LE) = 4, @) À @) = Ÿ

Les dérivées an fox) d" f,(x) dan ? dan

se réduisant dans ce cas à la quantité constante, égale à RS) (0), les quantités M,, M, d’après ce qu’on en a dit au $ 5 seront aussi égales à 4, (”(0); par conséquent pour

ha=Y%,@), À (@) = 4, (@)

la formule (20) donnera

[+ (x) (x) dx es [ fUn (æ) a (æ) 67 (x) def

jh (x) 62 (x) dx

[nt (01° F Po do? 4x0 de. den (1.2....nf(n+1)C é

Le nombre À étant moindre que», d’après ce qu on a vu au $ précédent, les intégrales de la forme

[ 4, (æ) 4, (&) 8 (x) dx,

qui figurent sous le signe de la somme se réduisent à zéro en vertu de (19) et nous trouvons [nt (0)7* [Po 00? dro dei. den

POLE (1.2....n) (n +1) C

Cette égalité nous donne

[6 00 dro dus. den [ Vn? (x) 62 (x) dro (1.2....nP(n+1)C [hn(") (0)|*

ce qui, étant substitué dans la formule (20), la réduit à la suivante

fo (&) Pa (æ) 62 (x) de [1 () Ya (@) 82 () dx 2 ie frorwrca- > Fe FA Pa

dors (n) ER (Go) @ (ti) dx,

où la somme représente n termes de la série

[Po (@) Vo (a) 02 (a) de + [fi (æ) Vo (2) 8? (æ) de [ Yo? nn.

Jo (0 da (0) 8 (0) de + LA (@) di (&) 8° (x) dx 22 () 62 (x) 4 JP0 (0) = (2) 68 (a) de + [fi (2) Ya (2) 82 (2) de JVn—1? (x) 6 (a) dx

qui donne la valeur approchée de l'intégrale

[RG fi (@) (dx,

et l'expression

[var | us (&) Pr) dr,

représente son terme complémentaire.

Remarquant d’après ce qu’on a vu au $ 5 que la valeur numérique des quantités M,, M, ne surpasse pas la plus grande valeur numérique des dérivées :

d" fo (&) a" fi (x)

dan 7 7 dan

dans les limites de l'intégration et désignant ces valeurs numériques maxima par À et B, nous concluons que la valeur numérique du terme complémentaire

Root | LL (a) (x) dx,

ne surpasse pas la valeur de

[Un rl 4 (x) (ro) d

Quant au signe du terme complémentaire il se détermine facilement

dans le cas où les dérivées a" fo @) a f, (x)

dx" dx"

ne changent pas de signe dans les limites de l’intégration. Dans ce cas, d’après le $ 5, les quantités M,, M, auront les signes

des dérivées a fo(x) d" f, (x) dan ? dan

dans les limites de : et par suite le terme complémentaire

. 5 OF de (& ) œ (,)dx,, vu que les quantités

Fh(r) 0 (@)ds, [4,"(0)f,

sont évidemment positives, aura le signe + ou — selon que ces dérivées conservent des signes égaux ou contraires dans les limites d'intégration.

Ce "