EL

é lorsque le nombre n devient infini.

$ 2. Pour démontrer ce théorème sous la forme la plus générale, nous prendrons — co et + co pour les limites entre lesquelles sont comprises toutes les valeurs possibles des quantités

M Mat cn En désignant par

les probabilités que les valeurs des quantités OR oi ee sont comprises entre les limites infiniment voisines

TZ, T + 0%, nous remarquons:

1) que les fonctions P1 (æ), Dax), Pa (T),. .

ne peuvent pas avoir des valeurs négatives; 2) que les intégrales

+ 00 + © + 00 Î ?1 (4) du, [ Pa (a) OU, [ Pa (y) du, «+.

qui représentent les probabilités que les quantités

auront des valeurs quelconques comprises entre les limites — co et + co, seront égales à l’unité; 3) que les intégrales

+ 00 + 00 + 00 [ Ui P1 (0) du, [ Ug Pa (3) QU, f Ug Py (Us) Os, . — © — co — ©

qui représentent les espérances mathématiques des quantités | NET FO RENE ETRE

d’après notre hypothèse, doivent être nulles; 31*

4) qu’en général, toutes les quantités a) définies par l'égalité + co an = [ uÿ q,(u;)dus, — C9

qui représentent les espérances mathématiques des différentes puissances

des quantités Us Us Us; .

seront, par hypothèse, comprises entre des limites finies. D'autre part, en désignant par

f(œ) 0x la probabilité que la valeur de la fraction

Un Uo He + Un

sera comprise entre les limites infiniment voisines x, & + 0%, nous remarquons que de probabilité sera donnée par l'égalité f(æ)or = [....fo(m) pa(us). - . .o,(u,) du, 00... .du,,

dans laquelle l'intégration par rapport à w,, %, ....u, s’étend sur toutes les valeurs de ces quantités pour lesquelles la valeur de la fraction

U+U +... + Un

ne sort pas des limites infiniment voisines x, & + 0%. En multipliant cette égalité membre à membre avec l'égalité

S(U + U+....+ Un)

Vn TT —e