FO T
Pour cette valeur de F(2) les formules (1), (2) nous donnent
| f(æ)ox > E + ne,
v+vw
| for < £ M.
Ceci aura lieu pour toutes les valeurs de v satisfaisant à l’équation
En posant succéssivement
te VE
où z, et 2, signifient comme auparavant les racines de l’équation : d,, (2) =0, et 2, > 2, nous déduisons de ces formules
2n—0 En +0
Î f(aôx > E ÿ nn, Î f(&)dr < È ne
ro > > Li ent, freès < LE ne.
Et en retranchant les deux dernières inégalités des deux premières on
trouve MERS
frere < £ : CL
j far > £
Comme nous l’avons vu au $ 1, ces inégalités nous conduisent aux mêmes valeurs limites de l’intégrale
que nous avons communiquées dans le Journal de Liouville pour le cas considéré.
$ 5. Pour appliquer les formules (1) et (2) à la résolution du problème proposé dans le Mémoire précité, nous supposons que les trois quan-
tités données », d, k,
sont déterminées par les formules suivantes:
b [ æ (a) dx b p=[fœûr, d=; » k—[(x—d) f(x), ° [7 (@) de ue
et que l’on veut trouver les valeurs limites de l'intégrale
[ F(a) ox
pour le cas où la fonction inconnue f(x) ne devient pas négative pour des valeurs de x entre 0 et b.
Vu que les trois quantités
p, d, k déterminent les valeurs des trois intégrales
b (for, [rou=p, [ef =p8+k, 0 0 0
les valeurs limites de l’intégrale
[ F(@) dx
dans le problème considéré seront déterminées par les formules qui s’appliquent au cas, quand le nombre des intégrales données est impair 2» + 1: il faut poser de plus
A,=?, A =pd, À, = p® +k.
Pour déterminer la fraction continue
rs 1 S a +8, —
Pare 1
nous développons l’expression
en une fraction continue, en nous arrêtant toutefois au premier dénominateur, ce qui nous donne
1 1 mé+h 5 d + ?
Nous trouvons donc HU 21, ND: 00. 2 Ya) Qt}: EL? Y, (2) z—d
À, va à »
Pour déterminer la quantité constante &,,, —«, nous développons
en fraction continue l’expression
Mm+
en nous arrêtant au second dénominateur et ne considérant que le premier terme de ce dernier. De cette manière nous trouvons
pd pd+k 1 2? 23 z—d 1 D p?
d’où l’on déduit, conformément à ce qui a été exposé au $ 2,
ET Lo — à €
$ 6. En substituant ces valeurs dans la formule (5) on trouve la fraction k d — © + — p k 7 p(b—dà)
dont le signe décide, d’après le $ 3, laquelle des deux formules (6), (7) doit être employée pour déterminer la fonction Z. |
Vu que cette fraction ne change de signe que pour les valeurs
k k v= d PT voeu; Us d+ pour lesquelles elle devient co ou 0, tandis que pour v = © et v — — co
elle est égale à + 1, on voit que cette fraction sera positive pour
k der per:
et pour & (/ var d + pd tandis qu’elle est négative lorsque v est contenu entre les limites. k k RS TUE Te re Par conséquent, si
k A dt Tr
ou bien k ke me. d per Li
nous devons, conformément au $ 3, nous servir de la formule (6) pour déterminer la fonction Z, ce qui nous donne
Re Lo (0) = sm n 7 a ne ter:
Au contraire, dans le cas où k k fees SAR
la fonction Z sera déterminée par la formule (7) qui nous donne
2 2 dr
Z2=T 24 (2d4—Db—0) + (b—d)(0—d) +
En passant maintenant à la détermination de la fraction rationnelle F(2), conformément au $ 3, nous remarquons que dans le cas considéré la fraction
continue
D enr 1
ne contient qu’un seul dénominateur SR d .
214 + B, — D see D?
la formule (3) se réduit donc à
F(s)= -—— CU NAtS :
Aux deux valeurs de Z correspondent donc les valeurs suivantes de F(z):
pte—0) + F(#)= T , (z — ©) (car) ___p&?— p(b+0— d)2+k+(b — d)(v— d)p F(e) Hole 2(2 — b)(2—v) :
La première de ces valeurs aura lieu, d’après ce que nous avons vu, dans le
cas où
P<d— Ra
ou bien k T os d+ la seconde dans le cas où k k Œ us Shoes —— + 108 << +;
En introduisant ces valeurs de F(2) dans les formules (1) et (2) et en posant a — 0, nous trouvons que les valeurs limites de l’intégrale
| f(x) ox,
que nous cherchons dans le problème considéré, seront données par les formules
fre x FA 0): ir) (8) | v+0 pe —v) + f(x) 0x < È CE ?
| à e—v(s-dr
dans le cas où k
k ; DIS Partner mange ou v>d+;
et par les formules
t—w pa — p(b+v—d)2+k+(b — d)(v — d)p frowz È 2C—b) Gr ’ er. (b d)z+k-+(b — d)(v — d) pét—p(brv—d)z+k+(b—d)(@—d)p, fred < È z(2—b)(z2 —v)
dans le cas où k k Fast etre
$ 7. Si nous nous arrêtons au Cas
k PR End
nous remarquons que pour telles valeurs de v, z étant compris entre 2=—w et z— 0 How, la fraction
k ee Lo orme
ne peut devenir © que pour
vu que la seconde valeur z — d — TL pour laquelle cette fraction de-
vient co, surpasse, pour les valeurs considérées de v et pour w infiniment petit, aussi bien v + w que v —w. Quant à la valeur
LES, elle sera contenue, à cause de l’inégalité w > 0, dans les limites —0, +0, mais elle sera en dehors des limites
Par conséquent, pour les valeurs considérées de v, le résidu intégral
