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(2Mm—1) 2Mm—1 (2m—1) ‘an AS Ac RUE 1
seront aussi toutes finies.
On aura donc, avec un degré d’approximation jusqu’au terme de , 2Mm—1 l’ordre s i
(2) J €” f(æ) dx — “es
$ 4. Quel que soit », nous pourrons tirer de cette égalité les valeurs des 2m intégrales + 00 +0 + CO [f@ôx, [æftor,.... [a f(a)dr, un — ©œ
en arrêtant les développements des deux membres de cette égalité aux
termes de l’ordre s°”*t,
Dans le cas particulier n — co, l'égalité (2) se réduit à
e*° f(x) 0x — ET ©QO
puisque les quantités M, comme on a vu, sont toutes finies. En développant les deux membres de cette égalitéssuivant les puis-
sances de s et en s’arrêtant aux termes de l’ordre s°”"*, on aura
[ rc a+ = | of() ee Pneu — : Ê em — * f(@) dx —
8? 8 SR aan tie oo da 2ge}m—t q q q
et, en égalant les coefficients des mêmes puissances de s, nous trouvons
Jr) == 1 farce) 0x = 0, [' PQ à EL ÉTCE = 0,
[a FD 0x = ED, [a f(x) de = 0.
Comme la fonction f(x) qui figure sous le signe f, par sa nature même, ne peut pas avoir des valeurs négatives, nous concluons, d’après le théo-
rème sur les intégrales cité au $ 1, que la valeur de l'intégrale
| f(x) 0x — CO est comprise entre les limites LL4 V2 L e—2? x — 8 V 8 (m?2— 2m + 3)? (g? v? + np Vr 2 (m— 3)3 Vm —1 Es V2
Le V8 (m2 — 2m + 3)? (g2 e2 + 1)9 e—2? x + © 1 :
Vz 2(m— 3) Vm—1
D'où, en remarquant que la valeur de la fraction
3 V 3 (m2 — 2m+ 3)? (a? v?2+ 1} 2 (m — 3) Vm—1
tend vers zéro lorsque le nombre # augmente indéfiniment, nous tirons
l'égalité go v V2 | f(œ) 0x — | e— 2 0%,
En y faisant successivement
va V3,
V = ve d, 0 — pi LA , nous trouvons les égalités V2 F3:
ra re — 4 — 9? DA Pn e —7?
fra | 0%, free: 0%, m:.00 — 00 7 C0 —— 0
V3, œe d SOLE —4?
fred = | Ôx "3, q
Le premier membre de cette égalité, d’après le $ 2, représente la probabilité que la valeur de la fraction
Un HU Hesse + Un
Vn sera comprise entre les limites + et par conséquent la valeur de la fraction Un + lo Hess Up ++... Un 2n — Vire tuct an)
sera comprise entre les limites # et {’; en vertu de quoi cette égalité qui a lieu pour n = © montre que la probabilité que la valeur de la fraction
Un + Ug He + Un V2 (a, (2) + a, (2) +....+ ant)
sera comprise entre deux limites quelconques £ et #”, a pour limite, lorsque n augmente indéfiniment, la valeur de l’intégrale
t’ 1 2 Vz | t
Dans le cas de » fini, la probabilité que la fraction
Ut... + Un V 2 (a,@) + a 2) +....+ ant)
sera comprise entre les limites { et {”, différera plus ou moins de sa valeur limite L’ 1 | 2 — | e—2 0x Vr t
selon la valeur de » et des quantités d'OS MS
qui figurent dans légalité (2) et dont les valeurs, comme on a vu, dépendent des valeurs des espérances mathématiques des différentes puissances des quantités
U;; Vo) “7 6. 8 U2r
Sans nous arrêter ici à la détermination de la limite supérieure de cette différence pour x assez grand, nous remarquerons seulement que d’après les formules de notre Mémoire Sur le développement des fonctions à une seule variable *), cette probabilité pour x quelconque sera donnée par l'expression
=] [1 — K, CET d,(&) + K, (2) U,(x) +... | e—% 0x,
*) T. I, crp. 501—508.
dans laquelle les quantités
sont les coefficients de
dans le développement de la fonction
M) 82 + LA st +
suivant les puissances de s; et les fonctions
sont des polynômes qui s’obtiennent par la formule
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