SUR LA REPRÉSENTATION DES VALEURS LIMITES DES INTÉGRALES

PAR DES RESIDUS INTEGRAUX,

(TRADUXX PAR SOPHIE KOWAXLBVSKX.)

(Lu le 8 octobre 1885.)

(IHpzuoxenie xe LI romy 3anucoxr Huneparopcxo“ Arxaremin Hayx®, X 4, 1885 r. Acta mathematica. T, IX, 1886, p. 35—56.)

AC # Enr

Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux.

Dans un Mémoire Sur les valeurs limites des intégrales *), publié en 1874 dans le Journal de Mathématiques de Liouville, nous avons communiqué quelques résultats concernant les valeurs limites de l’intégrale

[ f(æ) ox

dans le cas où l’on donne les valeurs des intégrales

b b b [ f(æ) 0x, [af(æ)ox, [a f(a)or,.……, a a a prises entre des limites plus vastes: a < «, b > v, et où la fonction inconnue f(x) reste positive pour toutes les valeurs réelles de x entre x — a et = b. | D’après un théorème contenu dans ce Mémoire, si le nombre des inté-

grales données b

b b [f(@)0x, [æf(r) 0x... Ja" f(x) dx

est pair — 2m», les valeurs limites de l’intégrale

[f(æ) dr

ne peuvent être déterminées que dans le cas où les limites w, v satisfont

*) T. IL, pag. 183—185.

à une équation, dont les coefficients dépendent de la valeur des intégrales données.

Pour obtenir cette équation et les valeurs limites de l’intégrale

dans le cas où w, v satisfont à cette équation, nous développons l’intégrale b f(x) | a OÙ a s

en une série procédant selon les puissances décroissantes de z

" b b [7 (@) de [ + ft@) x f@) ,,—a dre ON re he ee ne a Posant b b b [ F(&) 0% = 4, fef)or= A4, 5: [et = 4, a a a

nous obtenons donc pour l'intégrale

[22 dx Z— x

l’expression approximative suivante, rigoureuse jusqu’au terme —; inclusi-

vement:

49 À; Ami pu —+ # + a ne .

En désignant donc par Under € 1 A8 + Po Ame + Pm

la fraction continue, que l’on obtient en développant l’expression

en fraction continue et en s’arrêtant à la m°"° réduite, nous aurons par 2 . . : he conséquent, aussi avec un degré d’approximation jusqu’au terme —;; inclu-

sivement,