U2+PB

Lo2+ 8, — +, 1

ve LEE —

dont les »# dénominateurs peuvent toujours être trouvées, comme nous l’avons montré, lorsque l’on connaît les valeurs des 2» intégrales

b b b [f(x = 4, fæf(æ)0= 4, . fa" f(&) dx — À

2Mm—1°

En désignant comme auparavant par

Pm (2) Ÿm (2)

la fraction ordinaire à laquelle se réduit la fraction continue

a Z + PB, — Ets AU ?

Lo2 Bo — , 1 am? + Bm nous désignerons par Pm—1 (2) Ÿm—1 (2)

la fraction ordinaire que nous obtenons en nous arrêtant au terme

ax 2+$

Si, outre les intégrales

b b b [f(a)0r = 4, faf(or=A,,..., fr for 4,

on connaît aussi la valeur de l’intégrale b [re f(@) 08 = 24,9 a

il est nécessaire, pour pouvoir déterminer la fraction rationnelle F(z2) dans les formules (1) et (2), de déterminer non seulement la fraction continue précitée et les deux fractions ordinaires

Pm—1 (£) Pm (2) Yi (z) Yom (2)?

mais aussi la valeur du coefficient de z dans le (m—1)°" dénominateur de la fraction continue, obtenue par le développement de l’expression

A0 À; Am Aom TR ss sas + z2m + 2m#1°

Nous désignerons ce coefficient par

Enr %

$ 3. En étudiant la fraction rationnelle F(2), nous remarquons que sous sa forme générale elle peut être exprimée d’une manière simple par une fraction continue, Dans cette dernière les » premiers dénominateurs sont identiques avec ceux de la fraction continue

Lo8 +8 — ,

7 en3+Pm que l’on obtient en développant l'intégrale

La fraction rationnelle F(2) pourra donc être représentée par la formule

A 2+8, — 1 1 U22+PBo— ,

en mn 2 + Bm —

où Z est une fonction inconnue.

Cette fonction peut être exprimée à l’aide des fonctions ®,,, (2), ®,,(2)

seulement, si l’on connaît les valeurs des 2m» intégrales

b b [ f(&) 0x, [x f(&) 0x, . Ée fa" f(x) Ôx.

Mais si l’on veut se servir de 2m + 1 intégrales

b b b [ f(x) 0x, [x f(x) 0x. rs [ a" f(&) 0x,

il faudra encore, pour déterminer F(+), connaître une quantité constante «, AR Dans le premier de ces deux cas, cette fonction sera donnée par la formule di. Z= y 6 —0) + Vr= 0 ne, dans laquelle ÿ désigne la plus grande des deux quantités 1 Vn—1 (a) Fes on (v) a—® Yan (a) Yon ()

L mi @) __ Ÿm— (2) b—v L Ym() Ÿm (L)

Dans le second cas on trouve pour la détermination de Z deux formules différentes selon que la fraction

1 Yi (a) Von 0 AR (5) da — Yon (A) Van (0) ie ; : 1 Ya O) __ Ÿm— SJ 2 b—v Ÿm (0) Ÿm (0) rase

est positive ou négative. Dans le premier cas la fonction Z est définie par la formule

(6) Z=e.-. 6-0 re.

Da ns le second cas Z est donné par la formule

a) — @—a)pù __ Yom (a) (b — a}? pà

(7 Z=a Pet D Cepetoon i)

m+-1 (e — où 1 Ÿm—a (a) m1 (v) ia — av Ÿm(0) Ÿm () ste ARE ER D'ORNT 'e enes a) en b—v L Ÿm() Dan (0) pat

1 ra = en | me

$ 4. L’expression de la valeur limite de l'intégrale

par les résidus intégraux nous conduit facilement à toutes les formules indi- quées dans le Mémoire précité.

En supposant connues les valeurs des 2m intégrales b b b [f(oox, [ef(on,.... [a f(x) ox (22 a «a

et supposant de plus que l’on cherche la valeur limite de l’intégrale

pour une valeur de v satisfaisant à l’equation

Un (v)—0,

sidi dE

nous remarquons que d’après le $ 3 la valeur de Z sera donnée dans ce cas par la formule

mi ré Ÿm—1 (L),

AUDE Le Ts Ym(v) ?

d’où il résulte

Z= co à cause de l’équation d, (v)= 0.

Par conséquent, d’après le $ 3, F(2) = ——— 1 MR TER), :

* am? + Bm En substituant à la fraction continue la fraction ordinaire qui lui est égale

Pm (2) (2), Yan () 2)’ on trouve

___ Pm (2).