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sa valeur ne peut pas être complètement déterminée. $ 6. Passons au cas général lorsque ni à, ni bnesatisfont pas à l’equation à

da (2) —=0,

Nous allons d’abord montrer que la quantité ÿ qui figure dans nos formules est une quantité positive.

En effet, d’après le $ 1 on doit avoir les inégalités 1 Dan —1 (a) Lori QE Y 2 x Ÿm (a) Ÿm (0)

1 Ÿm—1 (b) mi (v) TES Ÿm ()

En les multipliant respectivement par les quantités positives v—a, b—v et en les ajoutant ensuite membre à membre, nous trouvons l'inégalité

m1 (0) __ m1 (G) rO—0) > M0 — ta 0,

Or, les termes les plus élevés dans les fonctions 4, , (z), db, (+) ayant des coefficients positifs, on devra avoir

Ÿm —1 (©) (co) nm (©) (co) 7 0,

et comme toutes les racines des équations

Paca (2) = 0, bn (e) = 0

sont plus grandes que a et plus petites que b, on aura aussi

Ÿin—1 (b) > 0, Ÿm—1 (a) 6 0, m Yan (

en vertu de quoi l’inégalité précédente nous donne Y (@ La a) » 0, d’où Ye

La quantité y, comme on a vu dans le $ 1, sert à déterminer la fonction ®, (2) qui, en vertu de (2) et (3), sera donnée par la formule

BE = [re — 0 + A0] d, (0) — Vu, (),

dans laquelle, comme on vient de le voir, la quantité y est positive; et comme de plus les termes les plus élevés dans les fonctions

Un (& ), fui (2)

ont des coefficients positifs, cette formule nous donnera D(+oo)—= +, D, (—oo)——+,

où le signe supérieur correspond au cas de » pair et le signe inférieur au cas de » impair. Si maintenant on fait dans cette formule

= 8, 1) Types + * 80)

on aura, d’après le $ 4, En) = 0, Lans) = 0,....%, (8) =0, ve (Em) nu 7) VE (e..) Loh LOEOE | A (20) + +; de sorte que pour la fonction ®, (2) nous trouvons Ben) = — Bip) = Hi... 880) = Æ.

On voit par là que les # + 1 racines de l’équation D, (2) = 0

sont toutes réelles, distinctes et séparées par les » racines de l’équation

d, (2) = 0 $ 7. En désignant par se Li .. at les racines de l’équation ®, (2) = 0, nous trouvons pour la fraction Do (2) ®, (2)

la décomposition suivante en fractions simples:

Do(s) DoGy 1 DE) 1 Do(Em) 1 De Pen Os Mois

où, comme il est facile de voir, les facteurs

DoGo),. DoU Do (Cm)

Din rt) D"; (Cm)

sont tous positifs. En effet, des formules (3) on déduit facilement l'égalité Do (2) Vs (8) — D (2) un (2) = Pun (2) V1 À) — Prmà €) Ÿm C)-

Comme le second membre, d’après une propriété bien connue des réduites, est égal à l’unité, nous aurons l’égalité

Do) Ym (2) — Di (8) Pm À) = 1.

En divisant les deux membres de cette égalité par

D, (2) Yan (2) z— 6) ?

et en y faisant B==Q CE ... .

nous trouvons l'égalité