DES VALEURS APPROCHÉES DES INTÉGRALES

(TRADUIT PAR X. XXON.)

(Lu le 18 novembre 1886.)

O6s UHINCEPANTHUXE Éuremaxs,

docmalrsruuxs npudruycennes beaurunr unmeepanrobs.

(pnaoxenie KE LV-wy romy 3anucoks Huneparoperoë“ Axaremin Haywe, Ni 2, 1887 r. Acta mathematica. T. XII, 1888—1889, p. 287-822.)

Sur les résidus intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales.

$ 1. Dans un Mémoire sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux, communiqué à l’Académie des sciences le 8 octobre 1885 *), nous avons montré comment, d’après les valeurs données de 2» intégrales

b b | Î f(æ&) dx, [ f(x) Mrs: Lai f(x) 0x,

on peut trouver les limites les plus étroites de la valeur de l'intégrale [ (dr, a

si la fonction inconnue f(x) reste positive pour toutes les valeurs réelles de æ entre æ—a et x —b, et si la valeur de » est comprise entre a

et b. Ces limites, comme nous avons vu, sont données par les formules suivantes:

| f@)dr< £ F(),

[f@)drZ £ F(à.

*) T. II, p. 421—440.

où w est une quantité positive infiniment petite, et F(z2) une fonction rationnelle qui s’obtient facilement en développant l’expression

| pos b [ rw) dx [ æf (x) dx Î aM—1 f(x)0x (42 a a : + De taie PL en fraction continue ae ; Si iarar en 1 ne Am? + Bm — .

En effet, en posant Pm—1 (2) __ 1 1 à | Ÿm—1 (2) 2 en RO ne :

Cm + 8m Pm (2) __ 1 1 ; re its LmnE + Bm elle est donnée par les formules | FG@)= mn .. + PB, — : :

ME + Po — . 1 : 2 } CLR, ME PAPAS ve 1 ( ) LE + mr — Z Z=7Y(2—0) + 0, où y désigne la plus grande des deux quantités 1 Yn—1 (a) ___ Ÿm—1 (0) CEE a—0 L y (a) ETUI 1 Ÿm—1 (0) ns Ym—a (0) b—v L Ym () Ym(o) En substituant à la fraction continue = 1 Nnrren À : nu Am£ + Bm —

la fraction ordinaire qui lui est égale

Dan (2) Z — Pm—3 (2) POS DE da o

et en posant [ PC = que) Z— qm (2), (3) | 2,4@=4,(0 2-4 0) on aura .

Do (2) FA 5,6

En portant cette valeur de la fonction F(2) dans les formules (1), nous trouvons

Jr < L 5 D. D

fOUZ E Se

ou bien

Tv+0

Do( D, frs L a+ Ë .

| f(x) 0x 7 £3 DE +. PME

U—0 Or, les résidus intégraux

Do (2) L #8

où w désigne une quantité infiniment petite, s'étendent seulement sur les valeurs voisines de z— v; et comme cette valeur de 2, qui annule ®, (2) en vertu de (2) et (3), coïncide avec l’une de leurs limites, la valeur commune de ces résidus sera

1 Do @), 3 dv)

et les dernières formules nous donnent

| f(&) 0x < £3 pas pue

Dos) 1 @,() roue £ AE 3.0

On voit par là que la différence entre le résidu intégral

Do (x) Ê D, (x) a—v et l’intégrale [ (æ) dr est au plus égale à la fraction + 1 Do (v) 7 2 2)

C’est la plus grande approximation avec laquelle la valeur de l'intégrale peut être déterminée d’après Les valeurs données de 2» intégrales

b b b [faor, [af(o)os,...., [ 2" f(x) dx, a a a si par rapport à la fonction inconnue f(x) on sait seulement qu’elle reste positive pour les valeurs réelles de x entre x = a et x —b. Nous allons maintenant étudier la fraction

Do (v)

et quelques formules qui peuvent nous conduire à la détermination de sa limite supérieure. Dans un cas particulier très remarquable nous trouvons par ces formules la limite supérieure de la fraction

Dot) D)’

sous la forme d’une fonction du nombre des intégrales données

b b b [f@ox, [af@dz, [æf(x)dx,..……,

et qui tend vers zéro quand ce nombre augmente indéfiniment.

$ 2. Nous profiterons ici de quelques résultats que nous avons obtenus dans notre Mémoire sur les fractions continues *). Dans ce Mémoire nous nous sommes occupé de la fraction continue

Q12 + By — =

Xe + Po —

Lee + Ps — °,

qu’on obtient en développant la somme

V' PDP), En). En), dm 2) O2 —Xn

où les quantités T, 9 T, ? T ? . . . LI un

sont toutes réelles et distinctes, et M), (x)... (x) sont des quantités positives quelconques. En désignant par

9 (), 96) 920) Yo (2) Ÿ1(2) Ÿ2(2)? * ee

les réduites de la fraction continue, nous trouvons, en vertu des formules démontrées dans ce mémoire, les égalités suivantes:

1 1 DE G)=r Débh=s, DOG) G)= re...

qui montrent que les coefficients

&;, Lo Ugso

sont tous positifs. Il résulte de là que les premières termes des fonctions

Po (2), P: (2), D (2), sos.) Ye), Ui(e), ae)...

ordonnées suivant les puissances décroisantes de z, auront des coefficients positifs.

D'autre part, comme nous avons vu dans ce même Mémoire, pour toute fonction entière f,(2:) d’un degré inférieur à x on doit avoir l’équation

(4) Dh) (r) (x) = 0.

De cette équation nous allons déduire quelques propriétés des fonctions

Lo(e), V(z), La)...

dont nous nous servirons après. Pour cela nous remarquons que la dernière rêduite

Pn-1-1 (2) Yn-1 (2)

doit donner la valeur exacte de la somme

ep , tn Las EE.

£—X) 2—% Z2—Xn

et son dénominateur la forme

(5) LC) =C (EX) (2 —12)....(8 —2,),

où C désigne un coefficient constant. L’expression

na @) sera une fonction entière du degré (n + 1) de

Yn-11 (2) (2— x)) (2 — x) +3)

sera donc une fonction entière du degré (n — 1), et d’après (6) on devra

avoir l’équation >” Yn-+1 (Ti) Ÿn (ti) | 2 (x) —(

(cg — &)) (ti — x) 4

qui se réduit en vertu de (7) à l'égalité

Ya (CN Ÿn (2)) 62 (x) Ps bn-+1 (2-51) Ÿn (dx +2) 02(2) 4-1) 0 D) — TL) 41 Pis TX

d’où nous déduisons

Ve (&,) bn (&)) Œ (æ,) ai ds (&,,) (OR (&,,,) 6° (&,41).

Or, les racines

Lo; Lise . «ZT, COWRTE PIE | Xl,

sont toutes réelles et distinctes, et en les supposant disposées dans l’ordre de leurs grandeurs on voit que la dérivée

Ya (9

aura des signes contraires pour les deux racines consécutives æ, et æ,,,, et par conséquent la fonction

Yu (e)

aura aussi des signes opposés pour PT c’est à dire entre deux racines consécutives quelconques de l’équation

Ya (8) = 0

on aura au moins une racine de l’équation

On voit par là que les » racines de l’équatiou

seront toutes réelles, distinctes et situées respectivement dans les n intervalles des (x + 1) racines de l’équation

ba (2) = 0.

En désignant par

, 4 , To; Lise . Li;

les racines de l’équation

disposées dans l’ordre de leurs grandeurs, on aura la série de grandeurs croissantes

$ 3. Les n racines

de l’équation Ya (a) = 0

étant inégales, la décomposition de la réduite

Pn (£) Yn(2)

en fractions simples nous donnera la somme

On (£) __ Pn(T'o) 1 Pn(x” 1) 1 Pn (Zn —1) 1 (6) Yn(e) Yan (to) 2 — 29 Ÿ'n(&'1)2—x mA el Yn (Cr) £ — L'n—1 :

où, comme il est facile de voir, les facteurs

On (0) On (Z'1) da On (Z'n—1) Ÿn (æo) Ÿ'n (21) ? d'a @n— 1) sont tous positifs.

En effet, les fonctions

Pn-e1 (e), es (2), Pr (a) ? % (2)

Pn-4-1 (2), On (2) Yn+1(2) ŸYn(s)

des réduites

sont liées par la relation

Pn+1 (2) (2 (2) — Pn (2) du (2) = 1.

En divisant les deux membres de cette égalité par

Ÿn+1 (2) Ÿn LR a —2y et en y faisant 2=T nous trouvons l’égalité En (ru) 2 1 Y'a (& u) Yn (x) Yn+-1 (&'u)

Pour déterminer à l’aide de cette égalité le signe de la fraction

Pn (x)

UNE u)

nous remarquons d’abord que le produit

Ya () Ya ()

sera positif pour z— co, puisque les premiers termes des fonctions d (2), ordonnées par rapport aux puissances décroissantes de z, ont des coefficients positifs ($ 2).

Si maintenant on passe de z2— co à la plus grande racine 2=#, de l’équation

Cr

Y, (2) Fa 0,

la fonction L,,,(2) changera son signe en passant par sa racine 2 — 4, . . Q LA:

tandis que la dérivée Ÿ”,(z) n’ayant pas de racine entre :=#%,", etz— 00

conservera son signe. Le produit

Ya (8) ne (6)

sera donc négatif pour z — : HORS et il est facile de voir qu’il conservera sa valeur négative pour toutes les racines

4 r Ci

/ ’ M5, Diiin ie he

um) ur °° n—1 de l’équation p,(e) = 0, car, d’après le $ 2, entre deux racines consécutives de l’équation d, (2) = 0

on trouvera toujours une racine pour chacune des équations