ÉD PUITS PES

se réduira à zéro, tandis que le résidu intégral

B EE tas 9) (2 — + 3) se réduira au résidu correspondant à LP, qui est égal à

“kp :

Par conséquent, dans le cas où v < dy les formules (8) se réduisent aux suivantes:

p HORS ES Passant maintenant au cas, où

nous remarquons que dans ce cas la valeur

k A TV Cet pour laquelle la fraction

k pire

(z ofea+ 2)

devient infinie, est contenue aussi bien entre les limites

qu'entre les limites

tandis que l’autre valeur z — v, pour laquelle cette fraction devient aussi co, n’est contenue qu'entre les deux dernières limites.

Par conséquent le résidu intégral

super 0)

nn (ea)

se réduit au résidu correspondant à

k va lequel est égal à p?(v — dP F+po—

tandis que le résidu intégral

7 po Dr

Ÿ —v (z — ©) (2 — d tot à se 3)

sera égal à la somme des résidus de la fraction

per) +}

correspondants aux deux valeurs de z, pour lesquelles cette fraction devient

infinie. Cette somme est égale à p. Pour ces valeurs des résidus intégraux, les formules (8) nous donnent ;

pes

Ï f(x) dx <p.

Il nous reste encore à étudier plus en détail le cas où k k Pour ces valeurs de v, les valeurs limites de intégrale

sont données, d’après le $ 6, par les formules

# v—w ffau> £ D pb +0— de k+(b—d(o— dp.

g(z — b)(z —v) séee 2 (b d k + (b — d)( d) pe? — p(b +0 — d)2+k+(b — d)(v — p, frerèr< È 2(e —d)(e —v

Vu que des trois valeurs

pour lesquelles la fraction

pe? — p(b+v— d)2+k-+(b — d)(v — d) d 2(2—0d)(z —v)

devient infinie, la première, z — 0, est contenue aussi bien entre les limites

mme 1). U— @ ?

qu'entre les limites — 0, V+0,

la seconde z—% n’est contenue ni entre les premieres, ni entre les secondes limites, tandis que la troisième, z—v n’est contenue qu’entre les secondes limites, le résidu intégral

Fe pe —p(b+v—d)2+k+(b — d)(v — d)p ë 2(2—0db)(2—v)

se réduit au résidu correspondant à z — 0, lequel est égal à

Gaves

bo tandis que le résidu intégral v+0 pa — p(b+v—d)2+k+(b — d)(v — d)p L 2(2—b) (2 —v) —w

est égal à la somme des résidus correspondants à 2—0etàz— v; ces résidus sont respectivement égaux à

@—d)(v—d)p+k bo ?

leur somme est donc (b— d)(b+d—v)p—k b(b — v)

Il résulte par conséquent de ces formules

[rez = Der,

L/] (b—d)(b+d—v)p—k [FR < pe

On voit donc que de l'expression des valeurs limites de l’intégrale -

[ f(&)ox

à l’aide de résidus integraux découlent toutes les formules communiquées dans mon Mémoire, inséré dans le Journal de Liouville sous le titre: Sur les valeurs limites des intégrales.

& 8. Il est facile de s'assurer de l’exactitude des valeurs limites de l'intégrale

que nons avons trouvées pour le cas où l’on connaît les valeurs des intégrales

b [for [af(oor, [af(a)dr,

et que de plus la fonction inconnue f(x) reste positive entre a et b, à l’aide de l’équation

b [ Ua £UF(),

laquelle aura toujours lieu, en conséquence des propriétés de la fonction rationnelle F(2) déterminée par les formules (3), (4), (6), (7), sitôt que U désigne une fonction entière dont le degré est moindre que le nombre des intégrales données

b b b [foox, [of(a)or, [af(a)on,.

Quant à la déduction de ces mêmes formules par la méthode des quantités maxima et minima, cette question sera l’objet d’un Mémoire particulier, dans lequel nous montrerons aussi d’autres applications de la fonction rationnelle F(2). On verra entre autre que les deux racines de l’équation

FG — les plus rapprochées de la racine