + 1. D’après la propriété des polynômes
VX), hi), Ya(@), +...
toute puissance de x inférieure à n pouvant être représentée par la somme
k, L (x) + k, Y CIE PE |: FS bi, (x), la fonction
5 Fo %),
d’après ce qu’on a remarqué ci-dessus à l’égard de la fonction F(x,, x), pourra être représentée par la somme
Bb Cu h (&) du (),
À et restant moindres que n.
En mettant cette somme au lieu de
© Lo %) dans la formule (17), nous obtenons légalité
The Go) 2) = [1 0) @) D Qu da (rs) ba (2) 8225) 62 (a) dr, da, Mo M | P5 00? do di. den (1.2....n} (n+1)C
qui, comme il est aisé de reconnaître, peut être représentée comme il suit:
18) HAE TO, [fa 4(e) (x) dx | f(@) 4, (@) 6 (x) dx
Mo M [ Po 00? do dti. den (1.2....nP(n+1)0
En vertu de la propriété connue des polynômes
b (x), ÿ (x), Le LME
de satisfaire à l’équation
(19) [4 (x) L, (x) (x) dx = 0
pour à différent de #k, il n’est pas difficile de trouver la valeur des
coefficients
qui figurent dans cette formule. En effet, si l’on y pose fo (x) ner Ÿ, (x), f; (x) Lean Le (x), lLn, m<LNn,
où
les dérivées d" fox) __ dut) f(x) d"4,, (x) dan dem ? dx dx"
seront égales à zéro. Par suite, d’après ce qui a été dit au $ 5 à l’égard des quantités M,, M, celles-ci seront aussi égales à zéro; donc, pour de telles valeurs des fonctions f(x), f(x), la formule (18) se réduira à l'égalité
hd, (0 (dr Ÿ Co, [hit VA (0 0°(0) da [ 4, (2) Ÿ, (0) 07(a) da. Remarquant d’après (19) que les intégrales [4u(a) d(æ) (a) dx, [Ce 4, (&) (x) dx se réduisent à zéro lorsque ÀZ7, ZM, nous concluons que dans la somme D'ouf ht ho (dx f4, (x) 4, (x) 67 (a)dx tous les termes, à l’exception de celui qui correspond à
Al, p=m,
s’évanouissent; en vertu de quoi l’égalité déduite nous donne [4 (@) p, (@) 0%(o) dx = Q, [47 (x) 62 (0) da - [47 (x) 67 (x) dx; d’où il résulte pour la détermination du costirieut Cu la formule suivante
33 J Va Ce) du (0) (a) de LS J ÿ)2 (æ) 62 (x) dæ | Lu? (æ) 0? (x) dx
En y faisant À — u., nous trouvons
Ga [422 (@) 8? (x) dx”
tandis que pour ÀZ 14 d’après l’égalité (19) on voit que
F M Il en suit que la somme
D'ou de) @ (dx (f(x) v, (x) 6° (x)ax
ne contient que les termes dans lesquels À — 1 et que dans ces termes le
coefficient Cu a la valeur
FYn2 Ce) 07 (a) dx’
par conséquent l’égalité (18) se réduit à la suivante
Lo (&) Ya (0 02 (x) dx [ fi (æ) Pa (0) 6° (æ) dx 4 2 pr 4 oo) ferme) ne
Mo M, | Po 00? do dr. den (1.2....nŸ(n+1)C ;
où la sommation s’étend, d’après ce qu’on a remarqué plus haut, aux va-
leurs suivantes de À:
ÀA= 0, 1, 2,....n—1.
$ 7. On peut aussi trouver sans peine la valeur de l’expression
Î Po 60? do de, de... drn (1.2....nfPn+1)C ?
contenue dans le dernier terme de l'égalité déduite. On y arrive en y posant
